四川省凉山州2021届高三数学（文）5月第三次诊断性试题（Word版附答案）

凉山州 2021 届高中毕业班第三次诊断性检测 数学（文科） 本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题 卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书 写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题 目要求的） 1．已知集合  1,2,3,4,5A  ，  2B x x  ，则 A B  （ ） A． 1,1 B． 1 C． 1,2 D． 1,0,1 2．若复数 z 满足  1 1z i i    ，则 z  （ ） A．-1 B．1 i C．i D． i 3．直线   xf x a ，且  1 2f  ，则    0 2f f  （ ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．若 6 3 0kxy x y    表示两条直线，则实数 k 的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．等差数列 na ， nS 为其前 n 项和， 1 1a  ， 6 36S  ，记数列   1 n na 的前 n 项和为 nT ， 则 8T  （ ） A．0 B．4 C．6 D．8 6．已知三条不重合的直线 m ， n ，l ，三个不重合的平面 ，  ， ，下列命题中正确的是 （ ） A． //m l m nn l    B． //m m       C． //         D． //l nl n     7．我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》 中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一物品堆，从上向下数，第 一层有 1 个货物，第二层比第一层多 2 个，第三层比第二层多 3 个，…，以此类推．记第 n 层 货物的个数为 na ，则数列 1 na       的前 2021 项和为（ ） A． 4041 2021 B． 2021 1011 C． 2021 2022 D． 2020 1011 8．定义运算 1 2 1 4 2 3 3 4 a a a a a aa a   ．设   3 cos2 1 sin 2 xf x x     0  ，若  f x 的图像与直 线 2y   相交，且交点中两点间的最短距离为 π ，则满足    f m x f m x   的一个 m 的 值为（ ） A． π 12 B． π 4 C． π 3 D． π 6 9．已知 O 为坐标原点， P 为 C ：    2 21 2x a y    ( 0)a  上的动点，直线 l ： 1 0x y   ，若 P 到l 的最小距离为 2 2 ，则 a 的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．已知曲线C ： 2 2y px ( 0)p  ，过它的焦点 F 作直线交曲线C 于 M ，N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 P ，可证明 PF MN 是一个定值 m ，则 m  （ ） A． 1 2 B．1 C．2 D． 2 11．已知函数   x xf x e  ，记  2log 13a f ，  3log 11b f ， 1ln 2c f      ，则（ ） A． a c b  B． a b c  C．b c a  D．b a c  12．若 0x 是函数   ln 1x xf x e x x    的极值点，则 0x （ ） A． 0 0 1 ln 0xx   B． 0 0ln 0x x  C． 0 0ln 0x x  D． 0 0 1 ln 0xx   第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．不等式组 2 0 3 0 10 2 x y x y x             表示的平面区域的面积为______． 14．双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为______． 15．百年风雨兼程，世纪沧桑巨变．今年是中国共产党成立 100 周年，为庆祝 100 周年，向 党的百年华诞献礼，“步入辉煌：中国共产党成立 100 周年主题影展”活动将于 2021 年 1 月 8 日在沪正式启动，并一直持续到 2021 年 12 月 30 日．某部门计划在 5 部不同的优秀作品（包 含甲、乙两部作品）中任选 3 部参加影展，则甲作品被选中且乙作品未被选中的概率为______． 16．如图， P 为 ABC△ 内任意一点，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．总有优美等 式 PBCS PA △ 0PAC PABS PB S PC    △ △ 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定 理．现有以下命题： （1）若 P 是 ABC△ 的重心，则有 0PA PB PC    ； （2）若 0aPA bPB cPC    成立，则 P 是 ABC△ 的内心； （3）若 2 1 5 5AP AB AC    ，则 : 2:5ABP ABCS S △ △ ； （4）若 P 是 ABC△ 的外心， π 4A  ， PA mPB nPC    ，则 2,1m n    ． 则正确的命题有______． 三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共 70 分） （一）必考题：每题 12 分，共 60 分 17 ． 