公因数和公倍数知识点

实用标准文案 文档 公因数和公倍数 【知识点回顾】 1、公因数 （1）互素数：公因数只有 1 的两个自然数叫做互素数。 （2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。 （3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。 2、公倍数 求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。 3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有 3 种基本情况，区别如下： 两个数的关系 最大公因素 最小公倍数 特 殊 关 系 互素（7 和 8） 1 两个数的积（7×8=56） 较大数是较小数的倍数 （12 和 48） 较小数（12） 较大数（48） 一般关系（12 和 18） 用短除法 将除数连乘 （2×3=6） 将除数和商连乘 （2×3×2×3=36） 4、求最大公因数和最小公倍数的方法： 一、特殊情况： （1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；6 和 12 的最大公因数是 6，最小公倍数是 12。） （2）互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。（如，5 和 7 的 最大公因数时 1，最小公倍数是 5×7=35） 二、一般情况： （1）求最大公因数： 列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。 ①列举法：如，求 18 和 27 的最大公因数 先找出两个数的所有因数 18 的因数有：1、2、3、6、9、18 27 的因数有：1、3、9、27 再找出两个数的公因数： 18 的因数有：1、2、3、6、9、18 27 的因数有：1、3、9、27 1、3、9 最后找出最大公因数： 9 ②单列举法：如，求 18 和 27 的最大公因数 先找出其中一个数的因数：18 的因数有：1、2、3、6、9、18 再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9 又是 27 的因数 最后找出最大公因数： 9 ③短除法： 实用标准文案 文档 3 18 27 3 6 9 2 3 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘 3×3=9 ④除法算式法： 用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。 18 ÷ 9 就是 18 和 27 的最大公因数 27 （2）求最小公倍数： 列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。 ①列举法：如，求 18 和 12 的最小公倍数 先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18 的倍数：18、36、54、72 12 的倍数：12、24、36、48 再找出两个数的最小公倍数： 18 的倍数：18、36、54、72 12 的倍数：12、24、36、48 ②单列举法：如，求 18 和 12 的最小公倍数 先找出一个数的倍数： 18 的倍数有：18、36、54、72 再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求 18 和 12 的最小公倍数 把较大的数翻倍（2 倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小 公倍数为止。 如，求 18 和 12 的最小公倍数。可以把 18 翻倍：18×2=36，36 又是 12 的倍数，所以 36 是 18 和 12 的最小公倍数。 ④短除法：用这两个数同时除以一个质数（要能整除） 如，求 18 和 12 的最小公倍数，先用 18 和 12 同时除以质数 2，再同时除以质数 3，除 到两个商是互质数（公因数只有 1）为止。 2 18 12 3 3 2 除数 商 1 3 9 除到商是互质数为止，最后把所有的除数和商相乘 18 和 12 的最小公倍数是：2×3×3×2=369 6 实用标准文案 文档 【例题精讲】 问题 1、（1）既是 30 的因数，又是 45 的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？ （2）既是 30 的倍数，又是 45 的倍数的数，最小是多少？ 想：（1）既是 30 的因数，又是 45 的因数的数，就是 30 和 45 的公因数，其中最大的就是 30 和 45 的最大公因数；（2）既是 30 的倍数，又是 45 的倍数的数就是 30 和 45 的公倍数， 其中最小的数就是 30 和 45 的最小公倍数。 解：（1）30 和 45 的公因数有：1，3，5，15 共四个，其中最大的是 15； （2）30 和 45 的公倍数有：90，180，270 等等，其中最小是 90。 随堂练习 1、 既是 30 的倍数，又是 45 的倍数，还是 75 的倍数的数，最小是多少？ 问题 2、三个连续自然数的最小公倍数是 168，那这三个连续自然数的和是多少？ 