用二元一次方程组解决问题（2）的教学设计
【教学目标】
经历“找已知量和未知量—梳理数量关系—建立表格—找相等关系”等数学
活动，体验列二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组也是刻画
现实世界的有效数学模型；会用列表格来分析实际问题中的量与量之间的关系，
通过检验所得问题的结果是否符合实际意义，深刻感受了数学的应用价值，提高
学生分析问题和解决实际问题的能力.
[设计意图]
通过上节课的学习，学生已经对构建二元一次方程组模型来解决实际问题有
了初步了解.本节课主要是通过列表格的方法把问题中的数量关系清晰的呈现出
来，化复杂为简单，学习了另外一种分析实际问题的方法，这点是至关重要的.
既能激发学生的学习兴趣，也能开拓分析问题的视野，进而达到顺利解决实际问
题的目的.达成了课标的目标.
【教学重点】
分析实际问题中的已知量和未知量，理清数量之间的关系，并用表格的形式
呈现.
【教学难点】
如何梳理实际问题中数量之间的关系，并用表格的形式清晰地呈现.
【教学过程】
一、探索活动
【活动 1】
【问题 1】
某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产 1 个甲种产品需用时 8s、铜 8g；生
产 1 个乙种产品需用时 6s、铜 16g.如果生产甲、乙两种产品共用 1h，用铜 6.4kg，
那么甲、乙两种产品各生产多少个？
[流程]：
1、思考串:
、你知道问题中的已知量和未知量吗？（学生正确回答教师按照一定顺
序板书）
、设生产甲种产品 x 个，乙种产品 y 个，甲、乙用时和用铜该如何表示
呢？（小组讨论完成）
、如何找 x、y 相等关系呢？
2、和学生一起构建表格大致流程：
1 个甲种产品 1 个乙种产品 总计
用时/s 8 6 3600
用铜/g 8 16 6400
x个甲种产品 y 个乙种产品 总计
用时/s 8x 6y 3600
用铜/g 8x 16y 6400
3、教师完成板书：
解：设生产甲种产品 x 个，乙种产品 y 个.
根据题意，得
,360068
.6400168
yx
yx
解这个方程组，得
,240
.280
x
y
答：生产甲种产品 240 个，生产乙种产品 280 个.
[设计意图]
目的：
1、明确题中的已知量和未知量是我们解决任何数学问题的前提，解决实际
问题也不例外.学生找出已知量和未知量应该很容易（注意单位统一）.
2、学生一边说已知量的时候，教师一边在黑板上板书，板书时就按照下面
表格的相关项目进行排列，也为下面表格的建立做好前期准备工作.写好一个甲、
乙的用时和用铜后，这时教师稍作停顿，抛出问题：是否非常完整的呈现了题中
的已知量，你有何建议？引发学生的思考：必须再添加“总计”.这样所有的已
知量都在呈现出来了.
3、因为有两个未知量，如果将甲的生产个数设为 x，则乙自然设为 y，相关
的量又该如何表示呢？启迪学生讨论，并大胆的说出自己的观点，梳理相关量之
间的数量关系.将问题由特殊化为更一般的情况.
4、由于此问题中的量比较多，量和量之间的关系比较复杂，为了清晰的呈
现这些量以及它们之间的关系，抛出问题：你有什么好方法？让学生感受到，表
格是一种很好的方法，而且还能使得题中的量不会遗漏，这样设计出来的表格既
简洁又清楚的呈现了所有的已知量和未知量.
5、在解出方程组的解之后，要提醒学生一定要对方程组的解进行检验（两
层）：第一层是方程组解的正确性检验；第二层是解是否则符合实际意义.
【练一练】
运输两批救灾物资，第一批 360t，用 6 节火车皮和 15 辆汽车正好装完；第
二批 440t 用 8 节火车皮和 10 辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装
物资多少（单位：t）?
[流程]：
1、学生独立完成具体解题过程.
2、利用投影仪展示学生完成情况.（展示 3 人左右）
3、学生代表分析题中的数量关系.
4、找出以上（投影）解题过程中的不规范的地方.
[设计意图]
目的：
1、通过这个练习的完成，培养学生解决简单实际问题的能力.
2、利用投影展示（3 人左右），快速了解学生完成这题的情况，也为下面
找出解题中的不规范，做好准备.
3、学生代表发言，可以很好的训练学生的语言表达能力，让学生体验
到成功的喜悦.
4、解题中的不规范，具有典型性，很多学生就会这样做.通过这个环节，学
生能够更加的关注解题过程的规范性（如：未知量的设法的语句要完整；检验流
于形式，解错了也没有检验出来；“答”也不能少等.）
【活动 2】
【问题 2】
为了强化公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用价格调控手段来引导
市民节约用水：每户居民每月用水不超过 15 立方米时，按基本价格收费；超过
15 立方米时，超过的部分要加价收费.该市某户居民今年 4、5 月份的用水量和
水费如下表所示，
求该市用水的两种收费价格.
[流程]：
1、小组讨论：从这个表格中能得到哪些信息？如何解决这个问题？
2、小组代表发言：解读表格相关信息.
3、分析相等关系：水费=不超过 15 立方米的费用+超过 15 立方米的费用
4、设出两种价格，根据相等关系，列出方程组.
