乘法公式
【教学目标】
1.能够利用几何图形推导出完全平方公式、平方差公式，并进行简单的计算。
2.熟练运用平方差公式和完全平方公式解决综合问题。
【知识链接】
一、完全平方公式
1、文字描述:两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两
个数积的 2 倍。
2、用公式表示：(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²，-般我们把第一个公式叫做和
的完全平方公式，第二个公式叫做差的完全平方公式。
3、完全平方公式的推导
(1)用多项式乘法推导 (2) 借助几何图形推导
二、平方差公式
1、文字描述:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
2、用公式表示：(a+b)(a-b)=a²-b²
3、平方差公式的推导
(1)用多项式乘法推导 (2)借助几何图形推导
知识点一：完全平方公式
【例题 1】计算：
（1）（x-2y）² （2）（-2x-y）² （3）（a-2b+c）²
【变式 1】先化简，再求值。
x（x-2）+（x+1）²，其中 x=1。
【变式 2】若整式 4x²+µ+1 是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式
µ： 。
【变式 3】
（1）已知 a-b=2，ab=1，求 a²+b²和（a+b）²的值；
（2）已知 2)( yx =4， 2)( yx =6，求 22 yx 和 xy 的值；
（3）已知
xx 1 =3，求 2
2 1
xx 的值。
【变式 4】如图①大正方形的面积可以表示为（a+b）²，也可以表示为 c²+4× 2
1 ab，
即（a+b）²=c²+4× 2
1 ab，由此可以推导出一个重要的结论 a²+b²=c²，这个重要的
结论就是著名的“勾股定理”。这种根据图形可以非常简单、直观地推论或验证数
学规律和公式的方法，简称为“无字证明”。
(1)请你用图 ②(2002 年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中
四个直角三角形中较长的直角边长都为 a，较短的直角边长都为 b，斜边长都为
c);
(2) 请 你 用 图 ③ 提 供 的 图 形 进 行 组 合 ， 用 组 合 图 形 的 面 积 表 达 式 验 证
(x+y)²=x²+2xy+y²；
知识点二：平方差公式
【例题 2】计算：
（1）（3x+2y）（3x-2y） （2）（2m+3n）（-2m+3n）
（3） )9)(3)(3( 2 xxx （4） )4)(4( yxyx
【变式 1】已知 8 yx ， 6 yx ，求 22 yx 的值。 2)2
11000(
【变式 2】
（1）已知 a²+b²=8，ab=1，则（a-b）²= ，（a+b）²= ，
（2）已知 a+b=3，a-b=5，则 a²-b²= ；
（3）若
xx 1 =7，则 2
2 1
xx = 。
知识点三：综合应用
【例题 3】计算：
（1）（2x-3y）²-（y+3x）（3x-y） （2）（x-2y）²（x+2y）²
（3）（x-y+3）（x+y-3） （4）(a+b)(a-b)(a2+b2)
【变式 1】运用乘法公式进行简便计算。
（1）199² （2） 2)2
11000( （3）402×398
（4）10.5×9.5 （5）899×901+1 （6）120²-122×118
【变式 2】先化简，再求值：（a-2b）（a+2b）-（a-2b）²+8b²，其中 a=-2，b= 2
1 。
【变式 3】如果整式 9m²+16+b 是完全平方公式，那么请你写出所有满足条件的
单项式 b： 。
【变式 4】阅读下面的解题过程：
若 x 满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）²+（x-60）²的值。
解：设 80-x=a，x-60=b，则（80-x）·（x-60）=ab=30，a+b=（80-x）+（x-60）
=20。
所以（80-x）²+（x-60）²=a²+b²=（a+b）²-2ab=20²-2×30=340。
通过对上面解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下面的问题。
（1）若 x 满足（30-x）（x-20）=-10，求（30-x）²+（x-20）²的值。
（2）若 x 满足（2020-x）²+（2018-x）²=4036，求（2020-x）（2018-x）的值。
【当堂练习】
1、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A、(x+3)(3+x) B、(a+ b2
1 )( ab2
1 )
C、(-x+y)(x-y) D、(a 2 -b)(a+b2)
2、下列计算正确的是（ ）
A、(a+3b)(a-3b)=a2-3b2 B、(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2
C、(a-3b)(a-3b)=a2-9b2 D、(-a-3b)(-a+3b)=a2-9b2
3、计算：
（1）(2x+7y)2 (2)(-3x+1)2 （3）( 1.0a2
1 )2
（4） )b5
1a5( 2 （5）( 3
1x2 )( 3
1x2 )
(6) (ab- c4
1 )(ab+ c4
1 ) (7) (2a2-3b)(-2a2-3b)
(8)( 22 yx5
1 )( 22 yx5
1 ) (9)(-3+2a2)(-3-2a2)
4、化简或解方程：
（1）(-2 y-x)(+2y-x)-(x+2y)2，其中 x=1，y=2。
（2）解方程：(2x-3)2-4(x-2)(x+2)=1
5、小明计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2-■+9y2，但中间一项不
慎被污染，这一项可能是
【课后作业】
1、选择:
(1)下列各式中,计算结果为 x2-16y2 的是 ( )
A. (x+2y) (x-8y) B. (x+y) (x-16y)
C. (-4y+x) (4y+x) D. (-x-4y) (x+4y)
(2)如果 m-n= 1
5 , m2+n2= 51
25 ,那么(mn)2005 的值为 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.无法确定
(3) 如果 1 2a a
,那么 2
2
1a a
的值是 ( )
A.2 B.4 C.0 D.-4
(4)若 4x2 -Mxy+9y2 是两数和的平方,则 M 的值是 ( )
A.36 B.±36 C.12 D.±12
2、计算：
(1) (-ab+2) (ab+2) (2) (x+2) (x-2) (x2+4)
(3) (4m-3)2+ (4m+3)(4m-3) (4) –(3m3-n)(3m3+n)
3、说理：试说明不论 x，y 取什么有理数，多项式 x2+y2-2x+2y+3 的值总是正数。
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