江西省中考数学一轮复习课件：第22课时矩形、菱形、正方形

第22课时 矩形、菱形、正方形 课标要求 1. 理解矩形、菱形、正方形的概念,以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的 关系. 2.探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的 四条边相等,对角线互相垂直;以及它们的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形, 对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平 行四边形是菱形. 3.探索并证明正方形的性质定理和判定定理,正方形具有矩形和菱形的一切性质. 考情分析 高频考点 年份、题号、分值 题型 2021年中考预测 矩形的性 质与判定 2019、13(2)、3分 解答题 ★★★★★ 2017、6、3分 选择题 2017、12、3分 填空题 2016、12、3分 填空题 2015、20(1)、3分 解答题 （续表） 考情分析 高频考点 年份、题号、分值 题型 2021年中考预测 菱形的性 质与判定 2019、22、9分 解答题 ★★★★★ 2018、22、9分 解答题 2017、6、3分 选择题 2016、18(2)、4分 解答题 2015、20(2)、5分 解答题 （续表） 考情分析 高频考点 年份、题号、分值 题型 2021年中考预测 正方形的 性质与判定 2018、12、3分 填空题 ★★★★ 2017、13(2)、3分 2016、17(2)、4分 解答题 ★★★ 2015、16、6分 一、矩形 知 ▶ 识 ▶ 梳 ▶ 理 矩形 定义 有一个角是①　　　　的平行四边形叫做矩形  性质 (1)边:对边平行且相等; (2)角:四个角都是②　　　　;  (3)对角线:两条对角线③　　　　　　　　;  (4)对称性:矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形, 矩形有④　　　　条对称轴  直角 直角 相等且互相平分 2 矩形 判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有⑤　　　　个角是直角的四边形是矩形;  (3)对角线⑥　　　　的平行四边形是矩形  面积 S矩形ABCD=ab(其中a为长,b为宽); （续表） 三 相等 二、菱形 菱形. 定义 有一组⑦　　　　 的平行四边形叫做菱形  性质 (1)边:菱形的对边平行,四条边都相等; (2)角:对角相等; (3)对角线:两条对角线⑧　 　　　,且每一条对角线平分 一组对角;  (4)对称性:菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴 是两条对角线所在的直线,对称中心是⑨　　　 邻边相等 垂直平分 对角线的交点 （续表） 邻边相等 相等 互相垂直 三、正方形 正方形 定义 四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形 性质 (1)边:四条边⑬　　　　; (2)角:四个角都是⑭　　　　;  (3)对角线:对角线⑮　 　　　　　,每条对角线平分 一组对角;  (4)对称性:正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对 称轴有⑯　　　　条  相等 直角 垂直平分且相等 4 （续表） 正方形 判定 (1)先证明它是矩形,再证有一组邻边相等,即有一组邻边 相等的矩形是正方形; (2)先证明它是菱形,再证有一个角是直角,即有一个角是 直角的菱形是正方形 四、特殊平行四边形之间的关系 五、中点四边形 图形 四边形ABCD与其中点四边形EFGH的对应关系 原理 E,F,G,H分别是各 边中点 任意四边形 ⑰ 　 三角形的中 位线平行且 等于第三边 的一半;菱形、 矩形、正方 形的判定 对角线相等:AC=BD 菱形 对角线垂直:AC⊥BD ⑱ 　 对角线垂直且相等:AC=BD 且AC⊥BD ⑲ 　 平行四边形 矩形 正方形 1.下列命题错误的是 (　　) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B 对 ▶ 点 ▶ 演 ▶ 练 题组一　必会题 2.[2020·南通]下列条件中,能判定▱ ABCD是菱形的是 (　　) A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BD D.AC⊥BD D 3.[2020·怀化]如图22-1,在矩形ABCD中, AC,BD相交于点O,若△AOB的面积为2, 则矩形ABCD的面积为 (　　) 图22-1 A.4 B.6 C.8 D.10 C 4.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是 (　　) A.5 B.20 C.24 D.32 B 5.[2020·天水]如图22-2所示,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原 点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为　　　　. 图22-2 [答案] (-1,5) 　 [解析] 如图,过点E作EA⊥y轴于点A,过点F作FP⊥AE交EA的延长线于点P. ∵四边形OEFG是正方形,∴EF=OE,∠FEO=90°. ∵∠FEP+∠PEO=90°,∠PEO+∠AOE=90°,∴∠AOE=∠FEP. 又∵EF=OE,∠EPF=∠OAE=90°, ∴△AOE≌ △PEF(AAS),∴AE=PF,PE=AO. ∵点E(2,3), ∴PE=AO=3,PF=AE=2, ∴点F的坐标为(-1,5). 题组二　易错题 【失分点】 运用矩形、菱形、正方形的性质时,由于对性质理解不清造成解题错误;矩形、菱 形、正方形的判定混淆;不能正确画出图形导致解答不全面. 图22-3 [答案]A 7.