在 钝 角 ABC△ 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是 a ， b ， c ，    sin sin 4sin 2A B A B A    ． （1）求 b a 的值． （2）若 13c  ， π 3C  ，求 ABC△ 的面积． 18．某品牌汽车 4S 店对 2020 年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用 y 表示 2020 年第 x 月份该店汽车成交量，得到统计表格如下： ix 1 2 3 4 5 6 7 8 iy 14 12 20 20 22 24 30 26 （1）求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ．（ ˆa ， ˆb 精确到整数） （2）利用回归方程预测九月份的汽车成交量，并预测哪个月份成交量开始突破 35 辆． 参考数据及公式： 8 1 850i i i x y   ， 8 2 1 204i i x        1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆa y bx  ． 19．如图，在圆锥 PO 中， AC 为 O 的直径，点 B 在 AC 上， //OD BC ， π 6CAB  ． （1）证明： AB  平面 POD ； （2）若直线 PA 与底面所成角的大小为 π 4 ，且底面圆的面积为 4π，求三棱锥C POD– 的体 积． 20．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 1 2 ，且经过点 2,0 ． （1）求椭圆的方程； （2）直线 1 0x my   交椭圆于不同的两点 A ， B ，是否存在一定点  ,0T t 满足 AT BT  为定值？若存在，求出定点T ；若不存在，请说明理由． 21．已知函数   3 21 3f x x x ax a    ． （1）直线l 是曲线  y f x 在点 0,a 处的切线，点  0,1A 到l 的距离为 d ，求以 d 的最大 值为直径的圆的面积； （2）若函数  f x 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的取值范围． （二）选做题：（共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分．） 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 0x y 中，曲线 1C 的参数方程为： 2 3 , 1 x t y t     （t 为参数），以坐标原点O 为极 点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 πsin 36       ． （1）求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）在极坐标系中，射线 π 6    0  与曲线 1C 交于点 A ，射线 π 3    0  与曲线 2C 交于点 B ，求 AOB△ 的面积． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 函数   2 1 2 1f x x x     （1）若方程  f x m 无实根，求实数 m 的取值范围； （2）记  f x 的最小值为 n ．若 a ， 0b  ，且5 5 2a b n  ，证明： 4 9 0a b ab   ． 凉山州 2021 届高中毕业班第三次诊断性检测 数学（文科）参考答案及评分意见 评分说明： 1．本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及 难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1-5．BCBBD 6-10．BBCCA 11-12．DC 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13． 1 2 14． 2 15． 3 10 16．①②④ 三、解答题（共 70 分） 17．解：（1）∵    sin sin 4sin 2A B A B A    即 2cos sin 8sin cosA B A A 又 ABC△ 为钝角三角 ∴ cos 0A  ∴ 2sin 8sinB A 即sin 4sinB A 所以由正弦定理得 4b a ∴ 4b a  （2）∵ 13c  ∴由余弦定理得 2 2 2 2 cosc a b ab C    22 π4 2 4 cos 3a a a a    213 13a  ∴ 1a  ， 4b  ∴ 1 sin 32ABCS ab C △ 18．解：（1）由题意得： 1+2+3+4+5+6+7+8 9=8 2x  14+12+20+20+22+24+30+26 =218y  ∴ 8 1 8 2 2 2 1 98 850 8 21 942 24298 204 8 2 i i i i i x y x y b x x                     ∴ ˆ 12a y b x    所以，回归直线方程为 ˆ 2 12y x  ∴当 9x  时， ˆ 2 9 12=30y    即预计 9 月份的成交量为 30 辆 （2）当 9x  时， ˆ 2 9 12=30y    即预计 9 月份的成交量为 30 辆 由 ˆ 35y  得： 2 12 35x   ∴ 23 2x  即从 12 月份起成交量开始突破 35 辆 19．解：（1）∵在圆锥 PO 中， PO  平面 ABC ∴ PO AB 又 AC 为 O 的直径且点 B 在 AC 上 ∴ AB BC ∵ //OD BC ∴ AB OD 而 PO OD O  ∴ AB  平面 POD 又 AB  平面 PAB 平面 PAB  平面 POD （2）∵底面圆的面积为 4π ∴底面圆的半径为 2，即 4AC  设 4AC  ，因为直线 PA 与底面所成角的大小为 π 4 ∴ 2PO AO  又 π 6CAB  ∴ 2BC  ， 2 3AB  ∴ 1 1 1 2π 31 2sin 23 3 2 3 3C POD P COD OCDV V S PO         △ 所以三棱锥C POD 的体积为 3 3 20．