山西省太原市2021届高三数学（理）5月三模试题（Word版附答案）

太原市 2021 年高三年级模拟考试（三） 数学试卷（理科） （考试时间：下午 3：00—5：00） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 4 页，第 Ⅱ卷 5 至 8 页. 2.回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上. 3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 1i z i    ，则在复平面内与复数 z 对应的点的坐标为（ ） A.  1, 1 B.  1,1 C.  1,1 D.  1, 1  2. 已知全集U  R ，集合   2 0A x x x   ，  1B x x  ，则下图阴影部分表示的集 合是（ ） A.  1,0 B.    1,0 1,2  C. ( )1,2 D. ( )0,1 3. 2020 年初，新型冠状病毒（ 19COVID  ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取 了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每 周治愈的患者人数如下表所示： 第 x 周 1 2 3 4 5 治愈人数 y （单位：十人） 3 8 10 14 15 由上表可得 y 关于 x 的线性回归方程为  1y bx  ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去 预报值）为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知 ，  是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ） A. 若 //m n ， //m  ， n// ，则 //  B. 若 //  ， m  ， n  ，则 //m n C. 若 m n ， m  ， n// ，则  D. 若 m n ， m  ， n  ，则  5. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼， 阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合， 相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH ）是由图 1（八 卦模型图）抽象而得到，并建立如图 2 的平面直角坐标系，设 1OA  .则下列错误的结论是 （ ） A. 2 2OA OD    B. 以射线 OF 为终边的角的集合可以表示为 5 2 ,4 k k Z        C. 在以点O 为圆心、 OA 为半径的圆中，弦 AB 所对的劣弧弧长为 4  D. 正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2 6. 已知实数 a ，b 满足 13 2 2 0a b   ，  2 2log 2 3a c x x    ，则下列正确的结论是 （ ） A. a b c  B. b a c  C. a c b  D. c b a  7. 某程序框图如图所示，若 2021N  ，则输出的 S （ ） A. 2019 2020 B. 2020 2021 C. 2021 2022 D. 2022 2023 8. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的侧面面积为（ ） A. 12 2 B. 2 C. 12  D.  9. 已知锐角 、  满足 3    ，则 1 1 cos cos sin sin    的最小值为（ ） A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 10. 已知三棱台 1 1 1ABC A B C 中，三棱锥 1 1 1A A B C 的体积为 4，三棱锥 1A ABC 的体积为 8， 则四面体 1 1A B CC 的体积为（ ） A. 3 3 B. 4 2 C. 4 3 D. 4 7 11. 已知点 F 是双曲线 2 2 14 5 x y  的左焦点，过原点的直线l 与该双曲线的左右两支分别相 交于点 A ， B ，则 1 9 FA FB  的取值范围是（ ） A.  1,0 B. 4 ,05     C. 2,1 D.  1,  12. 在 ABC 中，  sin sin sinA B B C   ，点 D 在边 BC 上，且 2CD BD ，设 sin sin ABDk BAD   ，则当 k 取最大值时， sin ACD  （ ） A. 1 4 B. 6 2 4  C. 3 3 6  D.  3 3 11 6  第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出 0 到 9 之间取 整数的随机数，规定 0，1，2 表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次目标的概率为_________. 14. 1 2 1 ( 1 )x x dx    ________． 15. 已知实数 x ， y 满足 2 5 0, 2 7 0, 1 0, x y x y x y            ，则 2 22y x xy  的取值范围是_______. 16. 已知函数   2 2 22 2 2x xf x x mx e me m     ，若存在实数 0x ，使得  0 1 2f x  成立， 则实数 m  _________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 如图，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为 30  ， 45   ， 30   ，现计划沿直线 AC 开通一条穿山隧道 DE ，经测量 100AD  m， 33BE  m， 100BC  m. （1）求 PB 的长； （2）求隧道 DE 的长（精确到 1m）. 附： 2 1.414 ； 3 1.732 . 18. