人教版八年级数学下册第十七章第12课正方形的判定课件

第12课 正方形的判定　 图形 判定(1) 判定(2) 有一组邻边________的 ________形是正方形 有一个角是_______的 ________形是正方形 ∵__________________ __________ ∴四边形ABCD是正方 形 ∵__________________ __________ ∴四边形ABCD是正方 形 相等 矩 直角 四边形ABCD是矩形， AB=BC 菱 四边形ABCD是菱形， ∠A=90° 1. (例1)已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形， 那么这个条件可以是(　　) A. ∠D＝90° B. AB＝CD C. AD＝BC D. BC＝CD D 2. 已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.如果添加一个 条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以 是(　　) A. AB∥CD B. ∠A＝90° C. AD∥BC D. ∠A＝∠C B 3. (例2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，求证：四边形CFDE是正方形． 证明：∵∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90°， ∴四边形CFDE是矩形． 又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC， ∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形． 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：△BED≌△CFD； (2)当∠A＝90°时，求证：四边形AEDF是正方形. 证明：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD. , , , BED CFD B C BD CD         (2)∵∠DEA＝∠DFA＝∠A＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． ∵△BED≌△CFD， ∴DE＝DF， ∴矩形AEDF是正方形． 5. (例3)如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边 上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE. 求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；(2)四边形EFPQ是正方形. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°， ∵AP＝AB－BP，DF＝AD－AF，BP＝AF， ∴AP＝DF. 在△APF和△DFE中， ∴△APF≌△DFE， ∴PF＝FE.同理PF＝PQ＝QE＝FE. , , , AF DE A D AP DF       (2)∵EF＝FP＝PQ＝QE， ∴四边形EFPQ是菱形． ∵△APF≌△DFE， ∴∠AFP＝∠DEF. ∵∠DEF＋∠DFE＝90°， ∴∠AFP＋∠DFE＝∠90°， ∴∠PFE＝90°， ∴菱形EFPQ是正方形． 6. 如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点. 求证：(1)EF＝FG＝GH＝EH；(2)四边形EFGH是正方形. 证明：(1)设正方形ABCD的边长为2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a. ∵点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴AE＝BE＝BH＝HC＝CG＝GD＝DF＝AF ＝a 则EF＝EH＝HG＝FG＝ ， ∴EF＝FG＝GH＝EH. 2 2 2a a a  (2)由(1)知四边形EFGH是菱形， 又∵AF＝AE，BE＝BH， ∴∠AFE＝∠AEF＝45°， ∠BEH＝∠EHB＝45°， ∴∠FEH＝90°， ∴菱形EFGH是正方形． 正方形的判定方法：四边形 矩形 菱形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 正方形 第1关 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分别 是BC、AB、AC边上的中点，求证：四边形AEDF是正方形. 证明：∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点， ∴AE∥DF，DE∥AF. ∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形． ∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点， ∴DE＝ AC，DF＝ AB， ∵AB＝AC，∴DE＝DF， ∴矩形AEDF是正方形． 1 2 1 2 8.如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然 后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是 什么特殊的四边形？请说出你的理由. 解：四边形ABEF是正方形．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠B＝90°. 由于∠B与∠AFE折叠后重合， ∴∠AFE＝∠B＝90°，∴四边形ABEF是矩形． ∵AB，AF折叠后重合，∴AB＝AF， ∴四边形ABEF是正方形． 第2关 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是 △ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明. (1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE， ∴∠DAE＝ ×180°＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． 1 2 (2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一 个正方形．证明如下： ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝45°. ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴DC＝AD. ∵四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形． 10.如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D， 分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称 图形，D点的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点． 求证：四边形AEGF是正方形. 证明：由对称可知△ABD≌△ABE， △ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC， AE＝AD，AF＝AD. ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝45°＋45°＝90°. 第3关 ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠F＝∠EAF＝90°. ∴四边形AEGF为矩形． 又∵AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形． 谢谢！