人教版八年级数学下册第十八章第8课矩形的判定

第8课 矩形的判定　 图形 判定(1) 判定(2) 判定(3) 有一个角是_____ 的____________形 是矩形 对角线_______的 ____________形是 矩形 有________是 ________的______ 形是矩形 ∵_____________ ， ∴四边形ABCD是 矩形 ∵_____________ ， ∴四边形ABCD是 矩形 ∵____________ ∴四边形ABCD是 矩形 直角 平行四边 相等 平行四边 三个角 直角 四边 四边形ABCD是平行 四边形，∠A=90° 四边形ABCD是平行 四边形，AC=BD ∠A=∠B=∠C=90° 1. （判定1）(例1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， EG∥CB，FG∥CA.求证：四边形EGFC是矩形. 证明：∵EG∥CB，FG∥CA， ∴四边形EGFC是平行四边形． 又∵∠C＝90°， ∴ EGFC是矩形． 2.如图，在 ABCD中，E为CD中点，AE＝BE. 求证：四边形ABCD是矩形．  证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵E为CD的中点， ∴DE＝CE. 在△ADE和△BCE中， ∴△ADE≌△BCE(SSS)， ∴∠D＝∠C.又∵AD∥BC， ∴∠D＋∠C＝180°， ∴∠D＝90°，∴ ABCD是矩形． , , , AD BC DE CE AE BE       3. （判定2）(例2)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC， BD相交于点O，且∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠1＝∠2， ∴OB＝OC. 又∵四边形ABCD是平行四边形， OB＝ BD，OC＝ AC， ∴BD＝AC. ∴ ABCD是矩形． 1 2 1 2 4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 △AOB是等边三角形．求证：四边形ABCD 是矩形.  证明：∵△AOB是等边三角形， ∴AO＝OB. 又∵在 ABCD中， OA＝ AC，OB＝ BD， ∴AC＝BD， ∴ ABCD是矩形． 1 2 1 2  5.（判定3）(例3)如图，A是直线MN上一点，AP，AQ分别是 ∠NAC和∠MAC的角平分线，CB⊥AQ于点B，CD⊥AP于点 D.求证：四边形ADCB是矩形. 证明：∵AQ，AP平分∠MAC和∠NAC， ∴∠BAC＝ ∠MAC，∠PAC＝ ∠NAC. 又∵∠MAC＋∠NAC＝180°， ∴∠BAC＋∠PAC＝90°，∴∠BAP＝90°. 又∵CB⊥AQ，CD⊥AP， ∴∠CBA＝90°，∠CDA＝90°， ∴四边形ADCB是矩形． 1 2 1 2 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC 与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE. 求证：四边形AEBD为矩形． 证明：∵AD，AE平分∠BAC，∠BAF， ∴∠BAD＝ ∠BAC，∠BAE＝ ∠BAF. 又∵∠BAC＋∠BAF＝180°， ∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即∠DAE＝90°. 又∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC.∴∠BDA＝90°. 又∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°， ∴四边形AEBD是矩形． 1 2 1 2 第1关 7. 下列说法正确的是(　　) A. 有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B. 有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角互补的平行四边形是矩形 D 8. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加 一个条件____________________(只添一个即可)，使平行 四边形ABCD是矩形． AC＝BD 第2关 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是△ABC 三边上的中点．求证：四边形CEDF是矩形. 证明：∵D，E，F分别是△ABC三边上的中点， ∴DE，DF是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形CEDF是平行四边形． 又∵∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形． 10. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， 且OA＝OD，∠OAD＝50°，求∠OAB的度数.  解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD， 又OA＝OD， ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠DAB＝90°， 又∠OAD＝50°， ∴∠OAB＝40°. 1 2 1 2 第3关 11. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过 点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF. (1)求证：D为BC的中点； (2)若AB＝AC，求证：四边形ADCF为矩形. 证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB， ∴AF＝BD.又∵AF＝DC， ∴BD＝DC，∴D为BC的中点． , , , AFE DBE AEF DEB AE DE         (2)∵AF∥BC，即AF∥DC， 又∵AF＝DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴ ADCF是矩形． 12. 如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连 接BD、DE、EC，DE交BC于点O. (1)求证：△ABD≌△BEC； (2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形.  证明：(1)∵在 ABCD中，AD BC， ∴∠A＝∠CBE. 在△ABD和△BEC中， ∴△ABD≌△BEC.  ∥ , , , AD BC A CBE AB BE       (2)∵AB DC，∴BE DC， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠CBE＋∠BEO＝∠BOD， 且∠BOD＝2∠A＝2∠CBE， ∴∠CBE＝∠BEO， ∴BO＝OE，∴BC＝ED， ∴ BECD是矩形． ∥ ∥ 谢谢！