江西中考数学一轮复习课件：第24课时与圆有关的位置关系

第24课时 与圆有关的位置关系 课标要求 1. 探索并了解点与圆的位置关系,了解直线和圆的位置关系. 2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径的关系,会用三角尺过圆上一点画圆的 切线. 3.(选学)探索并证明切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 4.知道三角形的内心和外心. 考情分析 高频考点 年份、题号、分值 题型 2021年中考预测 切线的性质与判定 2020、21、9分 解答题 ★★★★2019、19、8分 2018、20、8分 2017、21、6分 三角形的外接 圆与内切圆 2016、17、6分 解答题 ★★ 一、点、直线与圆的位置关系 知 ▶ 识 ▶ 梳 ▶ 理 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 相离 相切 相交 数量关系 d①　　　r d②　　r d③　　r d④　　　r d⑤　　r d⑥　　r 图示 ☉O的半径是r, 点到圆心O的距离是d 直线与圆没 有公共点 直线与圆有 一个公共点 直线与圆有 两个公共点 > = < > = < 性质 性质定理 圆的切线⑦　　　　过切点的半径  常用结论 (1)切线与圆只有⑧　　　　个公共点; (2)圆心到切线的距离等于⑨　　　　 判定 定义判定 直线和圆只有一个公共点,这条直线是圆的切线 判定定理 经过半径的外端并且⑩　　　　这条半径的直线是圆的 切线  常用结论 圆心到一条直线的距离等于圆的⑪ 　　　　的直线  二、切线的性质与判定 垂直于 一 半径 垂直于 半径 定义 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线 段的长,叫做这点到圆的切线长(如图,线段PA,PB 的长) 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ⑫　　　　,这一点和圆心的连线⑬　　　　两 条切线的夹角(如图,PA=PB, ∠APO=∠BPO,  ∠AOP=∠BOP)  三、切线长与切线长定理* 相等 平分 内容 外接圆 内切圆 图示 定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆 圆心 三角形三条边的⑭　 　　　的 交点即外接圆的圆心,叫做三角形的 外心  三角形三条⑮　　 　　的交点即 内切圆的圆心,叫做三角形的内心  四、三角形的外接圆与内切圆 垂直平分线 角平分线 （续表） 内容 外接圆 内切圆 性质 三角形的外心到三角形的三个顶 点的距离相等 三角形的内心到三角形的三条边的 距离相等 画法 作三角形任意两边的垂直平分线, 其交点即为圆心O,以圆心O到任一 顶点的距离为半径作☉O即可 作三角形任意两角的平分线,其交点 即为圆心O,过点O作任一边的垂线 段作为半径,作☉O即可 1.已知☉O的半径为5,若OP=6,则点P与☉O的位置关系是 (　　) A.点P在☉O内 B.点P在☉O上 C.点P在☉O外 D.无法判断 C 对 ▶ 点 ▶ 演 ▶ 练 题组一　必会题 图24-1 2.如图24-1,∠O=30°,C为OB上一点,且OC=6,以点C为圆心,3为半径的圆与直线 OA的位置关系是 (　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.以上三种情况均有可能 C B 图24-2 3.[2019·无锡]如图24-2,PA是☉O的切线,切点为A,PO的延长线交☉O于点B,若 ∠P=40°,则∠B的度数为 (　　) A.20° B.25° C.40° D.50° 图24-3 [答案] A 　 图24-4 [答案] A 　 题组二　易错题 【失分点】 在图形不明确的情况下,判断点或直线与圆的位置关系时,忽视分类讨论而漏解. 图24-5 [答案] B 7.已知一个点到圆上的点的最大距 离是5,最小距离是1,则这个圆的直径 是　　　　. [答案] 6或4　 [解析]分两种情况:当点M在圆内时,如图①, ∵点到圆上的点的最小距离MB=1,最大距 离MA=5,∴直径AB=1+5=6;当点M在圆外 时,如图②,∵点到圆上的点的最小距离 MB=1,最大距离MA=5,∴直径AB=5-1=4. 考向一　切线性质的应用 例1如图24-6,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点 D,CE⊥AB于点E,连接BC. (1)求证:∠BCE=∠BCD; (2)若AD=10,CE=2BE,求☉O的半径. 图24-6 解:(1)证明:如图①,连接OC. ∵CD与☉O相切于点C, ∴∠OCD=90°. ∴∠OCB+∠BCD=90°. ∵CE⊥AB,∴∠OBC+∠BCE=90°.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠BCE=∠BC D. 例1如图24-6,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点 D,CE⊥AB于点E,连接BC. (2)若AD=10,CE=2BE,求☉O的半径. 图24-6 解:(2)如图②,连接AC. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°.∴∠A+∠ABC=90°. ∵∠ABC+∠BCE=90°,∴∠A=∠BCE. ∵∠BCE=∠BCD,∴∠A=∠BCD. 又∵∠D=∠D,∴△ACD∽△CBD. ■ 考向精练 图24-7 1.[2020·哈尔滨]如图24-7,AB为☉O的切线,A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O 上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为 (　　) A.25° B.20° C.30° D.35° B 图24-8 [答案]D 3.[2020·江西21题]如图24-9,已知∠MPN的两边分别与☉O相切于点A,B,☉O的半 径为r. (1)如图①,点C在点A,B之间的优弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度数. (2)如图②,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,∠APB的度数 应为多少?请说明理由. (3)若PC交☉O于点D,求第(2)问中对应的 阴影部分的周长(用含r的式子表示). 图24-9 3.