江西省中考数学一轮复习课件：第13课时二次函数的图象及其性质(二)

第13课时 二次函数的图象及其性质(二) 考情分析 高频考点 年份、题号、分值 题型 2021年中考预测 求解二次函数的解析式 2017、22(2)、3分 解答题 ★★★★★2016、23(1)、2分 2014、24(2)(3)、5分 2014、24(1)(2)、4分 （续表） 考情分析 高频考点 年份、题号、分值 题型 2021年中考预测 二次函数有关变量 系数的综合探究 2017、22(1)(2)、4分 解答题 ★★★★★ 2015、23(1)、2分 2014、24(1)(2)、6分 2014、6、3分 选择题 2013、24(1)(2)、6分 解答题 已知 所设表达式 顶点+其他 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点在原点:①　　　　 (a≠0)  顶点在y轴上:②　　　　 (a≠0)  顶点在x轴上:③　　　　 (a≠0)  与x轴的两个交点 (x1,0),(x2,0)+其他 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 一、二次函数解析式的确定 用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下表: 知 ▶ 识 ▶ 梳 ▶ 理 y=ax2 y=ax2+ ky=a(x- h)2 已知 所设表达式 与x轴的一个交点 (x1,0)+对称轴x=h+其 他 (1)y=a(x-h)2+k(a≠0),当对称轴为y轴时,④　　　　 (a≠0);  (2)由对称轴x=h与(x1,0)求出抛物线与x轴的另一个交点 (x2,0)(x2=2h-x1),设解析式y=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0) 任意三个点 y=ax2+bx+c(a≠0) 过原点:⑤　　　 （续表） y=ax2+ k y=ax2+bx 二、二次函数图象的平移 图形表示 示例 【温馨提示】平移前,抛物线的解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)需用配方法化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.二次函数的图 象平移时,二次项系数不变 二次函数y=2x2+4x+3,将该函数化为顶点 式为⑥　　　 　 ;  (1)其图象向左平移2个单位后的解析式 为⑦　　　 　　 ;  (2)其图象向右平移2个单位后的解析式 为⑧　　　　 　 ;  y=2(x+1)2+ 1 y=2(x+3)2+ 1 y=2(x-1)2+1 图形表示 示例 【温馨提示】平移前,抛物线的解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)需用配方法化成y=a(x- h)2+k(a≠0)的形式.二次函数的图象平移 时,二次项系数不变 (3)其图象向上平移2个单位后的解析式 为⑨　　 　　;  (4)其图象向下平移2个单位后的解析式 为⑩　　　 （续表） y=2(x+1)2+ 3 y=2(x+1)2-1 1.已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3),则a的值为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 对 ▶ 点 ▶ 演 ▶ 练 题组一　必会题 C 2.[2019·无锡]某个函数具有性质:当x>0时,y随x的增大而增大,这个函数的表达 式可以是　　　 　(只要写出一个符合题意的答案即可). y=x2(答案不唯一) 3.[2020·玉林改编]把二次函数y=-a(x-1)2+4a的图象关于x轴作对称变换,所得图 象的解析式为　　 　　.  y=a(x-1)2-4a 4.[2020·威海]表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系.其函数表达 式为　 　　　. x … -1 0 1 3 … y … 0 3 4 0 … y=-x2+2x+3 题组二　易错题 【失分点】 函数图象的图形变换不能抓住关键点(如顶点);二次函数图象在平移时没有提前 化成顶点式. 5.[2020·名校联盟]在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2-2x+3的图象先向左平 移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为　　　　. y=x2 考向一　二次函数解析式的确定 【方法点析】对于确定二次函数解析式问题,一般采用如下两种方法,一是待定系 数法,在运用此法时,需要根据题中所给条件正确选用“一般式、顶点式、交点式” 中的一种形式,否则会给计算带来不便,若条件不是直接给出,应作适当转化,使其 条件满足相应的形式;二是由题中的数量关系或几何关系,直接求得两个变量之间 的关系式. ■ 考向精练 1.[2019·河南]已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 (　　) A.-2 B.-4 C.2 D.4 B 2.[2020·温州]已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13). (1)求a,b的值; (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值. 2.[2020·温州]已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13). (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值. 考向二　二次函数图象的变换(平移、对称、旋转) 例2[2020·吉安模拟改编]已知抛物线L:y=kx2+4kx-5,其中k>0. (1)以下结论正确的有　　　　(填序号). ①抛物线的对称轴是直线x=2; ②抛物线经过定点(0,-5),(-4,-5); ③函数y随着x的增大而减小; ④抛物线的顶点坐标为(-2,-4k-5). (2)将抛物线L向右平移k个单位得到抛物线L1.若抛物线L与抛物线L1关于y轴对称, 求抛物线L1的解析式. (3 )将抛物线L绕原点旋转180°,得到抛物线L2,则L2的解析式为　　　　.(用含k 的式子表示)  ②④ 例2[2020·吉安模拟改编]已知抛物线L:y=kx2+4kx-5,其中k>0. (2)将抛物线L向右平移k个单位得到抛物线L1.若抛物线L与抛物线L1关于y轴对称, 求抛物线L1的解析式. 解: (2)抛物线L的对称轴是直线x=-2,抛物线L1的对称轴是直线x=k-2, ∵抛物线L与抛物线L1关于y轴对称, ∴-2+k-2=0,∴k=4, ∴平移后的抛物线L1的解析式为:y=4(x-2)2-21. 