北师大版九年级上册期末数学备考之函数压轴培优练（二）

九年级上期末数学备考之函数压轴培优练（二） 考察：（1）反比例函数之 K 的几何意义 （2）相似综合 1．如图 1，一次函数 y＝kx﹣4（k≠0）的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y＝﹣（x＜0） 的图象交于点 B（﹣6，b）． （1）b＝ ；k＝ ； （2）点 C 是线段 AB 上一点（不与 A，B 重合），过点 C 且平行于 y 轴的直线 l 交该反比 例函数的图象于点 D，连接 OC，OD，BD，若四边形 OCBD 的面积 S 四边形 OCBD＝24，求点 C 的 坐标； （3）将第（2）小题中的△OCD 沿射线 AB 方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若 点 O 的对应点 O'恰好落在该反比例函数图象上（如图 2），求此时点 D 的对应点 D'的坐 标． 2．如图，y1＝kx+2 的图象与反比例函数 y2＝ 图象相交于 A、B 两点，已知点 B 坐标为（3， ﹣1）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）张红武求得另一个交点 A（﹣1，3），观察图象，请直接写出不等式 kx+2≤ 的解 集； （3）P 为 y 轴上的点，Q 为反比例函数图象上的点，若以 ABPQ 为顶点的四边形是平行四 边形，求出满足条件的点 P 的坐标． 3．如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点， 与反比例函数 y＝ 的图象交于 C、D 两点，其中 C 点坐标为（6，﹣1），DE⊥y 轴于点 E，且 DE＝2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式． （2）将直线 y＝kx+b 沿 y 轴向下平移，分别交 x，y 轴的负半轴于点 G，H，如图 2．若 四边形 AEGH 是菱形，求△ADH 的面积． 4．如图，一次函数 y1＝mx+n 与反比例函数 y2＝ （x＞0）的图象分别交于点 A（a，4）和 点 B（8，1），与坐标轴分别交于点 C 和点 D． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，当 x＞0 时，直接写出 y1＞y2 的解集； （3）若点 P 是 x 轴上一动点，当△COD 与△ADP 相似时，求点 P 的坐标． 5．如图，小明用图形计算器绘制了如图所示的关于 y 轴对称的图形，该图形由左右两侧的 两段反比例函数图象和△ABC 构成，点 C 恰为 OD 的中点，AB＝2，S△ABC＝2． （1）求左右两侧反比例函数的关系式（要求分别注明自变量的取值范围）； （2）平行于 x 轴的直线 y＝a 与该图形有三个交点，请求出交点坐标； （3）请分别写出直线 y＝a 与该图形有两个交点和没有交点时 a 的取值范围． 6．已知一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（4， 0），且 tan∠OCA＝ ，S△OAB＝12． （1）点 C 坐标是（ ）． （2）求一次函数的解析式及反比例函数解析式； （3）若点 P 为 x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，则点 P 的坐标是 ． 7．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过点 D，点 P 是一次函数 y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比 例函数图象的一个公共点． （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数 y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点 C； （3）对于一次函数 y＝kx+4﹣4k（k≠0），当 y 随 x 的增大而增大时，确定点 P 横坐标 的取值范围（不必写过程）． 8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）的图象相交于 A（1，5），B（m，1）两点，与 x 轴，y 轴分别交于点 C， D，连接 OA，OB． （1）求反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）和一次函数 y＝ax+b（a≠0）的表达式； （2）求△AOB 的面积． 9．已知双曲线 y＝ 的图象过点（1，2）． （1）求 k 的值，并求当 x＞3 时 y 的取值范围； （2）如图 1，过原点 O 作两条直线与双曲线 y＝ 的图象交于 A、C 与 B、D．我们把点 （x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若 A、B、C、D 都是整点，试说明四 边形 ABCD 是矩形； （3）如图 2，以过原点 O 的线段 BD 为斜边作一个直角三角形，且三个顶点 A、B、D 都在 双曲线 y＝ 上，若点 A 的横坐标为 a，点 B 的点横坐标为 b，问：ab 是否等于定值？