[2020·江西21题]如图24-9,已知∠MPN的两边分别与☉O相切于点A,B,☉O的半 径为r. (1)如图①,点C在点A,B之间的优弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度数. 图24-9 解:(1)如图①,连接OA,OB. ∵PA,PB为☉O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°, ∴∠AOB+∠APB=180°. ∵∠APB=80°, ∴∠AOB=100°,∴∠ACB=50°. (2)如图②,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,∠APB的度数 应为多少?请说明理由. 解:(2)当∠APB=60°时,四边形APBC为菱形.理由如下:如图②,连接OA,OB. 由(1)可知∠AOB+∠APB=180°. ∵∠APB=60°,∴∠AOB=120°,∴∠ACB=60°=∠APB. ∵点C运动到PC最大,∴PC经过圆心. ∵PA,PB为☉O的切线,∴PA=PB,∠APC=∠BPC. 又PC=PC,∴△PCA≌ △PCB, ∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°, ∴PA=PB=CA=CB,∴四边形APBC为菱形. (3)若PC交☉O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示). 图24-9 考向二　切线的判定(微专题) 图24-10 角度1　利用平行证明垂直 例2 如图24-10,AB为☉O的直径,C,E为☉O上的两点,AC平分∠EAB,CD⊥AE于点 D.求证:CD为☉O的切线. 证明:连接OC. ∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO. ∵AC平分∠EAB,∴∠CAO=∠CAE. ∴∠CAE=∠ACO.∴OC∥AD. ∵CD⊥AE,∴OC⊥CD. ∵OC为半径,∴CD为☉O的切线. 角度2　利用全等证明垂直 例3如图24-11,PB切☉O于点B,连接PO,过点B作BA⊥PO交☉O于点A,连接AP.求 证: PA是☉O的切线. 图24-11 角度3　利用角之和证明垂直 例4[2019·镇江改编]如图24-12,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作 OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.求证:直线AB 与☉O相切. 图24-12 证明:连接OB,如图所示.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠OCD,∴∠ABC=∠OCD. ∵OD⊥AO,∴∠COD=90°, ∴∠D+∠OCD=90°. ∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,∴∠OBD+∠ABC=90°, 即∠ABO=90°,∴AB⊥OB,∵点B在☉O上,∴直线AB与☉O相切. ■ 考向精练 4.如图24-13,AB为☉O的直径,C,D为☉O上不同于A,B的两点,∠ABD=2∠BAC, 连接CD.过点C作CE⊥DB,垂足为E,直线AB与CE相交于F点.求证:CF为☉O的 切线. 图24-13 证明:连接OC.∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO. ∴∠COB=2∠BAC. ∵∠ABD=2∠BAC, ∴∠COB=∠ABD. ∴OC∥BD. ∵CE⊥BD,∴OC⊥CE. ∵OC为半径,∴CF为☉O的切线. 5.如图24-14,已知AB为☉O的直径,AB⊥AC,BC交☉O于点D,E是AC的中点,连接 ED.求证:DE为☉O的切线. 图24-14 6.如图24-15,AB是☉O的直径,C是☉O上一点(点C与点A,B不重合),过点C作直线 PQ,使得∠ACQ=∠ABC. 求证:直线PQ是☉O的切线. 图24-15 证明:如图,连接OC, ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO. ∵∠ACQ=∠ABC, ∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°, 即OC⊥PQ. ∵OC为半径,∴直线PQ是☉O的切线. 7.如图24-16,在三角形ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为 圆心, OE为半径作半圆,交AO于点F.求证:AC是半圆O的切线. 图24-16 证明:作OH⊥AC于H,如图, ∵AB=AC,AO⊥BC于点O, ∴AO平分∠BAC, ∵OE⊥AB,OH⊥AC, ∴OH=OE, ∴AC是半圆O的切线. 【方法点析】切线的判定方法: (1)如果直线和圆有公共点,常连接这个公共点和圆心,得到半径,再说明这条半径 和直线垂直,此直线即圆的切线(简记为“有公共点,连半径,证垂直”); (2)如果不确定直线与圆是否有公共点,常过圆心作这条直线的垂线,若垂线段的 长等于半径长,则该直线是圆的切线(简记为“无公共点,作垂线,证相等”). 考向四　与三角形外接圆相关的创新作图 图24-17 例5如图24-17,☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,P是☉O上一点. (1)操作:请你只用无刻度的直尺,分别画出图①和图②中∠P的平分线; (2)说理:结合图②,说明你这样画的理由. 解:(1)如图①,连接AP,PA即为所求作的角平分线. 如图②,连接AO并延长,与☉O交于点D,连接PD, PD 即为所求作角平分线. 图24-17 例5如图24-17,☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,P是☉O上一点. (2)说理:结合图②,说明你这样画的理由. ■ 考向精练 图24-18 解:(1)如图,AE即为所求.(2)如图,BF即为所求. 　 素养提升——数学文化 《九章算术》——勾股容圆 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步, 股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步, 股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是(　　) A.3步　 B.5步　 C.6步　 D.8步 图24-19 [答案]C