已知矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分∠BAD交矩形的边于点E,若 ∠CAE=10°,则∠AOB的度数为　　　　. [答案] 70°或110°　 [解析]根据题意画出如下示意图:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=90°,OA=OB=OD.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°. ∵∠CAE=10°,由图①,得∠BAO=∠BAE+∠EAC=45°+10°=55°. 又∵OA=OB,∴∠BAO=∠OBA=55°, ∴∠AOB=180°-55°-55°=70°. 由图②,得∠DAO=∠DAE+∠EAC=45°+10°=55°. 又∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=55°, ∴∠AOB=∠OAD+∠ODA=110°. 综上所述:∠AOB的度数为70°或110°. 8.[2020·德州]下列命题: ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; ③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形; ④对角线相等的平行四边形是矩形. 其中真命题的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 考向一　矩形的性质与判定 图22-4 (1)若∠DEB=90°,求证:四边形DFBE是矩形; 图22-4 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,DC∥AB,∴∠CDB=∠ABD. ∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠FDB=∠EBD, ∴DF∥BE. 又AD∥BC,∴四边形DFBE是平行四边形. 又∵∠DEB=90°,∴四边形DFBE是矩形. (2)若AB=BD,求证:四边形DFBE是矩形; 图22-4 解: (2)证明:由(1)可得四边形DFBE是平行四边形, ∵BE平分∠ABD,且AB=BD, ∴BE⊥AD, ∴四边形DFBE是矩形. 图22-4 ■ 考向精练 图22-5 C 2.[2018·江西10题]如图22-6,在矩形 ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时 针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落 在CD上,且DE=EF,则AB的长为　　　 　. 图22-6 3.[2019·江西13(2)题]如图22-7,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD 相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形. 图22-7 证明:∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AC,BD互相平分. 又∵OA=OD,∴AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. 考向二　菱形的性质与判定 图22-8 例2[2020·连云港]如图22-8,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线 与边AD,BC分别相交于点M,N. (1)求证:四边形BNDM是菱形; (2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长. 图22-8 例2[2020·连云港]如图22-8,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线 与边AD,BC分别相交于点M,N. (2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长. ■ 考向精练 4.[2019·江西6题]图22-9是由10根完全相同 的小棒拼接而成,请你再添2根与前面完全相 同的小棒,拼接后的图形恰好有3个菱形的方 法共有 (　　) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 图22-9 [答案] D　 [解析]具体拼法有6种,如图. 5.[2020·青岛]如图22-10,在▱ ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在 BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF. (1)求证:△ADE≌ △CBF. (2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时, 四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由. 图22-10 (2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由. 图22-10 解: (2)四边形AFCE是菱形.理由如下:如图所示, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥CB, ∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD,∴▱ ABCD是菱形,∴AC⊥BD. ∵△ADE≌ △CBF,∴AE=CF,∠AED=∠CFB, ∴AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵AC⊥BD,∴平行四边形AFCE是菱形. 6.[2015·江西20题](1)如图22-11①,▱ ABCD纸片中,AD=5,S▱ ABCD=15.