山西省太原市2021届高三数学(文)5月三模试题(Word版附答案)
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山西省太原市2021届高三数学(文)5月三模试题(Word版附答案)

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资料简介
太原市 2021 年高三年级模拟考试(三) 数学试卷(文科) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 1 iz i   ,则在复平面内与复数 z 对应的点的坐标为( ) A.  1, 1 B.  1,1 C.  1,1 D.  1, 1  2. 已知全集U  R ,集合  0,1,2,3A  ,  1,0,1B   ,则下图阴影部分表示的集合是( ) A.  1 B.  0,1 C.  2,3 D.  1,2,3 3. 设 x R,则“ x >1”是“ 2x >1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 2020 年初,新型冠状病毒( 19COVID  )引起的肺炎疫情爆发以来,各地医疗机构采取 了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某医疗机构开始使用中西医结合方法后,每 周治愈的患者人数如下表所示: 第 x 周 1 2 3 4 5 治愈人数 y (单位:十人) 3 8 10 14 15 由上表可得 y 关于 x 的线性回归方程为  1y bx  ,则此回归模型第5周的残差(实际值减去 预报值)为( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知 ,  是两个不同的平面, m , n 是两条不同的直线,则下列正确的结论是( ) A. 若 //m n , / /m  , / /n  ,则 / /  B. 若 / /  ,m  ,n  ,则 //m n C. 若 m n , m  ,则 / /n  D. 若 m n , m  , n  ,则   6. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界,画出相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼, 阴鱼的头部有阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合, 相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2(正八边形 ABCDEFGH )是由图 1(八 卦模型图)抽象而得到,并建立如图 2 的平面直角坐标系,设 1OA  .则下列错误的结论是 ( ) A. 2 2OA OD    B. 以射线 OF 为终边的角的集合可以表示为 5 2 ,4 k k Z        C. 在以点O 为圆心、 OA 为半径的圆中,弦 AB 所对的劣弧弧长为 4  D. 正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2 7. 已知实数 a ,b 满足 13 2 2 0a b   ,  2 2log 2a c x   ,则下列正确的结论是( ) A. a b c  B. b a c  C. a c b  D. c b a  8. 执行如图所示的程序框图,若 2021N  ,则输出的 p  ( ) A. 2019 12 2  B. 2020 12 2  C. 2021 12 2  D. 2022 12 2  9. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 7 3 B. 8 3 C. 3 D. 2 10. 已知锐角 、  满足 3    ,则 1 1 cos cos sin sin    的最小值为( ) A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 11. 已知三棱台 1 1 1ABC A B C 中,三棱锥 1 1 1A A B C 的体积为 4,三棱锥 1A ABC 的体积为 8, 则该三棱台的体积为( ) A. 12 3 3 B. 12 4 2 C. 12 4 3 D. 12 4 7 12. 已知点 F 是双曲线 2 2 14 5 x y  的左焦点,过原点的直线l 与该双曲线的左右两支分别相 交于点 A , B ,则 1 9 FA FB  的取值范围是( ) A.  1,0 B. 4 ,05     C. 2,1 D.  1,  二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出 0 到 9 之间取 整数的随机数,规定 0,1,2 表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次目标的概率为_________. 14. 若命题“ Rx  , 2 1 0x ax   ”是假命题,则实数 a 的取值范围是___________. 15. 已知实数 x , y 满足 2 5 0 2 7 0 1 0 x y x y x y            ,则 2 2 2y xy x  的取值范围是___________. 16. 已知函数   lnf x x x  ,   xg x e x  ,若存在实数 m ,n ,使得     2f m g n ≥ 成立,则实数 m n  ___________. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 17. 如图,A ,B ,C 为山脚两侧共线的三点,在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为 30  , 60   , 45   ,现计划沿直线 AC 开通一条穿山隧道 DE ,经测量 100mAD  , 34mBE  , 85mBC  . (1)求 PB 的长; (2)求隧道 DE 的长(精确到 1 m ).附: 2 1.414 ; 3 1.732 . 18. 