九年级中考数学一轮复习课件（人教版）第2讲　代数式与整式

第2讲　代数式与整式 考点1 代数式 字母 温馨提示 代数式的书写必须遵循下列规则: 1.数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以省略不写或用“·” 代替,省略乘号时,数字因数应写在字母因数的前面,数字是带 分数时要改写成假分数,数字与数字相乘时仍要写“×”号. 2.代数式中出现除法运算时,一般要写成分数的形式. 3.用代数式表示某一个量时,代数式后面要带单位,如果代数 式是和、差形式,要用括号把代数式括起来. 考点2 整式及相关概念 数字因数 之和 次数最高的项 所含字母 相同字母的指数 考点3 整式的运算 1.加减运算、合并同类项 系数 字母和字母的指数 相同 b+c b-c 相反 b-c b+c b+c b+c 2.幂的运算 相加 am+n 相乘 amn 等于各因式乘方的积 相减 am-n 3.乘法运算 相乘 指数 每一项 相加 4.乘法公式 a2-b2 a2±2ab+b2 考点4 因式分解 多项式 积 因式 m(a+b+c) (a+b)(a-b) (a±b)2 温馨提示 (1)因式分解要分解彻底; (2)一般结果只留小括号; (3)相同因式的乘积写成幂的形式; (4)因式分解与整式乘法是互逆运算. 核心素养 1.小强是一位密码翻译爱好者,在他的密码手册中,有这样一 条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:城、 爱、我、宜、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈 现的密码信息可能是(　　) A.我爱美　　B.宜城游 C.我爱宜城D.美我宜城 C 2.在多项式的乘法公式中,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2是 其中重要的一个. (1)请补全完全平方公式的推导过程. (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+___________+___________+b2 =a2+___________+b2.  ab ba 2ab (2)如图,将边长为a+b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分, 请你结合图形给出完全平方公式的几何解释. 边长为a+b的正方形的面积等于边长 分别为a和b的两个小正方形面积的和, 再加上两个长为a,宽为b的长方形的 面积.(或边长为a+b的正方形的面积 等于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分面积之和) (3)用完全平方公式求5982的值.  5982=[600+(-2)]2 =6002+2×600×(-2)+(-2)2 =360 000-2 400+4 =357 604. 或5982=(600-2)2=6002-2×600×2+22 =360 000-2 400+4 =357 604. 3.神奇的等式:当a≠b时,一般来说会有a2+b≠a+b2,然而,当a和b 是特殊的分数时,这个等式却可能是成立的!例如: (1)特例验证:请再写出一个具有上述特征的等式: __________________;  (2)猜想结论:用n(n为正整数)表示分数的分母,上述等式可表 示为:____________________;  (3)证明推广: ①(2)中得到的等式一定成立吗?若成立,请证明;若不成立,请 说明理由; 成立,请写出一个这种形式的等式(要求m,n中至少有一个为 无理数);若不成立,请说明理由. ①等式成立.  ∴左边=右边,∴等式成立 . ②此等式成立. 数学文化 4.如图①为2019年10月份的日历表,某同学任意框出了其中的 四个数字,如图②,若用m表示框图中相应位置的数字,则“?”位 置的数字可表示为(　　) A.m+1B.m+5 C.m+6D.m+7 C 5.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出 下表,此表揭示了(a+b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规 律.例如: 例如: (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5… 则(a+b)9展开式中所有项的系数和是(　　) A.128B.256 C.512 D.1 024 C 解析:解法一:取a=1,b=1,则可以计算(a+b)9展开式中所有项的 系数和是29=512. 解法二:(a+b)0的展开式中所有项的系数和为1,(a+b)1的展开 式中所有项的系数和为2,(a+b)2的展开式中所有项的系数和 为4,(a+b)3的展开式中所有项的系数和为8,(a+b)4的展开式中 所有项的系数和为16,…,(a+b)9的展开式中所有项的系数和 为29=512. 6.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也截取 不完,如图: 由图易得: 命题1 代数式及其求值 【典例1】已知代数式a2-2a-3的值为0,那么代数式2a2-4a-5 =___________. 【思路导引】要求代数式2a2-4a-5的值,先把代数式2a2-4a-5 变形为2(a2-2a-3)+1,再整体代入求值. 1 解析:2a2-4a-5=2(a2-2a-3)+1=2×0+1=1.故填1. 【变式训练】 1.(2020·潍坊)若m2+2m=1,则4m2+8m-3的值是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 D 2.(2020·枣庄)图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪 刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样 的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空余的 部分的面积是(　　) A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2 C 3.(2020·临沂)若a+b=1,则a2-b2+2b-2=___________. -1 4.