苏科版数学八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》易错题专练（四）

八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》 易错题专练（四） 1．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交 DE 于点 F， FG∥AB 交 BC 于点 G． （1）求证：四边形 BDFG 是菱形； （2）若 EF＝1，CG＝4，求四边形 BDFG 的周长． 2．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，DE⊥BC，垂足为点 D，交 AB 于 E，点 F 在线 段 DE 的延长线上，连接 AF、CE，且 AF＝AE＝EC． （1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形； （2）当∠B＝30°时，连接 CF 交线段 AB 于点 M，在不添加任何辅助线的情况下，直 接写出四条长度等于 的线段． 3．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，过点 D 作 DE⊥BC 于 E，延长 CB 到点 F，使 BF＝CE，连接 AF，OF． （1）求证：四边形 AFED 是矩形． （2）若 AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求 OF 的长． 4．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以 AD，OD 为邻边作平行四边形 ADOE，连接 BE． （1）求证：四边形 AOBE 是菱形； （2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝3，求四边形 ADOE 的面积． 5．如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，以 BC 为边向三角形外作等边三角形△BCD， 把△ABD 绕 D 点按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD，若 AB＝4，AC＝2． （1）求∠ADE 的度数； （2）AD 的长． 6．如图，已知点 A，B 的坐标分别为（4，0），（3，2）． （1）将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到△EOF（点 A 对应点 E）．画出△ EOF； （2）点 F 的坐标是 ． 7．如图，在由边长为 1 的小正方形组成的 5×6 的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求解决下列问题： （1）通过计算判断△ABC 的形状； （2）在图中确定一个格点 D，连接 AD、CD，使四边形 ABCD 为平行四边形，并求出 ▱ABCD 的面积． 8．如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线分 别交 AB、CD 边于点 E、F． （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）当 DE＝DF 时，求四边形 DEBF 的面积 S 四边形 DEBF． 9．如图，在矩形 ABCD 中，∠DAF＝30°，M 是 CD 上一点，AM 的延长线交 BC 的延 长线于点 F，BE 垂直平分 AM，DG∥AF，MG∥DE． （1）判断四边形 DEMG 的形状，并说明理由？ （2）求证：△ADM≌△FCM． 10．已知：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点；过点 A 作 AF∥BC， 交 BE 的延长线于 F，连接 CF． （1）求证：四边形 ADCF 是平行四边形； （2）当△ABC 分别满足什么条件时，四边形 ADCF 是菱形；四边形 ADCF 是矩形，并 说明理由． 参考答案 1．证明：（1）∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点 ∴BC＝2DE，DE∥BC，且 FG∥AB ∴四边形 BDFG 是平行四边形 ∵BF 平分∠ABC ∴∠DBF＝∠GBF ∵DE∥BC ∴∠GBF＝∠DFB ∴∠DFB＝∠DBF ∴DF＝DB ∴四边形 BDFG 是菱形； （2）∵四边形 BDFG 是菱形； ∴DF＝BG＝GF＝BD ∵BC＝2DE ∴BG+4＝2（BG+1） ∴BG＝2 ∴四边形 BDFG 的周长＝4×2＝8 2．（1）证明：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠B＝∠ECA+∠ECB＝90°， ∵AE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵CE＝AE＝AF． ∴∠F＝∠FEA＝∠EAC＝∠ECA． ∴∠FAE＝∠AEC． ∴AF∥EC． 又∵AF＝EC， ∴四边形 ACEF 是平行四边形； （2）解：连接 CF 交线段 AB 于点 M， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AC＝ AB， 由（1）知 CE＝ AB， ∴AC＝CE， 又∵四边形 ACEF 为平行四边形 ∴四边形 ACEF 为菱形， ∴AE⊥CF， ∵∠B＝∠DCE＝30°，∠BDE＝∠CDE＝90°， ∴BD＝CD＝ DE， ∵∠DEB＝∠FEM＝∠DEC＝60°，EF＝CE，∠EMF＝∠CDE＝90°， ∴△EFM≌△ECD（AAS）， ∴EM＝DE，FM＝CD， ∴FM＝ DE， ∵CM＝CF， ∴CM＝ DE， ∴等于 的线段有 FM，CM，CD，DB． 3．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BF＝CE， ∴FE＝BC， ∴四边形 AFED 是平行四边形， ∵DE⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴四边形 AFED 是矩形． （2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD， ∵AD＝7，BE＝2， ∴FE＝7， ∴FB＝FE﹣BE＝5， ∴CE＝BF＝5， ∴FC＝FE+CE＝7+5＝12， ∵∠ABF＝45°， ∴△ABF 是等腰直角三角形， ∴AF＝FB＝5， 在 Rt△AFC 中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝13， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC， ∴OF＝ AC＝ ． 