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教学内容 二次函数与相似
教学目标 熟悉常见题型
重点 相似的寻找与证明
难点 灵活运用比例
教学过程
知识解读:
点的运动既能改变与图形相关的数量关系,又能改变图形的形状及位置,从而造就相似
三角形,抛物线与相似三角形的结合时抛物线上几何架构的重要表现形式
由相似三角形的性质确定动点位置,从定性到定量(点的坐标的确定),因点的运动或对
应关系的不确定性而进行的讨论,是解这类问题的关键
审题:审题的关键是在弄清字句含义的基础上,明晰数学意义,挖掘隐含条件,建立条
件与结论之间的数学练习。审题的本质是从问题本身去获取从何处入手,向何方进行的信息
与启示,是从问题得到“如何解这道题”的逻辑起点。
“磨刀不误砍柴工”,认真审题,成也审题,败也审题!
例题精讲
例 1:如图,已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-4,0)B(1,0)C(-2,6)
(1) 求经过 A、B、C 三点的抛物线
(2) 设直线 BC 交 y 轴于点 E,连接 AE,求证:AE=CE
(3) 设抛物线与 y 轴交于点 D,连接 AD 交 BC 于点 F,试问:以 A、B、F 为顶点的三角形与
△ABC 相似吗?
请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由
(3) 探究坐标轴上是否存在点 P,使得以点 P,A,C 为顶点的三角形与△BCM 相似?若存在,
(2) 判断△BCM 的形状,并说明理由
(1) 求该抛物线的解析式
该抛物线的顶点为 M
的图像与 x 轴交于 A(-1,0)B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,
ܾ ݔ
2
y = ax
例 2:如图,
2
点 P 恰有 2 个,求 m 的值及相应点 P 的坐标
交点,P 为线段 OC 上一点,若△PCD 与以 P、O、F 为顶点的三角形相似,并且条件的
的对称轴与 x 轴的
于另一点 D,F 为抛物线
于点 C,过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线
与 y 轴交
,抛物线
个单位长度得到抛物线
m t h
(3) 如图②,将抛物线 L 向上平移
积等于 1,求 k 的值
与抛物线 L 交于点 M,N,若△BMN 的面
y = kx ݔ k 4 t h
(2) 如图①,过顶点的直线
(1) 直接写出抛物线 L 的解析式
经过点 A(0,1),与它的对称轴直线 x=1 交于点 B
ܾ c
2
y =ݔ x
例 3:抛物线 L:
3
4
例 4:如图,已知抛物线
y =
2
2
ܾ
与直线
y =
2
相交于 A,B 两点,交 x 轴于 C,
D 两点,连接 AC、BC,已知 A(0,3)C(-3,0)
(1) 求此抛物线的解析式
(2) 在抛物线对称轴
上找一点 M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值
(3) 点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点,连接 PA,过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q,问:是否
存在点 P,使得以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出符合条件的
P 的坐标,若不存在,请说明理由
5
例 5:如图,在平面直角坐标系中,抛物线
y = a
2
2 h
与 x 轴交于 A、B 两点(点
A 在点 B 的右侧),与 y 轴交于点 C,点 A 的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线 x=
2(1) 求抛物线的解析式
(2) M 为第一象限抛物线上的一个点,过点 M 作 MG⊥x 轴于点 G,交 AC 于点 H,当线段 CM
=CH 时,求点 M 的坐标
(3) 在(2)的条件下,将线段 MG 绕点 G 顺时针旋转一个角
α h t t 䳌h
,在旋转过程
中,设线段 MG 与抛物线交于点 N,在线段 GA 上是否存在点 P,使得以点 P、N、G 为顶
点的三角形与△ABC 相似,若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由
6
例 6:如图①,经过原点 O 的抛物线
y = ax
2
ܾ h
与 x 轴交于另一点 A(
2 h
),在第一
象限内与直线 y=x 交于点 B(2,t)
(1) 求这条抛物线的解析式
(2) 在第四象限内的抛物线上有一点 C,满足以点 B,O,C 为顶点的三角形面积为 2,求点
C 的坐标
(3) 如图②,若点 M 在这条抛物线上,且∠MBO=∠ABO,在(2)的条件下是否存在点 P,
是的△POC∽△MOB?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由