为进一步保护环境,加强治理空气污染,某市环保监测部门对市区空气质量进行调研,随 机抽查了市区 100 天的空气质量等级与当天空气中 2SO 的浓度(单位: 3μg/m ),整理数据得到 下表: 2SO 的浓度 空气质量等级  0,50  50,150  150,475 1(优) 28 6 2 2(良) 5 7 8 3(轻度污染) 3 8 9 4(中度污染) 1 12 11 若某天的空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为 3 或 4, 则称这天“空气质量不好”,根据上述数据,回答以下问题. (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率; (2)完成下面的 2 2 列联表, 2SO 的浓度 空气质量  0,150  150,475 空气质量好 空气质量不好 (3)根据(2)中的列联表,判断是否有 99%的把握认为该市一天的空气质量与当天 2SO 的 浓度有关? 附:        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10828 19. 如图, 1O , 2O 分别是圆台上下底面的圆心,AB 是下底面圆的直径, 1 22AB O O ,点 P 是下底面内以 2AO 为直径的圆上的一个动点(点 P 不在 2AO 上). (1)求证:平面 1APO  平面 1 2PO O ; (2)若 2AB  ,当三棱锥 1 2O APO 体积最大时,求点 B 到平面 1APO 的距离. 20. 已知面积为 16 的等腰直角 AOB (O 为坐标原点)内接于抛物线  2 2 0y px p  , OA OB ,过抛物线的焦点 F 且斜率为 2 的直线l 与该抛物线相交于 P ,Q 两点,点 M 是 PQ 的中点. (1)求此抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)若焦点在 y 轴上的椭圆C 经过点 M ,其离心率 1 2e  ,求椭圆 C 的标准方程. 21. 已知函数   21ln ln 24f x a x x b    在点   2 2f, 处的切线方程为 1 12y x   . (Ⅰ)求  f x 的单调区间; (Ⅱ)设  1 2 1 2,x x x x 是函数    g x f x m  的两个零点,求证: 2 1 3 42x x m   . 22. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 2 cos 3sin sin 3 cos x y           ( 为参数), 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 2, 3     ,点 B (异于点O 和点 A )在曲线C 上,求 OAB 面积的最 大值. 23. 已知函数    2 1 1 0f x x mx m     . (Ⅰ)当 2m  时,解不等式   2f x  ; (Ⅱ)若  f x 有最小值,且关于 x 的方程   2 7 4f x x x    有两个不相等的实数根,求实 数 m 的取值范围. 太原市 2021 年高三年级模拟考试(三) 数学试卷(文科) 答案版 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 1 iz i   ,则在复平面内与复数 z 对应的点的坐标为( ) A.  1, 1 B.  1,1 C.  1,1 D.  1, 1  【答案】B 2. 已知全集U  R ,集合  0,1,2,3A  ,  1,0,1B   ,则下图阴影部分表示的集合是( ) A.  1 B.  0,1 C.  2,3 D.  1,2,3 【答案】C 3. 设 x R,则“ x >1”是“ 2x >1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 4. 2020 年初,新型冠状病毒( 19COVID  )引起的肺炎疫情爆发以来,各地医疗机构采取 了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某医疗机构开始使用中西医结合方法后,每 周治愈的患者人数如下表所示: 第 x 周 1 2 3 4 5 治愈人数 y (单位:十人) 3 8 10 14 15 由上表可得 y 关于 x 的线性回归方程为  1y bx  ,则此回归模型第5周的残差(实际值减去 预报值)为( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 5. 已知 ,  是两个不同的平面, m , n 是两条不同的直线,则下列正确的结论是( ) A. 若 //m n , / /m  , / /n  ,则 / /  B. 若 / /  ,m  ,n  ,则 //m n C. 若 m n , m  ,则 / /n  D. 若 m n , m  , n  ,则   【答案】D 6. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界,画出相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼, 阴鱼的头部有阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合, 相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2(正八边形 ABCDEFGH )是由图 1(八 卦模型图)抽象而得到,并建立如图 2 的平面直角坐标系,设 1OA  .则下列错误的结论是 ( ) A. 2 2OA OD    B. 以射线 OF 为终边的角的集合可以表示为 5 2 ,4 k k Z        C. 在以点O 为圆心、 OA 为半径的圆中,弦 AB 所对的劣弧弧长为 4  D. 正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2 【答案】D 7. 已知实数 a ,b 满足 13 2 2 0a b   ,  2 2log 2a c x   ,则下列正确的结论是( ) A. a b c  B. b a c  C. a c b  D. c b a  【答案】B 8. 执行如图所示的程序框图,若 2021N  ,则输出的 p  ( ) A. 2019 12 2  B. 2020 12 2  C. 2021 12 2  D. 2022 12 2  【答案】C 9. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 7 3 B. 8 3 C. 3 D. 2 【答案】A 10. 