解析：要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最 小公倍数是 168，可先把 168 分解质因数 168＝2×2×2×3×7，根据 168 的质因数的情况可 以肯定其中一个是 7，（为什么不可能是 14）因此这三个连续自然数只有 6、7、8 和 7、8、 9 两种可能，而 7、8、9 这三个数任两个数公因数都是 1，故这三个连续自然数只能是 6、7 和 8。（经检验正确）它们的和是 6＋7＋8＝21。 答：这三个连续自然数是 6、7、8。它们的和是 21。 随堂练习 1、三个连续自然数的最小公倍数是 660，那么这三个连续自然数各是几？ 问题 3、有一种长 60 厘米，宽 45 厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块 这样的砖，才能铺成一块正方形？ 想：用长 60 厘米，宽 45 厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是 60 的倍数， 也是 45 的倍数，也就是 60 和 45 的公倍数，因此正方形的边长是 180 厘米，由此容易求得 一共用的地砖块数。 解：[60、45]＝180 （180÷60）×（180÷45）＝12（块） 答：至少要用 12 块这样的砖，才能铺成一块正方形。 随堂练习 1、 一种长 45 厘米，宽 30 厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多 少块？ 问题 4、某班学生排队做操，如果每排 3 人，少了 1 人；如果每排 5 人，就多出 2 人；如果 每排 6 人，就多出 2 人。这个班至少有多少人？ 实用标准文案 文档 想：如果把每排 3 人，就少了 1 人，转化成每排 3 人，也就是多了 2 人，这样就把这个班 分别排成每排 3 人、5 人、6 人都统一成多出了 2 人。如果把这个班的人数减去 2 人，那么 这个班的学生人数正好是 3、5 和 6 的倍数，也就是 3、5 和 6 的最小公倍数，然后加上多出 的 2 人就是这个班的学生人数。 解：[3、5、6]＝30 ， 30＋2＝32（人） 答：这个班至少有 32 人。 随堂练习 1、 有一个自然数，除以 10 余 7，除以 6 余 3，除以 4 余 1。这个自然数最小是多少? 问题 5、五（2）班同学共 38 人。一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然后 按 1，2，3，4……36，37，38 报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：（1）先让报数 是 3 的倍数的同学向后转；（2）再让报数是 5 的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还 有多少名同学仍面向老师？ 解析：报数是 3 的倍数的同学有：38÷3≈12（人），报数是 5 的倍数的同学有：38÷5 ≈7（人），但要注意的是，报数是 3 和 5 的公倍数的同学有 38÷（3×5）≈2（人），而这 2 人转了 2 次，又面向了老师，所以经过两步操作后，背对老师的同学共有 12＋7－2×2＝15 （人），这时仍有 38－15＝23（名）同学面对老师。 答：经过这两步操作后，还有 23 名同学仍面向老师。 随堂练习 1、 五（1）班同学有 47 人，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按 1、2、3、 4……46、47 报数，老师要求学生按如下的步骤操作：（1）先让报数是 3 的倍数的同学 向后转；（2）再让报数是 5 的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学 面向老师？ 实用标准文案 文档 最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总 一、解题技巧： 最大公因数解题技巧： 通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时， 因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因 数，此时，所求的数量就处于因数的地位。如果出现相同的（公有的）/最长的 所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。 最小公倍数解题技巧： 通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地 位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数） 的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。如果出现相同的（公有的）/最 小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。 