解：（1）由题意知 2a  ， 1 2 c a  ∴ 1c  ， 2 2 2 4 1 3b a c     ∴椭圆方程为 134 22  yx （2）存在定点  ,0T t 满足 AT BT  为定值，设  1 2,A x y ，  2 2,B x y 由 2 2 1 0 14 3 x my x y      ，得  2 23 4 6 9 0m y my    ，  2144 1 0m    1 2 2 6 3 4 my y m     ， 1 2 2 9 3 4y y m    ∵  1 1,AT t x y   ，  2 2,BT t x y   ∴  2 1 2 1 2 1 2AT BT t t x x x x y y           2 1 2 1 2 1 21 1 1 1t t my my my my y y             2 2 1 2 1 21 1 2 1m y y m t y y t t           2 2 2 2 9 61 1 2 13 4 3 4 mm m t t tm m             2 2 2 2 3 4 4 8 5 3 4 t m t t m       假设 AT BT  为定值，则 2 2 4 8 54 4 t tt    ， 11 8t  ∴存在定点 11,08T      满足 AT BT  为定值 21．解：（1）   2 2f x x x a    ∴  0f a  ∴在  0,a 处的切线方程为l ： 0ax y a   l 过定点  1,0B  ∴  0,1A 到l 的距离的 d 的最大值为 2AB  ∴ 2 2 ππ 2 2S       ∴圆的面积为 π 2 ． （2）由   2 2f x x x a    ， i．当 4 4 0a    ，即 1a  时   0f x  恒成立，  y f x 在 R 上为单调递增，满足  f x 与 x 轴有且只有一个交点。 ii．当 4 4 0a    即 1a  ，   0f x  有两个不同实根，设两根为 1x ， 2x 且 1 2x x 则 1 2 2x x   ， 1 2x x a  ① 由   0f x  得 2x x 或 1x x ，   0f x  得 1 2x x x  ∴  f x 在 1, x ， 2,x  为增函数，在 1 2,x x 为减函数．  y f x 与 x 轴有且只有一个交点等价于    1 2 0f x f x  又∴   2 1 1 12 0f x x x a     ∴ 2 1 12x a x      3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 23 3 xf x x x ax a a x a x ax a               2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 13 3 3 3 3 x a ax a x x a a x                         同理，    2 2 2 13f x a a x     ∴        1 2 1 2 4 1 19f x f x a a x a a x                2 1 2 2 1 214 19 a a a x xa x x       由①式得 ∴     2 2 1 2 4 2 ( 1) ( 1)9f x f x a a a a a         24 3 3 09 a a a     1a  ∴ 0 1a  综上所述，  f x 与 x 轴有且只有一个交点 a 的取值范围为 0, 22．解：（1）由题意得：   2 2 2 2 3 1 0y x t t y       ∴ 2 2 13 x y   0y  ∴ 2 2 2 2cos 3 sin 3 0      即 2 2 22 sin 3 0     化简为：  2 2 cos2 3 0    ，  0,π  ∴ 1C 的极坐标方程为：  2 2 cos2 3 0    ，  0,π  由 πsin 36       得： 3 1sin cos 32 2         ∴ 3 1 3 02 2y x   即：3 3 6 0y x   ∴ 2C 的直角坐标方程为：3 3 6 0y x   （2）由  2 π 6 2 cos2 3 0         得： 2  ∴ π2, 6A     由 3 sin π π 36             得： = 3 ∴ π3, 3B     1 π πsin2 3 6AOB A BS        △ 1 π2 3sin2 6   6 4  23．解：（1）   13 4, 2 12 1 2 1 2, 22 3 3, 2 x x f x x x x x x x                 由函数图象可知  min 1 5 2 2f x f      ，要使得  f x m 无实数根，则 5 2m  ∴实数 m 的取值范围为 5 2     ， （2）解一：由（1）可知 5 2n  ∴ 5 5 5a b  ， 1a b  ，即 1b a  由 0 1 0 a a     ，得 0 1a  ∴     24 9 4 1 9 1 9 12 4a b ab a a a a a a          ∴ 22 24 9 9 12 4 03 3a b ab            ，当 2 3a  时，等号成立 ∴ 4 9 0a b ab   解二：由（1）可知 5 2n  ∴ 5 5 5a b  ， 1a b  ∴    2 24 4 5 4 4 5 9a b a b a b a ab b ab ab ab          当 2a b ，即 2 3a  ， 1 3b  等号成立．