人教版八年级数学下册第十八章第11课正方形的性质课件

第11课 正方形的性质　 图形 正方形的性质 几何语言 (1)正方形既是矩形又是 菱形，它具有矩形、菱 形的所有性质； (2)正方形的四边都 ________，四角都 ________，对角线 ____________，且对角 线平分每一组 ． ∵正方形ABCD ∴(边)： ， _____________________ (角)： _____________________ (对角线)： ， _____________________ 相等 是直角 垂直平分且相等 对角 AB=BC=CD=AD AB∥CD，AD∥BC ∠A=∠B=∠C=∠D=90° AC=BD AC⊥BD，AO=BO=CO=DO 1. (例1)已知正方形ABCD， (1)若边长为2，则对角线为________， 周长为________，面积为________； (2)图中有________个90°角， 有________个45°角. 2 2 8 4 8 8 2. 已知正方形ABCD的对角线相交于点O. (1)若周长为4，则对角线长为________， 面积为________； (2)图中共有________个等腰直角三角形， 正方形有________条对称轴. 2 1 8 4 小结：正方形的边长，对角线，周长、面积中已知 任一项，可求出另外三项 3. (例2)如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点． 求证：AE＝CE. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB 在△ADE和△CDE中， ∴△ADE≌△CDE， ∴AE＝CE. , , , AD CD ADE CDE DE DE       4.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延 长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠DAE＋∠BAE＝90°. ∵∠BAF＋∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF. 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF，∴DE＝BF. , , , DAE BAF AD AB D ABF         5.(例3)四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点， DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.求证：AF－BF＝EF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED＝∠AFB＝90°. ∴∠ADE＋∠EAD＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF. 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△DAE， , , , BAF ADE AFB AED AB AD         ∴AE＝BF. 又∵AF－AE＝EF， ∴AF－BF＝EF. 6. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC上的点， 且AE＝BF.求证：(1)CE＝DF；(2)CE⊥DF. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCF＝∠B＝90°，BC＝CD＝AB. ∵AE＝BF，AB＝BC， ∴AB－AE＝BC－BF， ∴BE＝CF. 在△DCF和△CBE中， ∴△DCF≌△CBE，∴CE＝DF. , , , DC CB DCF B CF BE       (2)∵△DCF≌△CBE， ∴∠BCE＝∠CDF. 又∵∠BCE＋∠GCD＝90°， ∴∠GCD＋∠CDF＝90°， ∴∠DGC＝90°， ∴CE⊥DF. 第1关 7. 下列命题的逆命题成立的是(　　) A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等 B 8.如图，延长正方形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接 AE交CD于点F，则∠E的度数是(　　) A. 30°　　　B. 45° C. 55°　　　D. 22.5° D 第2关 9. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形 A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，正方 形A1B1C1O绕点O转动. (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)说明四边形BEOF的面积为正方形ABCD面积的 .1 4 证明：(1)∵四边形ABCD为正方形， ∴∠OAB＝∠OBF＝45°，BO⊥AC， 即∠AOE＋∠EOB＝90°， 又∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴∠A1OC1＝90°，即∠BOF＋∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF(ASA)， , , , AOE BOF AO BO OAE OBF         (2)S四边形BEOF＝S△BOF＋S△BOE ＝S△AOE＋S△BOE ＝S△AOB ＝ S正方形ABCD 1 4 10.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边 BC上，连接BE、DF，DF交对角线于点P，且DE＝DP. 求证：(1)AE＝CP；(2)BE∥DF. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAE＝∠DCP＝45°，AD＝CD. ∵DE＝DP，∴∠DEP＝∠DPE， ∴180°－∠DEP＝180°－∠DPE， ∴∠AED＝∠DPC. 在△AED和△CPD中， ∴△AED≌△CPD，∴AE＝CP. , , , DAE DCP AED CPD AD CD         (2)易证△ABE≌△ADE， ∴∠AED＝∠AEB， ∴∠BEP＝∠DEP. 又∵∠DEP＝∠DPE， ∴∠BEP＝∠DPE， ∴BE∥DF. 第3关 11. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上， ∠ADE＝∠CDF. (1)求证：AE＝CF； (2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD， 连接EG、 FG，判断四边形DEGF的形状，并说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF.∴AE＝CF. , , , ADE CDF AD CD A C         (2)解：四边形DEGF是菱形．理由如下： ∵AE＝CF，∴BE＝BF， ∴∠OEB＝∠OFB＝45°. 又∵∠OBE＝45°， ∴∠EOB＝90°，∴EF⊥DG. 又∵OD＝OG， ∴DE＝EG，DF＝FG. ∵△ADE≌△DCF ∴DE＝DF，∴DE＝EG＝FG＝DF， ∴四边形DEGF是菱形． 12.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线 上一点，且DF＝BE. (1)求证：CE＝CF； (2)若G在AD上，且∠GCE＝45°，求证：GE＝BE＋GD. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠FDC＝90°，BC＝CD. ∴在△EBC和△FDC中， ∴△EBC≌△FDC，∴CE＝CF. , , , BE DF B FDC BC DC       (2)∵△EBC≌△FDC， ∴∠BCE＝∠DCF，BE＝DF，∵∠GCE＝45°， 又∵∠BCE＋∠DCG＝90°－45°＝45°， ∴∠DCG＋∠DCF＝45°， ∴∠GCF＝45°. 在△ECG和△FCG中， ∴△ECG≌△FCG.∴EG＝GF. 又∵GF＝GD＋DF，∴EG＝BE＋GD. , , , CG CG ECG FCG CE CF       谢谢！