补充部分公式 小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽） 小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长） 小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小 长方体高） 小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷ 小正方体边长） 剩余定理 余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数 缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数 植树问题公式 不封闭型： 2、只有一端都栽 1、两端都栽 间隔个数=株数 间隔个数=株数－1 株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数 距离=一个间隔的长度×间隔个数 距离=一个间隔的长度×间隔个数 3、两端都不栽 间隔个数=株数＋1 株数=间隔个数－1 距离=一个间隔的长度×间隔个数 封闭型： 间隔个数=株数 株数=间隔个数 距离=一个间隔的长度×间隔个数 封闭型再正方形边上栽，并且 4 个顶点都栽： 实用标准文案 文档 株数=（每边株数－1）×4 备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这 类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可 二、经典题目 1、一个大长方形长 24 厘米，宽 18 厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方 形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？ 2、一个长方形的长 6 厘米，宽 4 厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正 方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？ 3、一个大长方体长 24 厘米，宽 18 厘米，高 12 厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余， 如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？ 4、一个长方体的长 6 厘米，宽 4 厘米，高 2 厘米。至少要多少个这样的小长方体才能拼成 一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？ 5、一路车 5 分钟发一次车，二路车 6 分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多少时间 再次同时发车？ 6、崔青青 5 天去一次图书馆，李幻霞 3 天去一次图书馆，修畅 6 天去一次图书馆，她们今 天同时在图书馆，至少要多少天她们 3 人再次相遇？ 7、五（3）班做早操，每 6 人一排或每 7 人一排，都能排成整排而没有剩余，五（3）班至 少有多少人？ 8、五（3）班做早操，每 6 人一排或每 7 人一排，都都剩余 3 人，五（3）班至少有多少人？ （备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题） 9、五（3）班做早操，每 6 人一排少 3 人，每 7 人一排剩余 4 人，五（3）班至少有多少人？ （备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题） 实用标准文案 文档 10、五（3）班分水果，桃子 84 个，苹果 42 个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。 五（3）班最多有多少人？ 11、两根铁丝分别长 72 米、48 米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩余，每段 最长是多少米？ 12、有一段路每 8 米栽一棵树，头尾都栽共栽了 51 棵。如果改成 5 米一棵，至少几米有一 棵不动？共有多少棵不动？（备注：最小公倍数与植树问题综合出题） 附加： 1、起步价问题 某城市根据不同的用水量采用不同的自来水收费标准，收费标准如下表： 月用水量（立方米/户） 收费标准（元/立方米） 10 以下（包括 10）部分 1.80 11 至 20（包括 20）部分 2.60 20 以上部分 3.40 （1）小明家五月份用水 9 立方米，应付水费多少元？ （2）小明家六月份付水费 31.20 元，算一算，他家六月份用了多少立方米水？ （3）抄表员七月一日到小明家抄水表时，水表上显示 1363 立方米，八月一日再次抄表时， 水表上显示 1384 立方米。小明家七月份需要付水费多少元？ 2、最佳问题也叫最经济问题 五（3）班 4 位老师带领 38 名学生去逛动物园，门票写着大人每张票价 20 元，儿童每张票 价 10 元；如果购买团体票每 10 人为一张团体票，一张团体票 80 元。请你帮办主任算算怎 样买票最合算，最合算多少元？ 五（3）班和五（4）班 76 位学生去划船，船上的标价是租一条大船 30 元，租一条小船 20 元，请问怎样租船最合算，最合算多少元？（大船一条坐 15 人，小船一条坐 8 人） 一架天枰，只有 5 克和 30 克两个砝码，要把 300 克的盐平均分成三份，最少称几次？写出 实用标准文案 文档 称法。 14 个大小完全一样的红球，其中一个重量轻是不合格的产品，你能用天枰称几找出不合格 的产品？ 妈妈在厨房烙饼，每次锅里只能放两张饼，烙一张饼需 2 分钟，每面各 1 分钟。问妈妈在厨 房烙 3 张饼至少需要几分钟？ 一把钥匙开一把锁，现有 6 把钥匙 6 把锁，但不知怎么相配。