若 是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 10．已知点 A（1，a），点 B 的横坐标为 m（m＞1）均在正比例函数 y＝2x 的图象上，反比 例函数 y＝ 的图象经过点 A，过点 B 作 BD⊥x 轴于 D，交反比例函数 y＝ 的图象于点 C，连接 AC． （1）当 m＝2 时，求直线 AC 的解析式； （2）当 AB＝2OA 时，求 BC 的长； （3）是否存在一个 m，使得 S△BOD＝3S△OCD，若存在，求出 m 的值，不存在，说明理由． 参考答案 1．解：（1）将点 B 的坐标代入 y＝﹣ 得，b＝﹣ ＝2， 故点 B 的坐标为（﹣6，2）； 将点 B 的坐标代入一次函数表达式得，2＝﹣6k﹣4，解得 k＝﹣1， 故一次函数表达式为 y＝﹣x﹣4， 故答案为 2，﹣1； （2）∵点 C 在直线 AB 上，故设点 C（m，﹣m﹣4），则点 D（m，﹣ ）， 则 S 四边形 OCBD＝S△CDB+S△CDO＝ CD×（xO﹣xB）＝ （﹣ +m+4）×6＝24， 解得 m＝﹣2 或 6（舍去 6）， 故点 C（﹣2，﹣2）； （3）由 AB 的函数表达式知，直线 AB 与 x 轴负半轴的夹角为 45°， 设△OCD 沿射线 AB 方向向左平移 m 个单位，则向上平移 m 个单位，则点 O′（﹣m，m）， 将点 O′的坐标代入 y＝﹣ 得，m＝﹣ ，解得 m＝ （舍去负值）， 故点 D′的坐标为（﹣2﹣2 ，6+2 ）． 2．解：（1）将点 B 的坐标分别代入 y1＝kx+2、y2＝ 得： ，解得 ， 故一次函数和反比例函数的解析式分别为 y＝﹣x+2 和 y＝﹣ ； （2）观察函数图象知，不等式 kx+2≤ 的解集为﹣1≤x＜0 或 x≥3； （3）设点 P（0，t），点 Q（s，﹣ ）， 点 A 向右平移 4 个单位向下平移 4 个单位得到点 B，同样点 P（Q）向右平移 4 个单位向 下平移 4 个单位得到点点 Q（P）， 则 或 ，解得 或 ， 故点 P 的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）． 3．解：（1）将点 C 的坐标代入 y＝ 得，﹣1＝ ，解得 m＝﹣6， 故反比例函数表达式为 y＝﹣ ， ∵DE＝2，则当 x＝﹣2 时，y＝﹣ ＝3，故点 D（﹣2，3），则点 E（0，3）， 将点 C、D 的坐标代入一次函数表达式得： ，解得 ， 故一次函数表达式为 y＝﹣ x+2； （2）对于 y＝﹣ x+2，令 y＝﹣ x+2＝0，解得 x＝4，令 x＝0，则 y＝2， 故点 A（4，0），点 B（0，2）， ∵四边形 AEGH 是菱形，则 AE＝AH， 则点 E、H 关于 x 轴对称，故点 H（0，﹣3），则 BH＝2﹣（﹣3）＝5， 则△ADH 的面积＝S△BHA+S△BHD＝ BH×（xA﹣xD）＝ ×5×（4+2）＝15． 4．解：（1）把 B（8，1）代入反比例函数 y2＝ ，得 k＝8 ∴反比例函数的关系式为 y2＝ ， ∵点 A（a，4）在 y2＝ 图象上， ∴a＝2，即 A（2，4） 把 A（2，4），B（8，1）两点代入 y1＝mx+n 并解得：m＝﹣ ，n＝5， 所以直线 AB 的解析式为：y1＝﹣ x+5；反比例函数的关系式为 y2＝ ； （2）由图象可得，当 x＞0 时，y1＞y2 的解集为 2＜x＜8； （3）由（1）得直线 AB 的解析式为 y1＝﹣ x +5， 当 x＝0 时，y＝5， ∴C（0，5）， ∴OC＝5， 当 y＝0 时，x＝10， ∴D 点坐标为（10，0） ∴OD＝10， ∴CD＝5 ， ∵A（2，4）， ∴AD＝4 ， 设 P 点坐标为（b，0），由题可以，点 P 在点 D 左侧，则 PD＝10﹣b 由∠CDO＝∠ADP 可得 ①当△COD∽△APD 时， ， ∴ ，解得 b＝2， 故点 P 坐标为（2，0）； ②当△COD∽△PAD 时， ， ∴ ，解得 b＝0， 即点 P 的坐标为（0，0） 因此，点 P 的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD 与△ADP 相似． 5．解：（1）S△ABC＝ ×AB×CD＝ ×CD＝2， 解得：CD＝2， ∵C 恰为 OD 的中点， ∴OC＝CD＝2，故点 C、D 的坐标分别为：（0，2）、（0，4）； 图形关于 y 轴对称，AB＝2， 则点 A、B 的坐标分别为：（﹣1，4）、（1，4）； 设 y 轴左侧函数为 y1，其表达式为：y1＝ ， 将点 A 的坐标代入上式并解得：k＝﹣4， 故 y1 的表达式为：y1＝﹣ （x≤﹣1）； 同理 y 轴右侧函数 y2 的表达式为：y2＝ （x≥1）； （2）从图象看，直线 y＝a 与该图形有三个交点时，直线 y＝a 过点 C（0，2）， 将点 C 的坐标代入 y1 的表达式得：2＝﹣ ，解得：x＝﹣2，故交点为：（﹣2，2）； 同理直线 y＝a 与 y2 图象的交点坐标为：（2，2）； 故交点坐标为：（﹣2，2）、（0，2）、（2，2）； （3）①直线 y＝a 与该图形有两个交点时，y＝a 在点 C 和 x 轴之间， 故 0＜a＜2； ②当直线 y＝a 与该图形没有交点时，直线 y＝a 在 AB 上方或 x 轴下方， 故 a＜0 或 a＞4． 