苏科版数学七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》易错题专练（三）

2020-2021 学年七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》 易错题专练（三） 1．已知如图①，BP、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD、∠BCE 的角平分线，BQ、CQ 分 别是∠PBC、∠PCB 的角平分线，BM、CN 分别是∠PBD、∠PCE 的角平分线，∠BAC ＝α． （1）当α＝40°时，∠BPC＝ °，∠BQC＝ °； （2）当α＝ °时，BM∥CN； （3）如图②，当α＝120°时，BM、CN 所在直线交于点 O，求∠BOC 的度数； （4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC 三角之间的数量关 系： ． 2．已知，如图，E 为 BC 延长线上一点，点 D 是线段 AC 上一点． （1）如图 1，DF∥BC，作 DG 平分∠BDF 交 AB 于 G，DH 平分∠GDC 交 BC 于 H， 且∠BDC 比∠ACB 大 20°，求∠GDH 的度数． （2）如图 2，连接 DE，若∠ABC 的平分线与∠ADE 的平分线相交于点 P，BP 交 AC 于点 K． ①设∠ABK＝x，∠AKB＝y，∠ADP＝z，试用 x，y，z 表示∠E； ②求证：∠P＝ （∠A﹣∠E）． 3．已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， 又∠1＝∠DMN（ ）， ∴∠2＝∠ （等量代换）， ∴DB∥EC（ ）， ∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行， ）， ∵∠C＝∠D（ ）， ∴∠DBC+ ＝180°（等量代换）， ∴DF∥AC（ ，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（ ） 4．（1）如图①，△ABC 中，点 D、E 在边 BC 上，AD 平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝ 35°，∠C＝65°，求∠DAE 的度数； （2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F 为 DA 延长线上一点，FE⊥BC”， 其它条件不变，求∠DFE 的度数； （3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F 为 AD 延长线上一点，FE⊥BC”，其 它条件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE 的度数； （4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？ 5．如图，已知 AD∥BC，∠1＝∠2，要证∠3+∠4＝180°，请完善证明过程，并在括号 内填上相应依据： ∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（ ）， ∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（ ）， ∴ ∥ （ ）， ∴∠3+∠4＝180°（ ） 6．如图 1，点 A（a，6）在第一象限，点 B（0，b）在 y 轴负半轴上，且 a，b 满足： ． （1）求△AOB 的面积． （2）若线段 AB 与 x 轴相交于点 C，在点 C 的右侧，x 轴上是否存在点 D，使 S△ACD ＝S△BOC？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图 2，若∠AOx 轴＝60°，射线 OA 绕 O 点以每秒 4°的速度顺时针旋转到 OA′， 射线 OB 绕 B 点以每秒 10°的速度顺时针旋转到 O′B，当 OB 转动一周时两者都停止 运动．若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，OA′∥O′B？ 7．如图，在图 a、图 b、图 c 中都有直线 m∥n， （1）在图 a 中，∠2 和∠1、∠3 之间的数量关系是 ． （2）猜想：在图 b 中，∠1、∠2、∠3、∠4 之间的数量关系是 ． （3）猜想：在图 c 中，∠2、∠4 和∠1、∠3、∠5 的数量关系式是 ． 8．如图，AD 平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA． （1）求证：∠EAC＝∠B； （2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E 的度数． 9．已知：如图 1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图 1 的图形称 之 为 “ 8 字 形 ” ． 试 解 答 下 列 问 题 ： （1）在图 1 中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数： 个； （3）在图 2 中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相 交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N．利用（1）的结论，试求∠P 的度数； （4）如果图 2 中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D、∠B 之间存 在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可） 10．如图所示，已知 AB∥DC，AE 平分∠BAD，CD 与 AE 相交于点 F，∠CFE＝∠E．试 说明 AD∥BC．完成推理过程： ∵AB∥DC（已知） ∴∠1＝∠CFE（ ） ∵AE 平分∠BAD（已知） ∴∠1＝∠2 （角平分线的定义） ∵∠CFE＝∠E（已知） ∴∠2＝ （等量代换） ∴AD∥BC （ ） 参考答案 1．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°， ∵BP、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD、∠BCE 的角平分线， ∴∠CBP+∠BCP＝ （∠DBC+∠BCE）＝110°， ∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°， ∵BQ、CQ 分别是∠PBC、∠PCB 的角平分线， ∴∠QBC＝ ∠PBC，∠QCB＝ ∠PCB， ∴∠QBC+∠QCB＝55°， ∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°； （2）∵BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∵BM、CN 分别是∠PBD、∠PCE 的角平分线，∠BAC＝α， ∴ （∠DBC+∠BCE）＝180°， 即 （180°+α）＝180°， 解得α＝60°； （3）∵α＝120°， ∴∠MBC+∠NCB＝ （∠DBC+∠BCE）＝ （180°+α）＝225°， ∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°； （4）∵α＞60°， ∠BPC＝90°﹣ α、 ∠BQC＝135°﹣ α、 ∠BOC＝ α﹣45°． ∠BPC、∠BQC、∠BOC 三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣ α） +（135°﹣ α）+（ α﹣45°）＝180°． 