那么最多要试几次确保配对全 部的钥匙和锁？ 有甲乙丙丁四袋奶粉，甲袋最轻，丙袋最重，乙袋在甲丙两者之间。试用无砝码天枰称一次， 确定出丁排在第几位，应该怎样称量？ 3、容斥问题 注意去掉重复的计数（重复的计数通常指的是既参加这项，又参加另一项，因此在计数 时，此数重复数了一次） 五（3）班有 36 人，语文优秀的人数有 26 人，数学优秀的人数有 30 人，请问语数都优秀的 有多少人﹖（求重复计数部分的代表题） 五（3）班有 36 人，语文优秀的人数有 25 人，数学优秀的人数有 30 人，有 25 人语数都是 优秀，请问语数都达不优秀的有多少人﹖（求综合性的代表题） 五（3）班语文优秀的人数有 25 人，数学优秀的人数有 30 人，语数都优秀的有 20 人，请问 五（3）班达到优秀的学生有多少人﹖（求实际数量的代表题） 五（3）班语文优秀的人数有 25 人，数学优秀的人数有 30 人，语数都优秀的有 20 人，还有 5 人达不到优秀，请问五（3）班有多少人﹖ 实用标准文案 文档 【平时练习】 第一天 用短除法求几个数的最大公因数 12 和 30 24 和 36 39 和 78 72 和 84 36 和 60 45 和 60 45 和 75 45 和 60 42、105 和 56 24、36 和 48 第二天 用短除法求几个数的最小公倍数。 25 和 30 24 和 30 39 和 78 60 和 84 18 和 20 126 和 60 45 和 75 12 和 24 12 和 14 45 和 60 76 和 80 36 和 60 27 和 72 42、105 和 56 24、36 和 48 第三天 一、填空 1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（ ）． 2、36 和 60 相同的质因数有（ ），它们的积是（ ），也就是 36 和 60 的（ ）． 3、（ ）的两个数，叫做互质数． 4、自然数 a 除以自然数 b，商是 15，那么 a 和 b 的最大公因数是（ ）． 二、判断（对的打“√”，错的打“×” ）． 1、互质数是没有公约数的两个数．（ ） 2、成为互质数的两个数，一定是质数．（ ） 3、只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数．（ ） 实用标准文案 文档 4、两个自然数分别除以它们的最大公因数，商是互质数．（ ） 三、选择题 1、成为互质数的两个数（ ）． ①没有公因数 ②只有公因数 1 ③两个数都是质数 ④都是质因数 2、下列各数中与 18 只有公因数 1 是（ ）． ①21 ②40 ③25 ④18 3、下列各组数中，两个数只有公因数 1 的是（ ）． ①17 和 51 ②52 和 91 ③24 和 25 ④ 11 和 22 四、直接说出下列各组数的最大公因数． 1、8 与 9 的最大公因数是（ ）． 2、48、12 和 16 的最大公因数是（ ）． 3、6、30 和 45 的最大公因数是（ ）． 4、150 和 25 的最大公因数是（ ）． 第四天 一、填空 1、按要求，使填出的两个数只有公因数 1． ①质数（ ）和合数（ ）， ②质数（ ）和质数（ ）， ③合数（ ）和合数（ ）， ④奇数（ ）和奇数（ ）， ⑤奇数（ ）和偶数（ ）． 2、两个数为互质数，这两个数的最大公因数是（ ）． 3、所有自然数的公因数为（ ）． 4、18 和 24 的公因数有（ ），18 和 24 的最大公因数是（ ）． 二、判断（对的打“√”，错的打“×” ）． 1、因为 15÷3＝5，所以 15 和 3 的最大公因数是 5．（ ） 2、30 、15 和 5 的最大公因数是 30．（ ） 3、最小的合数和最小的质数这两个数不是只有公因数 1．（ ） 实用标准文案 文档 4、相邻的两个自然数一定只有公因数 1．（ ） 三、选择题 1、甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公约数的质因数里应该（ ）． ①有五个 7 ②没有 7 ③不能确定 2、甲、乙两数的最大公约数是 7，甲数的 3 倍与乙数的 5 倍的最大公约数（ ） ①肯定是 7 ②肯定不是 7 ③不能肯定 四、应用题 用 96 朵红花和 72 朵白花做花束，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花的 朵数也都相等．每个花束里最少有几朵花？ 第五天 一、填空 1． a 和 b 都是自然数，如果 a 除以 b 商 5 没有余数，那么 a 和 b 的最大公约数是（ ）， 最小公倍数（ ）． 2．如果 a 和 b 是互质的自然数，那么 a 和 b 的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）． 3．三个质数的最小公倍数是 42，这三个质数是（ ）． 4．100 以内能同时被 3 和 7 整除的最大奇数是（ ），最大偶数是（ ）． 5．一个数的最大约数是 ，它的最小倍数是（ ）． 6．所有偶数的最大公约数是（ ），所有奇数的最大公约数（ ）． 二、判断 1．几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个．（ ） 2．两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．（ ） 3．如果三个自然数两两互质，它们的最大公约数是 1，最小公倍数就是三个数的乘 积．（ ） 4．