【做一做】：
（基本水价为 3 元/立方米，超过 15 立方米部分的价格为 5 元/立方米 ）
（1）上述问题中，如果某居民 1 月份用水 4 立方米，那么需要交水费____
元；如果某居民 6 月份用水 21 立方米，那么需要交水费_____元.
（2）在上面的问题中，如果某居民某月交水费 80 元，那么用水量为______
立方米.
月份 用水量/立方米 水费/元
4 16 50
5 20 70
[设计意图]
目的：
1、问题 4 不同于问题 3 的地方在于：问题 3 是没有表格，是需要学生去自
主设计表格进行分析；而问题 4 是已经有表格的前提下，如何提炼表格的有效信
息，从中找到两种价格的数量关系是解决此问题的关键.
2、通过小组讨论，群策群力，代表发言，达到问题的解决的目的，在体验
成功的喜悦的同时，也提升的分析和解决问题的能力，达到课标的要求.
3、【做一做】的设置的第（1）问是已知用水量求水费，有两个思路去求解：
第一是分不超过的费用和超过的费用来算；第二是根据题目中 20 立方米的费用
是 70 元，再加上超过的 1 立方米 5 元，共 75 元.第（2）问是已知水费求用水量，
也可以从不超过 15 立方米的费用和超过 15 立方米的费用来算用水量；也可以借
助题意：5 月用水 20 立方米共 70 元，所以 80-70=10 元,超过了 2 立方米，所以
共用水 22 立方米.可以得到一个共识：用水量和水费，已知一个量可以求另一个
量，其实它们之间就是一种“函数”关系，为函数的学习也做了铺垫.
二、【尝试解决】
某景点的门票价格如下表：
购票人数 1～50 人 51～100 人 100 人以上
票价 40 元 35 元 30 元
某校七年级 1、2 两班共 102 人去游览该景点，其中 1 班不足 50 人，2 班多
于 50 人但不足 60 人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款 3815 元．
（1）两班各有多少名学生？
（2）如果两个班合起来买票，可节省多少钱？
[设计意图]
目的：
1、此题也是以表格的形式呈现题目中的相关的信息，人数在不同范围内的
票价也不一样，读懂表格至关重要.
2、关于第二问：合起来买票省钱问题.积极的寻求省钱的方式购票，也符合
数学来源于生活，也服务于生活的目的.一方面可以激发学生的学习热情，另一
方面也可以培养学生的良好的生活情操.
三、拓展提高
邮购每册 6 元的某种杂志，邮寄费和优惠率如下表：
邮购册数 1－99 100 以上(含 100)
邮寄费用 书价的 10％ 免邮寄费
书价优惠 不优惠 优惠 10％
两次邮购这种杂志共 200 册，总计金额 1140 元，两次邮购杂志各多少册？
[流程]：
1、小组合作完成此题.
2、小组代表上黑板讲解.
3、 展开讨论：是否要对每次邮购的册数进行大致的讨论？
[设计意图]
1、“尝试解决”中问题的难度在于要对两次共 200 册杂志进行分类讨论:
①两次都小于 100；②两次都大于 100；③一次小于 100，一次大于 100；④两次
都等于 100.对于每种情况进行逐一判断，并最终确定只有“一次小于 100，一次
大于 100”这一种可能.分类讨论思想是初中数学重要的思想方法之一，可以提
高学生全面分析问题的能力.
2、发挥小组合作学习的优势，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强
学生自信心.
四、小结思考
请你谈谈这节课有哪些收获？
[设计意图]
本环节目的是在通过学生谈谈收获的过程中，教师获得反馈，从而及时补充
与指导，归纳与总结，并对学生精彩的总结给予表扬，建议全班掌声以资鼓励！
五、作业
P111,第 2、3 题；
【教学感悟】
1、本节课主要围绕用表格去分析问题，借助一元二次方程组去解决问题.问题 1
的关键是构建表格去分析；问题 2 是读懂表格至关重要.整节课的流程比较顺畅.
2、问题 2 之后的“做一做”，将教材的问题进行了改编，虽然难度不大，但是
学生思考问题的方式方法得到了很大的提升.也给此问题的解决提供了不同的方
法，发散了思维，符合课标的要求.
3、表格只是分析问题的手段，不是必须手段.所以在问题 1 之后的练习中，没有
要求学生用表格去分析题目中的已知量和未知量，如果学生能够很快的找到问题
的相等关系，并通过设出未知量，列出方程组，也是很好的.列表格不必强求.
教学中，教师把控的很好，学生解决问题的时候也很好.用不用列表格分析完全
由学生自己做主，体现以学生为主体，鼓励多元化的课堂生成.
4、拓展提升这个环节，学生经过了充分小组讨论后，对这个问题有自己的独到
的想法.教学中，教师大胆的把问题抛给学生，完全放开，比如，以为学生代表
上黑板讲解就很精彩：
这个问题分三种情况讨论：
第①种：两次册数都比 100 小.由于两次册数之和是 200，所以此情况不成
立.
第②种：两次册数都在 100 以上.由于两次册数之和是 200，如果此情况成
立的话，只能两次都是 100 册.100×2（1-10%）×6=1080
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