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随 机抽查了市区 100 天的空气质量等级与当天空气中 2SO 的浓度（单位： 3/ mg ），整理数据 得到下表： 2SO 的浓度 空气质量等级  0,50  50,150  150,475 1（优） 28 6 2 2（良） 5 7 8 3（轻度污染） 3 8 9 4（中度污染） 1 12 11 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4， 则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题. （Ⅰ）估计事件“该市一天的空气质量好，且 2SO 的浓度不超过 150”的概率； （Ⅱ）完成下面的 2 2 列联表， 2SO 的浓度 空气质量  0,150  150,475 空气质量好 空气质量不好 （Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天 2SO 的浓度有关？ 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ；  2 0P K k 0050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 19. 如图， 1O ， 2O 分别是圆台上下底面的圆心，AB 是下底面圆的直径， 1 22AB O O ，点 P 是下底面内以 2AO 为直径的圆上的一个动点（点 P 不在 2AO 上）. （Ⅰ）求证：平面 1APO  平面 1 2PO O ； （Ⅱ）若 1 2 2O O  ， PAB 45   ，求二面角 1A PO B  的余弦值. 20. 已知面积为 16 的等腰直角 AOB （O 为坐标原点）内接于抛物线  2 2 0y px p  ， OA OB ，过抛物线的焦点 F 且斜率为 2 的直线l 与该抛物线相交于 P ，Q 两点，点 M 是 PQ 的中点. （1）求此抛物线的方程和焦点 F 的坐标； （2）若焦点在 y 轴上的椭圆C 经过点 M ，求椭圆 C 短轴长的取值范围. 21. 已知函数   21ln ln 24f x a x x b    在点   2 2f, 处的切线方程为 1 12y x   . （Ⅰ）求  f x 的单调区间； （Ⅱ）设  1 2 1 2,x x x x 是函数    g x f x m  的两个零点，求证： 2 1 3 42x x m   . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所 做的第一题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 cos 3sin sin 3 cos x y           （ 为参数）， 以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 2, 3     ，点 B （异于点O 和点 A ）在曲线C 上，求 OAB 面积的最 大值. 【选修 4-5：不等式选讲】 23. 已知函数    2 1 1 0f x x mx m     . （Ⅰ）当 2m  时，解不等式   2f x  ； （Ⅱ）若  f x 有最小值，且关于 x 的方程   2 7 4f x x x    有两个不相等的实数根，求实 数 m 的取值范围. 太原市 2021 年高三年级模拟考试（三） 数学试卷（理科） 答案版 （考试时间：下午 3：00—5：00） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 4 页，第 Ⅱ卷 5 至 8 页. 2.回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上. 3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 1i z i    ，则在复平面内与复数 z 对应的点的坐标为（ ） A.  1, 1 B.  1,1 C.  1,1 D.  1, 1  【答案】B 2. 已知全集U  R ，集合   2 0A x x x   ，  1B x x  ，则下图阴影部分表示的集 合是（ ） A.  1,0 B.    1,0 1,2  C. ( )1,2 D. ( )0,1 【答案】C 3. 2020 年初，新型冠状病毒（ 19COVID  ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取 了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每 周治愈的患者人数如下表所示： 第 x 周 1 2 3 4 5 治愈人数 y （单位：十人） 3 8 10 14 15 由上表可得 y 关于 x 的线性回归方程为  1y bx  ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去 预报值）为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 4. 已知 ，  是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ） A. 若 //m n ， //m  ， n// ，则 //  B. 若 //  ， m  ， n  ，则 //m n C. 若 m n ， m  ， n// ，则  D. 若 m n ， m  ， n  ，则  【答案】D 5. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼， 阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合， 相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH ）是由图 1（八 卦模型图）抽象而得到，并建立如图 2 的平面直角坐标系，设 1OA  .则下列错误的结论是 （ ） A. 2 2OA OD    B. 以射线 OF 为终边的角的集合可以表示为 5 2 ,4 k k Z        C. 在以点O 为圆心、 OA 为半径的圆中，弦 AB 所对的劣弧弧长为 4  D. 正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2 【答案】D 6. 已知实数 a ，b 满足 13 2 2 0a b   ，  2 2log 2 3a c x x    ，则下列正确的结论是 （ ） A. a b c  B. b a c  C. a c b  D. c b a  【答案】B 7. 某程序框图如图所示，若 2021N  ，则输出的 S （ ） A. 2019 2020 B. 2020 2021 C. 2021 2022 D. 2022 2023 【答案】C 8. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的侧面面积为（ ） A. 12 2 B. 2 C. 12  D.  【答案】A 9. 