(2020·黔西南州)如图,是一个运算程序的示意图,若开始输 入x的值为625,则第2020次输出的结果为___________.  1 … 依此类推,以5,1循环, (2 020-2)÷2=1 009,能够整除, 所以输出的结果是1. 命题2 整式的相关概念 A.2 B.3 C.4 D.5 B 2 7.(2020·绵阳)若多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多 项式,则mn=___________.  8.(2020·黔西南州)若7axb2与-a3by的和为单项式,则yx=_______. 0或8 解析:由题意,得n-2=0,1+|m-n|=3,即n=2,|m-n|=2,解得n=2,m=4 或m=0,∴mn=0或8. 8 命题3 数式规律 【典例2】(2020·滨州)观察下列各式: 根据其中的规律可得an=___________(用含n的式子表示).  【思路导引】观察分母的变化为3、5、7,…,2n+1次幂;分子 的变化为:奇数项为n2+1;偶数项为n2-1;即第n项的分子式是 n2 + ,依此即可求解. 【变式训练】 9.(2020·达州)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球, 设每条棱上的小球数为m,下列代数式表示正方体上小球总 数,则表达错误的是(　　) A.12(m-1) B.4m+8(m-2) C.12(m-2)+8 D.12m-16 A 解析:正方体共有12个棱,8个顶点,每条棱上的小球数为m,其 中每个顶点处的小球被重复记了2次,所以小球总数=12m- 8×2=12m-16,故D正确;每条棱上不重复的小球数为(m-2),再 加上重复的小球8即为小球总数,则小球总数=12(m-2)+8,故C 正确;每条棱都有两个顶点,都被重复记数,被重复记数的顶点 为8,可以分配给4条棱,在其余8条棱计算小球数时都不要再算 顶点数,则小球总数=4m+8(m-2),故B正确. 10.(2020·聊城)人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的 小正方形地砖铺设而成,如图中的每一个小正方形表示一块 地砖,如果按图①②③…的次序铺设地砖,把第n个图形用图n 表示,那么图50中的白色小正方形地砖的块数是(　　) A.150 B.200 C.355 D.505 C 解析:方法1:根据图形规律可知,白色小正方形地砖的块数分 别为: ① 5×3-3×1;② 5×5-3×2;③ 5×7-3×3;… 则图n有白色小正方形地砖的块数是5(2n+1)-3n=7n+5,图50 中的白色小正方形地砖的块数是7×50+5=355. 方法2:从数字规律考虑,图①②③中白色小正方形地砖的块 数分别为12,19,26,…发现相邻两数的差均为7,即有① 12=7×1+5;② 19=7×2+5; ③ 26=7×3+5;… 则图n中白色小正方形地砖的块数是7n+5,50中的白色小正方 形地砖的块数是7×50+5=355. 方法3:从函数角度入手考虑,根据题意,初步猜想白色小正方 形地砖的块数s与图形序号n具有一次函数关系,设s=kn+b,把 (1,12),(2,19)代入, 验证:当n=3时,s=7×3+5=26,符合题意. 当n=50时,s=7×50+5=355. 11.(2020·德州)下面是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样 的规律摆下去,第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 (　　) A.148 B.152 C.174D.202 C 解析:根据图形,第1个图案有12枚棋子, 第2个图案有22枚棋子, 第3个图案有34枚棋子,… 第n个图案有2(1+2+…+n+2)+2(n-1)=n2+7n+4枚棋子,故第10 个这样的图案需要黑色棋子的个数为 102+7×10+4=100+70+4=174(枚).故选C. 12.(2020·安徽)观察以下等式: 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:________________;  (2)写出你猜想的第n个等式:_______________(用含n的等式 表示),并证明.  ∴等式成立.  命题4 整式的运算 13.(2020·聊城)下列计算正确的是(　　) A.a2·a3=a6 B.a6÷a-2=a-3 C.(-2ab2)3=-8a3b6D.(2a+b)2=4a2+b2 14.(2020·潍坊)下列运算正确的是(　　) A.2a+3b=5ab B.a3·a2=a5 C.(a+b)2=a2+b2D.(a2b)3=a6b C B C 16.(2020·北京)已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的 值.  解:(3x+2)(3x-2)+x(x-2) =9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4, ∵5x2-x-1=0,∴5x2-x=1, ∴原式=2(5x2-x)-4=-2. 命题5 因式分解 【典例3】(2020·聊城)因式分解:x(x-2)-x+2=___________.  【思路导引】通过添加括号,构造并提取公因式(x-2)进行分 解. (x-2)(x-1) 解析:原式=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1).  【变式训练】 分解因式: 18.(2020·益阳)下列因式分解正确的是(　　) A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b) B.a2-9b2=(a-3b)2 C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2 D.a2-ab+a=a(a-b) C 19.(2020·济宁)a3-4a=___________.  20.(2020·潍坊)x2y-9y=___________.  21.(2020·淄川一模)a2(a-3)+2a=___________.  a(a+2)(a-2) y(x+3)(x-3) a(a-1)(a-2) 解析:a2(a-3)+2a=a(a2-3a+2)=a(a-1)(a-2).