苏科版七年级下册数学第9章整式乘法与因式分解--多项式的因式分解教案

多项式的因式分解 【教学目标】 1.会用提公因式、公式法等进行因式分解 2.了解因式分解的一般步骤并在因式分解中，经历观察、探索和作出推断的过程， 提高分析能力和解决问题的能力 【知识链接】 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因 式分解（或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。 （一）提公因式法 1、公因式 多项式 ma＋mb＋mc 中，各项都有一个公共的因式 m，称为该多项式的公因式。 一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法 由 m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，得到 ma＋mb＋mc＋=m(a＋b＋c),其中，一个 因式是公因式 m，另一个因式（a＋b＋c）是 ma＋mb＋mc 除以 m 所得的商，这 种分解因式的方法叫做提公因式法。 （二）公式法 1.平方差公式： ))((22 bababa  两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式： 222 2 ）（ bababa  222 -2- ）（ bababa  两数的平方和加上（或减去）这两数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的 平方. （三）十字相乘法 （1）首项系数是 1 的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即 将上式反过来，     x a b x ab x a x b2       得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键 在于确定上式中的 a 和 b，例如，为了分解因式 x px q2   ，就需要找到满足下 列条件的 a、b； （2）二次项系数不为 1 的二次三项式的因式分解 二次三项式ax bx c2   中，当a  1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路 可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式 2 7 62x x  ，首先要把二次项系 数 2 分成 1×2，常数项 6 分成     2 3 ，写成十字相乘，左边两个 数的积为二次项系数。 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为    1 3 2 2 7       ，正好是 一次项系数，从而得   2 7 6 2 2 32x x x x     。 （3）含有两个字母的二次三项式的因式分解 a b p ab q       如果是形如2 7 62 2a b ab  的形式，则把 ab 看作一个整体，相当于 x，如果 是形如 2 7 62 2x xy y  ，则先写成 2 7 62 2x y x y · ，把 y 看作已知数，写成十 字相乘的形式是 所以   2 7 6 2 2 32 2x xy y x y x y     ，即右边十字上都要带上字母 y，分解的 结果也是含有两个字母的两个因式的积。 知识点一：提公因式法（整体思想的运用） 【例题 1】分解因式 （1） 33 xyyx  ； （2） xxx 27183 23  ； （3）  11 2  xx ； 【变式 1】分解因式 （1）18a3bc－45a2b2c2； （2）4xyz－4x2yz－12xy2z； 【变式 2】分解因式 （1）    32 24 xyyx  ； （2）    xyyyxx  ； 【变式 3】分解因式 （1）   yxyxm  2 ； （2） 20am+1b2n+4－12a2m+1bm+2 知识点二：公式法 【例题 2】分解因式： (1)9a2－b2； (6)49(x－2)2－25(x－3)2． (5)a2－6a(b－c)＋9(b －c)2； 【变式 1】分解因式： (1)(m－n)2－1； (2) 4x2－(x－y)2； 【变式 2】分解因式： (1)x2－6xy＋9y2； (2)－a2－9b2＋6ab； 【变式 3】分解因式： (1) 222 )42()2(  xxx (2)4(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)＋(x－y)2 ； 知识点三：十字相乘 【例题 3】分解因式： （1） 342  xx （2） 22 86 nmnm  【变式 1】分解因式： （1） 1272  aa (2） 2 26 16x xy y   【变式 2】分解因式： （1） 36522  xyyx （2） 3)(4)( 2  baba 【变式 3】分解因式： （1） （2）3 11 102x x  知识点四：分组分解 x xy y2 229 100  【例题 4】分解因式： （1）x2－x－9y2－3y （2） 32669 22  yxyxyx 【变式 1】分解因式： （1）xy－x－y+1 (2) 7x2－3y+xy－21x 【变式 2】分解因式： (1) x2－y2－z2－2yz (2)2a2-a3 -a 【变式 3】分解因式： （1）   165)45( 22  xxxx (2)4x2+20(x-x2 )+25(1-x)2 知识点五：多种方法的综合应用 【例题 5】分解因式： (1)4x2y2－64x2z2； (2)－3ma3＋6ma2－12ma； 【变式 1】分解因式： (1) 2a2b2－28ab＋98； (2)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)； 【变式 2】分解因式： (1)(4m2＋1)2－16m2； (2) (x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1． 【当堂练习】 1、把下列各式分解因式 （1）8x－72 （2）a2b－5ab (3)36(x+y)2 –49(x-y)2 （4）15(a－b)2－3y(b－a) (5)4(x＋y)2＋25－20(x＋y) ； （6） 822  mm 2、计算:7.6×201.7＋4.3×201.7－1.9×201.7= 3、   kx x x k2 5 6 3 2    ， ____________。 4、若 3a＋b＝50，a－3b＝11，则(2a－b)2－(a＋2b)2＝____________． 5、已知4 4 4 2 1 02 2x xy y x y      ，求证：2 3 02 2x xy y x y     【课后作业】 1、把下列各式分解因式 (1)(x2+x+1)2-1 (2)3ax2+6axy+3ay2 (3) (a+b)2-12(a+b)+36 (4)x2＋ 1 4 －x (5) a4b4＋4a2b2c＋4c2； (6) x x2 6 7  2、若 100x2＋kxy＋49y2 可以分解成(10x－7y)2，则 k 的值为__________________． 3、如果 a2－8ab＋16b2＝0，且 b＝2.5，那么 a＝_______________． 4、分解因式：(a+2)(a－2)+3a= ． 5、把 x2+3x+c 分解因式得：x2+3x+c=（x+1）（x+2），则 c 的值为（ ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 6、若 4x2－Mxy＋9y2 是两数和的平方，则 M 的值是 （ ） A．36 B．±36 C．12 D．±12 7、已知 x y x y xy    3 1 4 42 2 ，求 x 与 y 的值。