故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°． 2．解：（1）设∠BCD＝a，则∠BDC＝a+20， ∴∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝160﹣2a， ∵DF∥BC ， ∴∠BDF＝∠CBD， ∵DG 平分∠BDF， ∴∠BDG＝ ∠BDF＝ ∠CBD＝80﹣a， ∴∠GDC＝∠BDG+∠BDC＝80﹣a+a+20＝100， ∵DH 平分∠GDC， ∴∠GDH＝ ∠GDC＝50°； （2）①∵BP 平分∠ABC，DP 平分∠ADE， ∴∠ABC＝2∠ABP＝2x， ∠ADE＝2∠ADP＝2z， ∵∠ACB 是△DCE 的外角， ∴∠E＝∠ACB﹣∠CDE， 在△ABC 中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣2x﹣∠A， ∴∠E＝180°﹣2 x﹣∠A﹣（180°﹣2z） ＝﹣2x+2z﹣∠A． ∵在△ABK 中，∠A＝180°﹣∠ABK﹣∠AKB＝180°﹣x﹣y， ∴∠E＝﹣2x+2z﹣（180°﹣x﹣y）＝2z﹣x+y﹣180°； ②∵∠AKP 分别是△PKD 与△ABK 的外角， ∴∠P＝∠AKP﹣∠ADP，∠AKP＝∠A+∠ABK， ∴∠P＝∠A+∠ABK﹣∠ADP＝180°﹣y﹣z， ∴∠E＝﹣2x+2z﹣（180°﹣x﹣y）＝2z﹣x+y﹣180°， ∵ （∠A﹣∠E）＝ （180°﹣x﹣y）﹣ （2z﹣x+y﹣180°）＝180°﹣y﹣z， ∴∠P＝ （∠A﹣∠E）． 3．解：故答案为： 对顶角； DMN； 同为角相等，两直线平行； 同旁内角互补； 已知； ∠D； 同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等 4．解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝ ∠BAC＝40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°； （2）作 AH⊥BC 于 H，如图②， 由（1）得∠DAH＝15°， ∵FE⊥BC， ∴AH∥EF， ∴∠DFE＝∠DAH＝15°； （3）作 AH⊥BC 于 H，如图③， 由（1）得∠DAH＝15°， ∵FE⊥BC， ∴AH∥EF， ∴∠DFE＝∠DAH＝15°； （4）结合上述三个问题的解决过程，得到∠BAC 的角平分线与角平分线上的点作 BC 的垂线的夹角为 15°． 5．解：∵AD∥BC（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠4＝180° （两直线平行，同旁内角互补）． 6．解：（1）∵ ． ∴a﹣2 ＝0，b+4＝0， 解得 a＝2 ，b＝﹣4； ∴A（2 ，6），B（0．﹣4） △AOB 的面积为： ×4×2 ＝4 ； （2）设直线 AB 的关系式为 y＝mx+n， ∵A（2 ，6），B（0．﹣4）， ∴ ， 解得 ， ∴直线 AB 的关系式为 y＝ x﹣4， 当 y＝0 时，x＝ ， ∴C（ ，0）， 设 D（a，0）， ∵S△ACD＝S△BOC， ∴ ×6×（a﹣ ）＝4× × ， 解得：a＝ ， ∴D 点坐标（ ，0）； （3）设 x 秒后 OA′∥O′B，由题意得： ①当∠1＝∠2 时，（90﹣60）+4x＝10x， 解得：x＝5； ②当∠3＝∠4 时，180﹣（30+4x）＝360﹣10x， 解得 x＝35， 答：在旋转过程中，经过 5 或 35 秒时间，OA′∥O′B． 7．解：（1）如图，过∠2 的顶点作 m∥a， ∵m∥n， ∴a∥m∥n， ∴∠4＝∠1，∠5＝∠3， ∵∠2＝∠4+∠5， ∴∠2＝∠1+∠3； （2）猜想：∠2+∠4＝∠1+∠3； （3）猜想：∠2+∠4＝∠1+∠3+180°﹣∠5． 故答案为：∠2＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3+180°﹣∠5． 8．（1）证明：∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC ∵∠EDA＝∠B+∠BDA，∠EAD＝∠CAD+∠EAC，∠EDA＝∠EAD ∴∠B＝∠EAC （2）解：由（1）可知：∠EAC＝∠B＝50°， 设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠EAD＝∠ADE＝x+50°， ∴50°+x+50°+x+3x＝180°， ∴x＝16°， ∴∠E＝3x＝48°． 9．解：（1）在△AOD 中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D， 在△BOC 中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等）， ∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）交点有点 M、O、N， 以 M 为交点有 1 个，为△AMD 与△CMP， 以 O 为交点有 4 个，为△AOD 与△COB，△AOM 与△CON，△AOM 与△COB，△ CON 与△AOD， 以 N 为交点有 1 个，为△ANP 与△CNB， 所以，“8 字形”图形共有 6 个； （3）∵∠D＝40°，∠B＝36°， ∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°， ∴∠OCB﹣∠OAD＝4°， ∵AP、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线， ∴∠DAM＝ ∠OAD，∠PCM＝ ∠OCB， 又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P， ∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝ （∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝ ×（﹣4°）+40° ＝38°； （4）根据“8 字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+ ∠P， 所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P， ∵AP、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线， ∴∠DAM＝ ∠OAD，∠PCM＝ ∠OCB， ∴ （∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P， 整理得，2∠P＝∠B+∠D． 10．证明：∵AB∥DC（已知） ∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等） ∵AE 平分∠BAD（已知） ∴∠1＝∠2（角平分线的定义） ∵∠CFE＝∠E（已知） ∴∠2＝∠E（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．