已知锐角 、  满足 3    ，则 1 1 cos cos sin sin    的最小值为（ ） A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 【答案】C 10. 已知三棱台 1 1 1ABC A B C 中，三棱锥 1 1 1A A B C 的体积为 4，三棱锥 1A ABC 的体积为 8， 则四面体 1 1A B CC 的体积为（ ） A. 3 3 B. 4 2 C. 4 3 D. 4 7 【答案】B 11. 已知点 F 是双曲线 2 2 14 5 x y  的左焦点，过原点的直线l 与该双曲线的左右两支分别相 交于点 A ， B ，则 1 9 FA FB  的取值范围是（ ） A.  1,0 B. 4 ,05     C. 2,1 D.  1,  【答案】A 12. 在 ABC 中，  sin sin sinA B B C   ，点 D 在边 BC 上，且 2CD BD ，设 sin sin ABDk BAD   ，则当 k 取最大值时， sin ACD  （ ） A. 1 4 B. 6 2 4  C. 3 3 6  D.  3 3 11 6  【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出 0 到 9 之间取 整数的随机数，规定 0，1，2 表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次目标的概率为_________. 【答案】 3 5 14. 1 2 1 ( 1 )x x dx    ________． 【答案】 2  15. 已知实数 x ， y 满足 2 5 0, 2 7 0, 1 0, x y x y x y            ，则 2 22y x xy  的取值范围是_______. 【答案】 92 2, 2      16. 已知函数   2 2 22 2 2x xf x x mx e me m     ，若存在实数 0x ，使得  0 1 2f x  成立， 则实数 m  _________. 【答案】 1 2 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 如图，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为 30  ， 45   ， 30   ，现计划沿直线 AC 开通一条穿山隧道 DE ，经测量 100AD  m， 33BE  m， 100BC  m. （1）求 PB 的长； （2）求隧道 DE 的长（精确到 1m）. 附： 2 1.414 ； 3 1.732 . 【答案】（1）193m；（2） 240 m. 18. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随 机抽查了市区 100 天的空气质量等级与当天空气中 2SO 的浓度（单位： 3/ mg ），整理数据 得到下表： 2SO 的浓度 空气质量等级  0,50  50,150  150,475 1（优） 28 6 2 2（良） 5 7 8 3（轻度污染） 3 8 9 4（中度污染） 1 12 11 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4， 则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题. （Ⅰ）估计事件“该市一天的空气质量好，且 2SO 的浓度不超过 150”的概率； （Ⅱ）完成下面的 2 2 列联表， 2SO 的浓度 空气质量  0,150  150,475 空气质量好 空气质量不好 （Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天 2SO 的浓度有关？ 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ；  2 0P K k 0050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.46；（2）列联表见解析；（3）有 19. 如图， 1O ， 2O 分别是圆台上下底面的圆心，AB 是下底面圆的直径， 1 22AB O O ，点 P 是下底面内以 2AO 为直径的圆上的一个动点（点 P 不在 2AO 上）. （Ⅰ）求证：平面 1APO  平面 1 2PO O ； （Ⅱ）若 1 2 2O O  ， PAB 45   ，求二面角 1A PO B  的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 33 11  . 20. 已知面积为 16 的等腰直角 AOB （O 为坐标原点）内接于抛物线  2 2 0y px p  ， OA OB ，过抛物线的焦点 F 且斜率为 2 的直线l 与该抛物线相交于 P ，Q 两点，点 M 是 PQ 的中点. （1）求此抛物线的方程和焦点 F 的坐标； （2）若焦点在 y 轴上的椭圆C 经过点 M ，求椭圆 C 短轴长的取值范围. 【答案】（1）抛物线的方程为 2 4y x ，焦点 F 的坐标为 1,0 ；（2）  3, 13 21. 已知函数   21ln ln 24f x a x x b    在点   2 2f, 处的切线方程为 1 12y x   . （Ⅰ）求  f x 的单调区间； （Ⅱ）设  1 2 1 2,x x x x 是函数    g x f x m  的两个零点，求证： 2 1 3 42x x m   . 【答案】（Ⅰ）函数  f x 的单调递增区间为 0, 2 ，单调递减区间为  2, ；（Ⅱ）见 详解. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所 做的第一题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 cos 3sin sin 3 cos x y           （ 为参数）， 以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 2, 3     ，点 B （异于点O 和点 A ）在曲线C 上，求 OAB 面积的最 大值. 【答案】（1） 4cos  ；（2） 2 3 . 【选修 4-5：不等式选讲】 23. 已知函数    2 1 1 0f x x mx m     . （Ⅰ）当 2m  时，解不等式   2f x  ； （Ⅱ）若  f x 有最小值，且关于 x 的方程   2 7 4f x x x    有两个不相等的实数根，求实 数 m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 1, 2     ；（Ⅱ） 1,2