中考九年级数学一轮专题复习：四边形综合（二）

2021 年中考九年级数学一轮专题复习：四边形综合（二） 1、如图，已知矩形 ABCD 中，F 是 BC 上一点，且 AF=BC，DE⊥AF，垂足是 E，连 接 DF．求证： （1）△ABF≌△DEA； （2）DF 是∠EDC 的平分线． 2、如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G.. ⑴.求证：AE=CF⑵.若∠ABE=55°，求∠EGC 的大小。 3、已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积． 4、如图，平行四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G 是 CD 的中点，E 是边 AD 上的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连结 CE，DF． （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）①当 AE= cm 时，四边形 CEDF 是矩形； ②当 AE= cm 时，四边形 CEDF 是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由） 5、如图，在矩形 ABCD 中,AB= 2cm,∠ADB =30°. P，Q 两点分别从 A，B 同时出 发，点 P 沿折线 AB--BC 运动，在 AB 上的速度是 2cm/s,在 BC 上的速度是 2 3 cm/s; 点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动.过点 P 作 PN⊥AD，垂足为点 N.连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作▱ PQMN.设运动的时间为 x(s)，▱ PQMN 与矩形 ABCD 重 叠部分的图形面积为 (cm2). (1)当 PQ⊥AB 时，x = ； (2)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 的取值范围； (3)直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1:3 两部分时，直接写出 x 的值. 6、在矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，H 为 BE 上的一点， ，连接 CH 并延长 交 AB 于点 G，连接 GE 并延长交 AD 的延长线于点 F． （1）求证： ； （2）若∠CGF=90°，求 的值． 7、如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠CAB=∠ACB，过点 B 作 BE⊥AB 交 AC 于点 E． （1）求证：AC⊥BD； （2）若 AB=14，cos∠CAB= ，求线段 OE 的长． 8、如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB ≠ CD，BD = AC． （1）求证：AD = BC； （2）若 E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点，求证：线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分． 9、如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 是 AD 上的点，且 AE=EF=FD．连接 BE、BF，使它们分别与 AO 相交于点 G、H． （1）求 EG：BG 的值； （2）求证：AG=OG； （3）设 AG=a，GH=b，HO=c，求 a：b：c 的值． 10、如图，我们把依次连接任意四边形 ABCD 各边中点所得四边形 EFGH 叫中点四 边形． （1）若四边形 ABCD 是菱形，则它的中点四边形 EFGH 一定是 ； A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形 （2）若四边形 ABCD 的面积为 S1，中点四边形 EFGH 的面积记为 S2，则 S1 与 S2 的 数量关系是 S1= S2 （3）在四边形 ABCD 中，沿中点四边形 EFGH 的其中三边剪开，可得三个小三角 形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请在 答题卡的图形上画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形． 11、如图，四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，点 P 为 OA 边上任意一点（与点 O、 A 不重合），连结 CP，过点 P 作 PM⊥CP 交 AB 于点 D，且 PM＝CP，过点 M 作 MN ∥OA，交 BO 于点 N，连结 ND、BM，设 OP＝． （1）求点 M 的坐标（用含的代数式表示）； （2）试判断线段 MN 的长度是否随点 P 的位置的变化而改变？并说明理由； （3）当为何值时，四边形 BNDM 的面积最小． 12、如图①，在四边形 BCDE 中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为 C，D， A，BC≠AC，点 M，N，F 分别为 AB，AE，BE 的中点，连接 MN，MF，NF． （1）如图②，当 BC=4，DE=5，tan∠FMN=1 时，求 的值； （2）若 tan∠FMN= ，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程； （3）连接 CM，DN，CF，DF．试证明△FMC 与△DNF 全等； （4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出在▱ ABCD 中，点 P 和点 Q 是直线 BD 上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD． 13、（1）如图①，求证：BP+BQ=BC； （2）请直接写出图②，图③中 BP、BQ、BC 三者之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若 DQ=1，DP=3，则 BC= ． 14、一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下 的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为 n 阶奇异矩形．如图 1，矩形 ABCD 中，若 2AB ， 6BC ，则称矩形 ABCD 为 2 阶奇异矩形． （1）判断与操作： 如图 2，矩形 ABCD 长为 5，宽为 2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶 奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由． （2）探究与计算： 已知矩形 ABCD 的一边长为 20，另一边长为 a（a < 20）,且它是 3 阶奇异矩形， 请画出矩形 ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出 a 的值． （3）归纳与拓展： 已知矩形 ABCD 两邻边的长分别为 b，c（b < c），且它是 4 阶奇异矩形，求 b︰c（直接写出结果）． 15、如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在边 BC 上（不与点 B，C 重合），连结 AG， 作 DE⊥AG 于点 E，BF⊥AG 于点 F，设 =k． （1）求证：AE=BF． （2）连结 BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β．求证：tanα=ktanβ． （3）设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H，△AHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S1 和 S2，求 的最大值． 16、在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F。 （1）在图 1 中证明CE CF ； （2）若 90ABC  ，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若 120ABC   ，FG∥CE， FG CE ，分别连结 DB、DG（如图 3），求∠ BDG 的度数。 17、在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O.若四边形 ABCD 是正方形如图 1： 则有 AC=BD，AC⊥BD． 旋转图 1 中的 Rt△COD 到图 2 所示的位置，AC’与 BD’有什么关系？（直接写 出） 若四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，旋转 Rt△COD 至图 3 所示的位置，AC’与 BD’又有什么关系？写出结论并证明. 18、在四边形 ABCD 中，  180DB ，对角线 AC 平分 BAD . （1）如图 1，若  120DAB ，且  90B ，试探究边 AD 、AB 与对角线 AC 的 数量关系并说明理由. （2）如图 2，若将（1）中的条件“  90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？ 请说明理由. （3）如图 3，若  90DAB ，探究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量关系并说明 理由。 19、如图，矩形 OABC 中，A(6，0)、C(0，2 3)、D(0，3 3)，射线 l 过点 D 且 与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º． (1)点 B 的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点 Q 与点 A 重合时， 点 P 的坐标为 ； (2)设点 P 的横坐标为 x，△OPQ 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相应的自变量 x 的取值范围． 20、阅读理解： 如图①，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A、B 重合），分别 连接 ED、EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似， 我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似， 我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“强相似点”。 解决问题： ⑴.如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的 相似点，并说明理由； ⑵.如图②，在矩形 ABCD 中，A、B、C、D 四点均在正方形网格（网格中每个小 正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的强相似点； ⑶.如图③，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若点 E 恰好 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 与 BC 的数量关系。 21、如图，矩形 ABCD 中，∠ACB = o30 ，将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两 对角线 AC,BD 的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角 边分别于边 AB,BC 所在的直线相交，交点分别为 E,F. (1)当 PE⊥AB,PF⊥BC 时，如图 1，则 PE PF 的值为 . (2)现将三角板绕点 P 逆时针旋转 （ o o0 60  ）角，如图 2，求 PE PF 的值； (3)在（2）的基础上继续旋转，当 o o60 90  ，且使 AP:PC=1：2 时，如图 3， PE PF 的值是否变化？证明你的结论.