已知锐角 、  满足 3    ,则 1 1 cos cos sin sin    的最小值为( ) A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 【答案】C 11. 已知三棱台 1 1 1ABC A B C 中,三棱锥 1 1 1A A B C 的体积为 4,三棱锥 1A ABC 的体积为 8, 则该三棱台的体积为( ) A. 12 3 3 B. 12 4 2 C. 12 4 3 D. 12 4 7 【答案】B 12. 已知点 F 是双曲线 2 2 14 5 x y  的左焦点,过原点的直线l 与该双曲线的左右两支分别相 交于点 A , B ,则 1 9 FA FB  的取值范围是( ) A.  1,0 B. 4 ,05     C. 2,1 D.  1,  【答案】A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出 0 到 9 之间取 整数的随机数,规定 0,1,2 表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次目标的概率为_________. 【答案】 3 5 14. 若命题“ Rx  , 2 1 0x ax   ”是假命题,则实数 a 的取值范围是___________. 【答案】 ( , 2) (2, )   15. 已知实数 x , y 满足 2 5 0 2 7 0 1 0 x y x y x y            ,则 2 2 2y xy x  的取值范围是___________. 【答案】 1,3 16. 已知函数   lnf x x x  ,   xg x e x  ,若存在实数 m ,n ,使得     2f m g n ≥ 成立,则实数 m n  ___________. 【答案】1 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 17. 如图,A ,B ,C 为山脚两侧共线的三点,在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为 30  , 60   , 45   ,现计划沿直线 AC 开通一条穿山隧道 DE ,经测量 100mAD  , 34mBE  , 85mBC  . (1)求 PB 的长; (2)求隧道 DE 的长(精确到 1 m ).附: 2 1.414 ; 3 1.732 . 【答案】(1) 232m;(2)330m . 18. 为进一步保护环境,加强治理空气污染,某市环保监测部门对市区空气质量进行调研,随 机抽查了市区 100 天的空气质量等级与当天空气中 2SO 的浓度(单位: 3μg/m ),整理数据得到 下表: 2SO 的浓度 空气质量等级  0,50  50,150  150,475 1(优) 28 6 2 2(良) 5 7 8 3(轻度污染) 3 8 9 4(中度污染) 1 12 11 若某天的空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为 3 或 4, 则称这天“空气质量不好”,根据上述数据,回答以下问题. (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率; (2)完成下面的 2 2 列联表, 2SO 的浓度 空气质量  0,150  150,475 空气质量好 空气质量不好 (3)根据(2)中的列联表,判断是否有 99%的把握认为该市一天的空气质量与当天 2SO 的 浓度有关? 附:        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10828 【答案】(1)0.36,0.2,0.2,0.24;(2)列联表见解析;(3)有. 19. 如图, 1O , 2O 分别是圆台上下底面的圆心,AB 是下底面圆的直径, 1 22AB O O ,点 P 是下底面内以 2AO 为直径的圆上的一个动点(点 P 不在 2AO 上). (1)求证:平面 1APO  平面 1 2PO O ; (2)若 2AB  ,当三棱锥 1 2O APO 体积最大时,求点 B 到平面 1APO 的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) 2 3 3 20. 已知面积为 16 的等腰直角 AOB (O 为坐标原点)内接于抛物线  2 2 0y px p  , OA OB ,过抛物线的焦点 F 且斜率为 2 的直线l 与该抛物线相交于 P ,Q 两点,点 M 是 PQ 的中点. (1)求此抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)若焦点在 y 轴上的椭圆C 经过点 M ,其离心率 1 2e  ,求椭圆 C 的标准方程. 【答案】(1)抛物线的方程为 2 4y x ,焦点 F 的坐标为 1,0 ;(2) 2 2 14 3 y x  21. 已知函数   21ln ln 24f x a x x b    在点   2 2f, 处的切线方程为 1 12y x   . (Ⅰ)求  f x 的单调区间; (Ⅱ)设  1 2 1 2,x x x x 是函数    g x f x m  的两个零点,求证: 2 1 3 42x x m   . 【答案】(Ⅰ)函数  f x 的单调递增区间为 0, 2 ,单调递减区间为  2, ;(Ⅱ)见 详解. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 2 cos 3sin sin 3 cos x y           ( 为参数), 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 2, 3     ,点 B (异于点O 和点 A )在曲线C 上,求 OAB 面积的最 大值. 【答案】(1) 4cos  ;(2) 2 3 23. 已知函数    2 1 1 0f x x mx m     . (Ⅰ)当 2m  时,解不等式   2f x  ; (Ⅱ)若  f x 有最小值,且关于 x 的方程   2 7 4f x x x    有两个不相等的实数根,求实 数 m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 1, 2     ;(Ⅱ) 1,2

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