人教版八年级数学下册第十八章第10课菱形的判定

菱形的判定　 图形 判定(1) 判定(2) 判定(3) 有一组邻边_____ 的____________ 形是菱形 对角线互相_____ 的____________ 形是菱形 四边_______的 ____________形 是菱形 ∵_____________ ， ∴四边形ABCD是 菱形 ∵_____________ ， ∴四边形ABCD是 菱形 ∵____________ ∴四边形ABCD 是菱形 相等 平行四边 垂直 平行四边 相等 四边 四边形ABCD是平 行四边形，AB=BC 四边形ABCD是平行 四边形，AC⊥BD AB=BC=CD=AD 1. (例1)如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC， CE∥BD，DE和CE相交于E.求证：四边形OCED是菱形． 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵OD＝OC， ∴ OCED是菱形． 2. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB. 求证：四边形AEDF是菱形． 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. 又∵DF∥AE， ∴∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF， ∴AF＝DF，∴ AEDF是菱形． 3. (例2)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且 AB＝10，OC＝8，OD＝6.求证： ABCD是菱形．   证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC＝10. ∵62＋82＝102， 即：DO2＋OC2＝DC2， ∴DO⊥OC， ∴ ABCD是菱形． 4. 如图，已知矩形ABCD，点B是CE的中点，EF∥AC. 求证：(1)△ABC≌△FBE； (2)四边形ACFE是菱形. 证明：(1)∵EF∥AC， ∴∠BFE＝∠BAC. 在△ABC和△FBE中， ∴△ABC≌△FBE. , , , ABC FBE BFE BAC BC BE         (2)∵在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴AF⊥EC. 由(1)知△ABC≌△FBE， ∴EF＝AC，又∵EF∥AC， ∴四边形ACFE是菱形． 5.(例3)如图，△BCD为等腰三角形，把它沿底边BD翻折后， 得到△ABD.请你判断四边形ABCD的形状，并说出你的理由． 解：四边形ABCD是菱形．理由如下： ∵△BCD为等腰三角形， ∴BC＝CD. 由翻折得到△ABD， ∴AB＝BC，AD＝DC. ∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形． 6. 如图，两个等边三角形拼在一起. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵△ABC和△ADC是 等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， AD＝DC＝AC. ∴AB＝BC＝CD＝AD. ∴四边形ABCD为菱形． 第1关 7. 已知四边形ABCD是平行四边形，要添加一个条件，使 它成为一个菱形，在下列所给的条件中，不能添加的条 件是(　　) A. AB＝BC B. AC⊥BD C. AC平分∠BAD D. AC＝BD D 8.将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能 够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A．AB＝BC B.∠ACB＝60° C.∠B＝60° D.AC＝BC D 第2关 9. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其 延长线上，连接BE、CF，CE∥BF. (1)求证：△BDF≌△CDE； (2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形. 证明：(1)∵CE∥BF， ∴∠CEF＝∠BFE. 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE. , , , CEF BFE CDE BDF DC BD         (2)由(1)知△BDF≌△CDE， ∴BF＝EC， ∴四边形BFCE是平行四边形． ∵AB＝AC，点D是BC中点， ∴AD⊥BC，即EF⊥BC， ∴ BFCE是菱形． 10.如图，用两张等宽且对边平行的纸条交叉重叠地放在一 起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是菱形．理由如下： 过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AE⊥CD于点E. ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△ADE(AAS)． ∴AB＝AD.∴ ABCD是菱形． , , , ABC ADE AFB AED AF AE          第3关 11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、 BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长 线于点E，连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若DC＝2 ，AC＝4，求OE长.5 (1)证明：由题知AD∥BC，AB＝BC， BD平分∠ABC ∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC， ∴AB＝AD＝BC， ∴四边形ABCD平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形. (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△OCD中，由勾股定理得： OD＝ ＝4 ∴BD＝2OD＝8， ∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°， ∵O为BD中点， ∴OE＝ BD＝4.1 2 2 2 1 2CD AC     12. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上的 一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行 线，分别交AB，AC的延长线于点F，G，连接BE. (1)求证：△AEB≌△ADC； (2)如果BC＝CD，判断四边形BCGE的形状，并说明理由． (1)证明：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形， ∴∠BAE＋∠EAG＝60°，∠CAD＋∠EAG＝60°. ∴∠BAE＝∠CAD. 在△AEB和△ADC中， ∴△AEB≌△ADC(SAS)． , , , AB AC BAE CAD AE AD       (2)解：四边形BCGE是菱形．理由如下： 由(1)知△AEB≌△ADC，∴∠ADC＝∠AEB. ∴∠FBE＝∠BAE＋∠AEB＝∠CAD＋∠ADC＝∠ACB＝60°. ∵BC∥FG，∴∠F＝∠ABC＝60°，∠G＝∠ACB＝60°. ∴∠BEF＝180°－60°－60°＝60°. 又∵∠G＝∠BEF，∴BE∥AG. 又∵FG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形． 又∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD. 又∵BC＝CD，∴BE＝BC. ∴ BCGE是菱形． 谢谢！