过点A作 AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D, 则四边形AEE'D的形状为 (　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 图22-11 (2)如图22-11②,在(1)中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下 △AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D. ①求证:四边形AFF'D是菱形; ②求四边形AFF'D的两条对角线的长. 图22-11 6.[2015·江西20题](1)如图22-11①,▱ ABCD纸片中, AD=5, S▱ ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪 下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D, 则四边形AEE'D的形状为 (　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 图22-11 解:(1)C　 [解析]由平移知AE∥DE', AE=DE‘,∴四边形AEE'D 是平行四边形. 又∵AE⊥BC, ∴∠AEE'=90°, ∴四边形AEE'D是矩形. (2)如图22-11②,在(1)中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下 △AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D. ①求证:四边形AFF'D是菱形; 图22-11 解：(2)①证明:∵AF∥DF',AF=DF', ∴四边形AFF'D是平行四边形. ∵S▱ ABCD=15,AD=5,AE⊥BC,∴AE=3. 又∵EF=4,∠AEF=90°,∴AF=5, ∴AD=AF,∴四边形AFF'D是菱形. (2)如图22-11②,在(1)中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下 △AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D. ②求四边形AFF'D的两条对角线的长. 图22-11 考向三　正方形的性质与判定 图22-12 (1)求证:四边形ABCD是正方形; 图22-12 图22-12 解: (2)由(1)知,四边形ABCD为正方形, ∴AD=AB=2,∠DAH=∠ABC=90°. ∵EG⊥AG,EF⊥BC,∠ABC=90°, ∴∠CBG=∠EGB=∠EFB=90°,∴四边形BGEF是矩形. ∵∠DHE=90°,∴∠DHA+∠EHB=90°. ∵∠DAH=90°,∴∠DHA+∠ADH=90°,∴∠ADH=∠EHB. ■ 考向精练 7.[2020·滨州]下列命题是假命题的是(　　) A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D 8.[2020·常德]如图22-13,已知四边形ABCD是正方形,将△DAE,△DCF分别沿 DE,DF向内折叠得到图②,此时DA与DC重合(A,C都落在G点),若GF=4,EG=6,则 DG的长为　　　　. 图22-13 [答案] 12　 [解析]设正方形ABCD的边长为x,翻折可得:DG=DA=DC=x. ∵GF=4,EG=6,∴AE=EG=6,CF=GF=4,∴BE=x-6,BF=x-4,EF=6+4=10. 如图所示: 在Rt△BEF中,由勾股定理得:BE2+BF2=EF2, ∴(x-6)2+(x-4)2=102,∴x2-12x+36+x2-8x+16=100, ∴x2-10x-24=0, 解得x1=-2(舍去),x2=12,∴DG=12. 图22-14 [答案] ①④ 考向四　中点四边形 图22-15 例4[2017·江西6题]如图22-15,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中, 通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是 (　　) A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形 B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形 C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形 D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形 [答案] D ■ 考向精练 10.[2020·菏泽]如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形,那么原来四 边形的对角线一定满足的条件是 (　　) A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相垂直平分 C 图22-16 考向五　与矩形、菱形、正方形有关的创新作图 图22-17 例5 如图22-17,在菱形ABCD中,点P是BC的中点,请仅用无刻度的直尺按要求画 图. (1)在图①中画出AD的中点M; (2)在图②中的对角线BD上,取两个点E,F,使BE=DF.解:(1)如图①,点M即为所求. (2)如图②,点E,F即为所求. ■ 考向精练 12.[2020·吉安模拟]如图22-18,在所给的6×6方格中,每个小正方形的边长都是1. 按要求画多边形,使它的各个顶点都在方格的顶点上. (1)在图甲中画一个面积为5的平行四边形; (2)在图乙中画一个平行四边形,使其有一个内角为45°. 图22-18 解:(1)如图甲所示,平行四边形 ABCD即为所求(答案不唯一). 12.[2020·吉安模拟]如图22-18,在所给的6×6方格中,每个小正方形的边长都是1. 按要求画多边形,使它的各个顶点都在方格的顶点上. (2)在图乙中画一个平行四边形,使其有一个内角为45°. 图22-18 解:(2)如图乙所示,平行四边形EFGH即为所求 (答案不唯一).