4．解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴DO＝BO． ∵四边形 ADOE 是平行四边形， ∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE． ∴AE∥BO，AE＝BO． ∴四边形 AOBE 是平行四边形． ∵AD⊥AB，AD∥OE， ∴AB⊥OE． ∴四边形 AOBE 是菱形； （2）设 AB 与 EO 交点为 M． ∵AB∥CD， ∴∠DCO＝∠BAO． ∵四边形 AOBE 是菱形， ∴∠EAO＝2∠BAO． ∵∠EAO+∠DCO＝180°， ∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°． 又 AM＝ AB＝ ， ∴EM＝ ． ∴EO＝3 ， ∴△AEO 面积为 ×3 × ＝ ， ∴四边形 ADOE 面积＝ ． 5．解：（1）∵把△ABD 绕 D 点按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD， ∴∠ADE＝60°； （2）延长 AC 交 DE 于 E′， ∵把△ABD 绕 D 点按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD， ∴∠ADE＝60°，AD＝DE， ∴△ADE 是等边三角形， 四边形 ABDC 中，∠BAC＝120°，∠BDC＝60°， ∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°， ∵把△ABD 绕 D 点按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD， ∴∠ECD＝∠ABD， ∴∠ECD+∠ACD＝180°，即∠ACE＝180°， ∴A、C、E 三点共线， 即 E 和 E′重合， ∵把△ABD 绕 D 点按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD，AB＝4，AC＝2， ∴EC＝AB＝4，AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝2+4＝6． 6．解：（1）如图，△EOF 为所作； （2）点 F 的坐标为（﹣2，3）． 故答案为（﹣2，3）． 7．解：（1）由题意可得，AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝5， ∵（ ）2+（2 ）2＝25＝52，即 AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC 是直角三角形． （2）过点 A 作 AD∥BC，过点 C 作 CD∥AB，直线 AD 和 CD 的交点就是 D 的位置， 格点 D 的位置如图， ∴▱ABCD 的面积为：AB×AC＝ ×2 ＝10． 8．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DC∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO， ∵O 是 BD 的中点， ∴DO＝BO， 在△DFO 和△BEO 中， ， ∴△DFO≌△BEO（ASA）， ∴DF＝BE， ∵DC∥AB（即 DF∥BE）， ∴四边形 DEBF 是平行四边形； （2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD＝ ＝ ＝10， ∵四边形 DEBF 是平行四边形，DE＝DF， ∴四边形 DEBF 是菱形， ∴DE＝BE， 设 DE＝BE＝x， 在 Rt△DAE 中，AD2+AE2＝DE2， 即 62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝ ， 即 BE＝ ， ∴四边形 DEBF 的面积 S 四边形 DEBF＝BE×AD＝ ×6＝ ． 9．解：（1）∵DG∥AF，MG∥DE， ∴四边形 DEMG 是平行四边形， ∵BE 垂直平分 AM，∠ADM＝90°， ∴DE 是 Rt△ADM 的中线， ∴DE＝ AM＝EM， ∴平行四边形 DEMG 是菱形； （2）如图，连接 BM， ∵∠BAD＝90°，∠DAM＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∵BE 垂直平分 AM， ∴BA＝BM， ∴△ABM 是等边三角形， ∴AM＝BM，∠ABM＝60°， ∴∠CBM＝90°﹣60°＝30°， 又∵AD∥BC， ∴∠F＝∠DAM＝30°， ∴∠CBM＝∠F， ∴BM＝FM， ∴AM＝FM， 又∵∠ADM＝∠FCM＝90°，∠AMD＝∠FMC， ∴△ADM≌△FCM（AAS）． 10．解：（1）证明：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD＝CD， ∵点 E 是 AD 的中点， ∴AE＝ED， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EBD， 在△AEF 和△DEB 中， ∵ ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝BD， ∴AF＝DC， 又∵AF∥BC， ∴四边形 ADCF 为平行四边形； （2）①当∠BAC＝90°，四边形 ADCF 是菱形．理由如下： ∵∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∵四边形 ADCF 为平行四边形， ∴四边形 ADCF 是菱形； ②当 AB＝AC 时，四边形 ADCF 是矩形．理由如下： ∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵四边形 ADCF 为平行四边形， ∴四边形 ADCF 是矩形．