如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数．（ ） 实用标准文案 文档 5．一个数的约数必定小于它的倍数．（ ） 三、选择题 1．96 是 16 和 12 的（ ） ①公倍数 ②最小公倍数 ③公约数 2．几个质数的连乘积是（ ） ①合数 ②质数 ③最大公约数 ④最小公倍数 3．甲是乙的 15 倍，甲和乙的最小公倍数是（ ） ①15 ②甲 ③乙 ④甲×乙 4．12 是 24 和 36 的（ ） ①约数 ②质因数 ③最大公约数 5．一个数的最大约数（ ）它的最小倍数． ①＞ ②＜ ③＝ 6． ＝2×2×5， ＝2×3×5，那么 、 的最小公倍数是（ ） ①600 ②300 ③60 ④10 四、直接说出下列每组数的最小公倍数 1． 18 和 36 的最小公倍数是（ ） 2． 45 和 135 的最小公倍数是（ ） 3． 8、18 和 72 的最小公倍数是（ ） 4． 48、16 和 24 的最小公倍数是（ ） 实用标准文案 文档 【综合测试】 一、填空（共 20 分） 1、最小的素数是（ ），最小的合数是（ ）。 2、18 的因数有（ ），24 的因数有（ ）， 它们的公因数有（ ）。 3、在 1～20 的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（ ），既 是素数又是偶数的有（ ）。 4、自然数按因数个数的多少可以分成（ ）、（ ）和（ ）。 5、1082 至少加上（ ）是 3 的倍数，至少减去（ ）才是 5 的倍数。 6、一个数的最大因数是 13，这个数的最小倍数是（ ）。 7、两个自然数 a、b 的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是（ ）。 8、如果 A＝2×2×3，B＝2×3×3，那么它们的最大公因数是（ ）， 最小公倍数是（ ）。 9、一个数是 3 的倍数，又是 5 的倍数，还有因数 7。这个数最小是（ ）。 10、一个数既是 30 的因数、又是 45 的因数，最大的是（ ）。 11、用 0、1、2 三个数字排成的所有三位数中，同时是 2、3、5 的倍数的数有 （ ）。 12、如果两个数的最大公因数是 1，它们最小公倍数是 91，那么这两个数的和最 大是（ ）。 二、判断题（共 5 分） 1、两个连续自然数（0 除外）它们的最大公因数是 1。 （ ） 2、在 24 的因数中，是素数的只有 2 和 3。 （ ） 3、5 和 7 没有公因数，但 5 和 7 有公倍数。 （ ） 4、所有的偶数都是合数。 （ ） 5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。 （ ） 三、选择题（共 5 分） 1、任何两个奇数的和是（ ）。A 奇数 B 合数 C 偶数 2、两个素数的积一定是（ ）。A 素数 B 合数 C 奇数 3、任何两个自然数的（ ）的个数是无限的。 实用标准文案 文档 A 公倍数 B 公因数 C 倍数 4、A 是 B 倍数，那么它们的最小公倍数是（ ）。 A AB B A C B 5、两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 90，这两个数一定不是（ ）。 A 15 和 90 B 45 和 90 C 45 和 30 四、写出每组数的最大公因数（共 12 分） 32 和 1 12 和 18 72 和 48 78 和 117 23 和 60 12 和 60 五、写出每组数的最小公倍数（共 12 分） 4 和 15 5 和 7 90 和 30 9 和 15 13 和 39 6 和 13 六、列式计算（共 8 分） 1、一个自然数被 3、5 除都余 1，这个数最小是多少？ 2、五个连续奇数的和是 425，最小的一个是多少？ 七、解决问题（共 38 分，第 8 题 3 分，其余每题 5 分） 1、一枝钢笔的价钱是 18.6 元，比一枝圆珠笔贵 10.9 元，一枝圆珠笔多少元? （列方程解答） 实用标准文案 文档 2、小明的妈妈比小明大 26 岁，爸爸今年 38 岁，比妈妈大 4 岁，小明今年多大 了？ （列方程解答） 3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每 4 天去一次，乙每 5 天去一次，如果 7 月 1 日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？ 4、有两根小棒分别长 20 分米，28 分米。要把它们都截成同样长的小棒，不许 剩余，每根小棒最长能有多少分米？ 5、一个长方形的面积是 24 厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多 少种？ 6、在一张长 40 厘米，宽 32 厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正 方形，并且没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？ 7、五（1）班学生人数不超过 50 人，在分小组做游戏时，可以分为每组 6 人或 者每组 8 人，两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？ 8、园林工人在一段公路的一边每隔 4 米栽一棵树，一共栽了 17 棵。现在要改成 每隔 6 米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？