江西中考数学一轮复习课件：第23课时圆的有关概念与性质

第23课时 圆的有关概念与性质 课标要求 1. 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念. 2.(选学)探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角 的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;直径所对的圆周角是直角;90 °的圆周 角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补. 考情分析 高频考点 年份、题号、分值 题型 2021年中考预测 垂径定理 及其推论 2017、21(1)、3分 解答题 ★★★★2016、18(1)、4分 2015、17(1)、3分 圆周角定理 及其推论 2015、10、3分 填空题 ★★★ 2014、12、3分 一、圆的有关概念和性质 知 ▶ 识 ▶ 梳 ▶ 理 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合,其中定点为 ①　　　　,定长为②　　　　 确定圆的条件 过不在同一直线上的三点确定一个圆,经过一个点或两个点的 圆有无数个 圆的对称性 (1)圆是③　　　　对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆 的对称轴;  (2)圆是④　　　　对称图形,圆心是对称中心;(3)圆具有旋转不 变性  圆心 半径 轴 中心 有 关 概 念 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦(线段AD) 直径 经过圆心的弦叫做直径(线段AB),直径是圆中最长的弦 弦心距 圆心到弦的距离(线段OE的长) 弧 圆上任意两点间的部分叫圆弧;大于半圆的弧叫 ⑤　　　　(如弧ACD); 小于半圆的弧叫⑥　　　　(如弧AC)  等弧 同圆或等圆中,能够互相重合的弧 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOC) 圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角(如∠ADC) （续表） 优弧 劣弧 二、圆心角、弧、弦之间的关系 弧 弦 三、垂径定理及其推论* 垂径定理 垂直于弦的直径⑨　　　　　　,并且平分弦所对的两条弧  推论 平分弦(不是直径)的直径⑩　　　　于弦,并且平分弦所对的两 条弧  平分这条弦 垂直 （续表） 垂直平分线 BM 四、圆周角定理及其推论 一半 相等 直角 （续表） 直径 互补 1.[2019·兰州]如图23-1,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=40°,则∠C等于 (　　) A.110° B.120° C.135° D.140° D 对 ▶ 点 ▶ 演 ▶ 练 题组一　必会题 图23-1 B 图23-2 图23-3 [答案] A　 [解析]连接OD.由垂径定理 可知O,C,D三点在同一条直 线上,OC⊥AB.设圆O的半径 为r,则OC=OA=r,AD=20 m, OD=OC-CD=(r-10)m.在 Rt△ADO中,由勾股定理知, r2=202+(r-10)2,解得r=25(m). 图23-4 [答案] D 5.[2010·江西15题]如图23-5,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标 为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为　　　　.  图23-5 (6,0) 题组二　易错题 【失分点】 对弦、弧、直径、半圆等概念理解不清;注意一条弦所对的圆周角有两个;利用垂 径定理时,易忽视弦在圆中的不同位置而造成漏解. 6.下列说法错误的是 (　　) A.直径相等的两个圆是等圆 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧 B 7.一条弦把圆分成1∶ 5两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是　　     　　. 30°或150° 8.[2018·孝感]已知☉O的半径为10 cm, AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm, CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是　　　　 cm.  [答案] 2或14　 考向一　垂径定理及其推论 例1如图23-6,☉O的直径CD=20,AB是☉O 的弦,AB⊥CD,垂足为M, OM∶ OD = 3∶ 5, 则AB的长为(　　) A.8 B.12 C.16 D.20 图23-6 [答案] C 【方法点析】利用垂径定理进行证明或计算,通常是在由半径、圆心到弦的垂 线段和弦的一半所组成的直角三角形中,利用勾股定理构建方程求出未知线段 的长. ■ 考向精练 图23-7 1.[2020·广州]往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图23-7所 示,若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为 (　　) A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm [答案]C 图23-8 [答案]D 3.[2020·湖州]如图23-9,已知AB是半圆O 的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD 与AB之间的距离是　　　　.  图23-9 [答案] 3 4.如图23-10,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,若∠CAB=30°,OD=2,则DC的长度 为　　　　.  图23-10 考向二　圆周角定理及其推论 图23-11 [答案] 60°　 [解析]在菱形OABC中,∠B=∠O, 又∵∠O=2∠D,∠D+∠B=180°, ∴∠D+2∠D=180°,∴∠D=60°. 【方法点析】求圆中角度时,若已知圆心角,找该圆心角所对的弧,再找该弧所对 的圆周角,也可以借助等腰三角形(圆的半径相等可构成等腰三角形),或直角三角 形(直径所对的圆周角为直角)的性质计算角度. ■ 考向精练 5.[2020·吉林]如图23-12,四边形ABCD内接于☉O.若∠B=108°,则∠D的大小为 (　　) A.54° B.62° C.72° D.82° 图23-12 C 6.[2020·海南]如图23-13,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD 等于(　　) A.54° B.56° C.64° D.66° 图23-13 A 7.[2020·淮安]如图23-14,点A,B,C在☉O上,∠ACB=54°,则∠ABO的度数是(　　) A.54° B.27° C.36° D.108° 图23-14 C 8.[2020·营口]如图23-15,AB是☉O的直 径, C,D是☉O上的两点,连接CA,CD,AD, 若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是(　　) A.110° B.130° C.140° D.160° 图23-15 [答案] B　 [解析]如图,连接BC.∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.  ∵∠CAB=40°,∴∠CBA=50°, ∵∠ADC+∠CBA=180°, ∴∠ADC=130°. 图23-16 [答案] A 10.[2013·江西16题]如图23-17,AB是半圆的直径,图①中,点C在半圆外;图②中, 点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图. (1)在图①中,画出△ABC的三条高的交点; (2)在图②中,画出△ABC中AB边上的高. 图23-17解:(1)在图①中,点P即为所求. (2)在图②中,CD即为所求. 11.[2020·南京]如图23-18,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D, 交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F. 求证:(1)四边形DBCF是平行四边形; (2)AF=EF. 图23-18证明:(1)∵AC=BC,∴∠BAC=∠B. ∵DF∥BC,∴∠ADF=∠B. 又∠BAC=∠CFD, ∴∠ADF=∠CFD,∴BD∥CF. 又DF∥BC,∴四边形DBCF是平行四边形. 11.[2020·南京]如图23-18,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,☉O经过点A,C,D, 交BC于点E,过点D作DF∥BC,交☉O于点F. 求证:(2)AF=EF. 图23-18 证明： (2)如图,连接AE. ∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,∴∠AEF=∠B. ∵四边形AECF是☉O的内接四边形, ∴∠ECF+∠EAF=180°. ∵BD∥CF,∴∠B+∠BCF=180°,∴∠EAF=∠B, ∴∠AEF=∠EAF,∴AF=EF.