6．解：（1）在 Rt△OBC 中，B（4，0），且 tan∠OCA＝ ， 则 OB＝4，OC＝ ＝3，故点 C（0，﹣3）， 故答案为 0，﹣3； （2）将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式得 ，解得 ， 故一次函数表达式为 y＝ x﹣3， ∵S△OAB＝ ×OB×yA＝ ×4×yA＝12， ∴yA＝6， 将 yA 代入 y＝ x﹣3 并解得 x＝12，故点 A 的坐标为（12，6）， 将点 A 的坐标代入 y＝ 得：6＝ ，解得 m＝72， 故反比例函数表达式为 y＝ ； （3）设点 P（x，0）， 则 AB2＝（12﹣4）2+62＝100，AP2＝（x﹣12）2+36，BP2＝（x﹣4）2， 当 AB＝AP 时，则 100＝（x﹣12）2+36，解得 x＝20 或 4（舍去 4）； 当 AB＝BP 时，同理可得 x＝14 或﹣6； 当 AP＝BP 时，同理可得：x＝ ， 故点 P 的坐标为（20，0）或（14，0）或（﹣6，0）或（ ，0）， 故答案为（20，0）或（14，0）或（﹣6，0）或（ ，0）． 7．解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵B（4，1），C（4，4）， ∴BC⊥x 轴，AD＝BC＝3， 而 A 点坐标为（1，0）， ∴点 D 的坐标为（1，3）． ∵反比例函数 y＝ （x＞0）的函数图象经过点 D（1，3）， ∴3＝ ， ∴m＝3， ∴反比例函数的解析式为 y＝ ； （2）当 x＝4 时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4， ∴一次函数 y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点 C； （3）设点 P 的横坐标为 a， ∵一次函数 y＝kx+4﹣4k（k≠0）过 C 点，并且 y 随 x 的增大而增大时， ∴k＞0，P 点的纵坐标要小于 4，横坐标小于 4， 当纵坐标小于 4 时， ∵y＝ ， ∴ ＜4，解得：a＞ ， 则 a 的范围为 ＜a＜4． 8．解：（1）将点 A（1，5）代入 y＝ （k≠0，x＞0）得：5＝ ， 解得 k＝5， 故反比例函数的表达式为：y＝ ， 将点 B（m，1）代入 y＝ 得：m＝5， 故点 B（5，1）， 将点 A（1，5），B（5，1）代入 y＝ax+b 得 ， 解得 ， 故一次函数表达式为：y＝﹣x+6； （2）由一次函数 y＝﹣x+6 可知，D（0，6）， 则△AOB 的面积＝△BOD 的面积﹣△AOD 的面积＝ 6×5﹣ ＝12． 9．（1）解：∵双曲线 y＝ 的图象过点（1，2）， ∴k＝2， ∵x＝3 时，y＝ ， ∴x＞3 时，0＜y＜ ． （2）证明：∵A，B，C，D 都是整点， ∴A（1，2），B（2，1），C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1）， ∴AC＝ ＝2 ，BD＝ ＝2 ， ∴AC＝BD， ∵反比例函数是中心对称图形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形 ABCD 是矩形． （3）解：如图 2 中，连接 OA． ∵反比例函数是中心对称图形， ∴OB＝OD， ∵∠DAB＝90°， ∴OA＝OB＝OD， ∵反比例函数关于直线 y＝x 对称，OA＝OB， ∴A，B 关于直线 y＝x 对称， ∴点 A 的纵坐标与点 B 的横坐标相同， ∴A（a，b）， ∵点 A 在 y＝ 上， ∴ab＝2，是定值． 10．解：∵点 A（1，a），在正比例函数 y＝2x 的图象上， ∴a＝2×1＝2， ∴点 A 的坐标为（1，2），B（m，2m）， ∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 A， ∴k＝1×2＝2， ∴则反比例函数的解析式为 y＝ ， （1）点 B 的横坐标为 m（m＞1）正比例函数 y＝2x 的图象上，当 m＝2 时， 则点 B 的坐标为（2，4）， ∴点 C 的横坐标为 2， 代入 y＝ ，求得纵坐标为 1， ∴点 C 的坐标为（2，1）， 设直线 AC 的解析式为 y＝ax+b， 把 A（1，2），C（2，1）代入得 ， 解得：a＝﹣1，b＝3， ∴直线 AC 的解析式为 y＝﹣x+3； （2）∵A（1，2），AB＝2OA， ∴点 B 的横坐标为 3， ∴点 B 的坐标为（3，6），点 C 的坐标为（3， ）， ∴BC＝6﹣ ＝ ； （3）∵S△OCD＝ k＝ ×2＝1， ∴S△BOD＝ OD•BD＝ •m•2m＝m2＝3， 解得 m＝ （负值已舍去）． 即存在 m，使得 S△BOD＝3S△COD．