例2[2020·吉安模拟改编]已知抛物线L:y=kx2+4kx-5,其中k>0. (3)将抛物线L绕原点旋转180°,得到抛物线L2,则L2的解析式为　　 　　. (用含k的式子表示)  y=-k(x-2)2+4k+5 【方法点析】将抛物线进行平移、翻折、旋转,它的形状不会发生变化,即|a|是不 变的,进而依据抛物线的开口方向判断a的符号.抛物线的图形变换抓住特殊点(如 顶点、交点)的坐标,求出这种变换下的对应点的坐标(常用中点坐标公式求),再运 用待定系数法即可求得变换后抛物线的解析式. 图13-1 ■ 考向精练 4.[2017·江西22题]已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴. (2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出 这两个定点的坐标; ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接 写出C2的表达式. (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 图13-2 解:(1)当a=1时,抛物线的解析式为y=x2-4x-5=(x-2)2-9,∴对称轴为直线x=2. 当y=0时,x-2=3或-3,即x=5或-1.∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0). 4.[2017·江西22题]已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0). (2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出 这两个定点的坐标; 图13-2 解: (2)①抛物线C1的解析式为y=ax2-4ax-5, 整理得y=ax(x-4)-5. ∵当ax(x-4)=0时,y恒定为-5, ∴抛物线C1一定经过两个定点(0,-5),(4,-5). 4.[2017·江西22题]已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0). (2) ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接 写出C2的表达式. 图13-2 解: (2)②过这两个定点的直线为y=-5, 将抛物线C1沿直线y=-5翻折,得到抛物线C2, 开口方向变了,但是对称轴没变, ∴抛物线C2的解析式为:y=-ax2+4ax-5. 4.[2017·江西22题]已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0). (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 图13-2 5.[2020·遂宁]阅读以下材料,并解决相应问题. 小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与 y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互 为 “旋转函数”.求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”.小明是这样思考的:由函数y=2x2-3x+ 1可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函 数的“旋转函数”. 请思考小明的方法解决下面问题: (1)写出函数y=x2-4x+3的“旋转函数”. (2)若函数y=5x2+(m-1)x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”,求(m+n)2020的值. (3)已知函数y=2(x-1)(x+3)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,B,C关 于原点的对称点分别是A1,B1,C1,试求证:经过点A1,B1,C1的二次函数与y=2(x- 1)(x+3)互为“旋转函数”. 5.[2020·遂宁]阅读以下材料,并解决相应问题. 小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与 y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数 互为“旋转函数”.求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”.小明是这样思考的:由函数 y=2x2-3x+1可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能 确定这个函数的“旋转函数”.请思考小明的方法解决下面问题: (1)写出函数y=x2-4x+3的“旋转函数”. 解:(1)由y=x2-4x+3可知,a1=1,b1=-4,c1=3, ∵a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0, ∴a2=-1,b2=-4,c2=-3, ∴函数y=x2-4x+3的“旋转函数”为y=-x2-4x-3. 5.[2020·遂宁]阅读以下材料,并解决相应问题. 小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与 y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数 互为“旋转函数”.求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”.小明是这样思考的:由函数 y=2x2-3x+1可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能 确定这个函数的“旋转函数”.请思考小明的方法解决下面问题: (2)若函数y=5x2+(m-1)x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”,求(m+n)2020的值. 5.[2020·遂宁]阅读以下材料,并解决相应问题. 小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与 y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数 互为“旋转函数”.求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”.小明是这样思考的:由函数 y=2x2-3x+1可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能 确定这个函数的“旋转函数”.请思考小明的方法解决下面问题: (3)已知函数y=2(x-1)(x+3)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,B,C关 于原点的对称点分别是A1,B1,C1,试求证:经过点A1,B1,C1的二次函数与y=2(x- 1)(x+3)互为“旋转函数”.