吉林省白山市 2021 届高三下学期 5 月联考
数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 Z 3 5A x x ， 2 ,B y y x x A ，则 A B 的元素个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．在 ABC△ 中，若 1AB ， 5AC ， 3sin 5A ，则 AB AC （ ）
A． 4 B． 3 C．3 D．4
3．函数 3 27 1f x x x 的图象在点 4, 4f 处的切线的斜率为（ ）
A．-5 B．6 C．-7 D．8
4．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速
脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个 200 千米的跑步健身计划，他第一
天跑了 8 千米，以后每天比前一天多跑 0.5 千米，则他要完成该计划至少需要
A．16 天B．18 天C．17 天D．19 天
5．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）
所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），
（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为 13
9
， 56
45
， 10
7
，设图（1），（2），（3）中
椭圆的离心率分别为 1e ， 2e ， 3e ，则（ ）
A． 2 3 1e e e B． 1 3 2e e e
C． 1 2 3e e e D． 2 1 3e e e
6．已知函数 1lg 2
x
f x x
， 1f m ，且 0 p m n ，则（ ）
A． 1f n 且 1f p B． 1f n 且 1f p
C． 1f n 且 1f p D． 1f n 且 1f p
7．下列各项中，是
6yxy x
的展开式的项为（ ）
A． 415y B． 220x C．15 D．
9
220y
8．执行如图所示的程序框图，则输出的 i （ ）
A．10 B．20 C．15 D．25
9．已知函数 tan sin cosf x x x x 则（ ）
A． f x 的最小正周期为 2π
B． f x 的图象关于 y 轴对称
C． f x 的图象关于 π,0 对称
D． f x 的图象不关于 π ,02
对称
10．在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，D 为侧棱 1CC 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，
则这两条棱所在直线至少有一条与直线 BD 异面的概率是（ ）
A． 2
3
B． 5
6
C． 7
9
D． 13
18
11．已知双曲线C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，M 为C 左
支上一点， N
为线段 2MF 上一点，且 1MN MF ， P 为线段 1NF 的中点．若 1 2 4F F OP （ O 为坐标
原点），则 C 的渐近线方程为（ ）
A． 3y x B． 2y x C． y x D． 2y x
12．如图，函数 f x 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， f x 的零点为 1
2
，若不
等式 2f x a f x 0a 对 x R 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
A． 2 3 2 3, ,3 3
B． , 3 3,
C． 4 3 4 3, ,5 5
D． 5 3 5 3, ,6 6
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应
位置．
13．复数 1 2i 1 5iz 的实部为______．
14．若 x ， y 满足约束条件
2,
3,
3 2 6,
x
x y
x y
则 x y 的最大值为______， 2 2x y 的最小值为
______．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
15．在数列 na 中， 1 2a ， 2 2
11 2 2 2n nn a n n a ，则 na ______．
16．如图，正四棱锥 P ABCD 的每个顶点都在球 M 的球面上，侧面 PAB 是等边三角形．若
半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球 M 的体
积的比值为______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考
题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
ABC△ 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ．已知 3a ， 2b ．
（1）若 π
6A ，求 cos 2B ；
（2）当 A 取得最大值时，求 ABC△ 的面积．
18．（12 分）
某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐
会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行．根据气象部门的天气预报得知，在
周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 1p ，后两天每天出现风雨天
气的概率均为 2p ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立．已知前两天的晚上均出现风雨天气
的概率为 1
4
，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 199
200
．
（1）求该社区能举行 4 场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数 X 的数学期望．
19．（12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，以 BC 为直径的圆O（O 为圆
心）过点 A ，且 2AO AC AP ， PA 底面 ABCD ， M 为 PC 的中点．
（1）证明：平面OAM 平面 PCD ．
（2）求二面角O MD C 的余弦值．
20．（12 分）
已知 F 为抛物线 C ： 2 2x py 0p 的焦点，直线l ： 2 1y x 与C 交于 A ， B 两点，
且 AF BF 20 ．
（1）求C 的方程．
（2）若直线 m ： 2y x t 1t 与C 交于 M ，N 两点，且 AM 与 BN 相交于点T ，证明：
点T 在定直线上．
21．（12 分）
已知函数 21 1 2lnf x m x x ．
（1）讨论 f x 的单调性;
（2）当 1,2x 时， 0f x ，求 m 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生从第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一个题目计分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 2 2 3x y y ．
（1）写出曲线C 的一个参数方程;
（2）若 1,0A ， 1,0B ，点 P 为曲线C 上的动点，求 2PA PB OA OP 的取值范围．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f x x a x b ．
（1）若 2 3 2a b b ，证明： x R ，b R ， 1f x ．
（2）若关于 x 的不等式 7f x 的解集为 6,1 ，求 a ， b 的一组值，并说明你的理由．
2020～2021 学年白山市联考
高三数学试卷参考答案（理科）
1．C【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力．
因为 2, 1,0,1,2,3,4A ， 4, 2,0,2,4,6,8B ，所以 2,0,2,4A B ．
2．A【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力．
在 ABC△ 中，因为 3sin 5A ，所以 4cos 5A ，所以 cos 4AB AC AB AC A ．
3．D【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．
因为 23 14f x x x ，所以所求切线的斜率为 4 3 16 14 4 8f ．
4．C【解析】本题考查等差数列的应用，考查数学建模与逻辑推理的核心素养．
依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依次成等差数列，且首项为 8，
公 差 为 0.5 ． 设 经 过 n 天 后 他 完 成 健 身 计 划 ， 则 1 18 2002 2
n nn
， 整 理 得
2 31 800 0n n ．
因为函数 2 31 800f x x x 在 1, 上为增函数，且 16 0f ， 17 0f ，所以
17n ．
5．B【解析】本题考查椭圆的离心率与中国古代数学文化，考查数据处理能力与推理论证能
力．
因为椭圆的离心率
22
2
21 1 2
b be a a
，所以长轴长与短轴长的比值越大，离心率越
大．因为13
9
1.44 ， 56 1.2445
，10 1.437
，所以 1 3 2e e e ．
6．A【解析】本题考查基本初等函数的单调性，考查推理论证能力．
因为 lgy x 在 0, 上单调递增， 1
2
x
y
在 , 上单调递减，所以 f x 在
0, 上单调递增．又 1f m ，且 0 p m n ，所以 1f n 且 1f p ．
7．A【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力与推理论证能力．
6yxy x
展开式中的第 3 项为 242 4
6C 15yxy yx
．
8．B【解析】本题考查程序框图，考查运算求解能力．
1 10 11a ， 5i ； 5 22 27a ， 10i ； 21 54 75a ， 15i ；
69 150 100a ， 20i ．故输出的 20i ．
9．C【解析】本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养．
因为 f x f x ，所以 f x 的最小正周期不是 2π ．
因为 f x f x f x ，所以 f x 是奇函数，其图象不关于 y 轴对称．
因为 2π tan sin cosf x x x x f x ，所以 f x 的图象关于 π,0 对称．
因为 π tan sin cosf x x x x f x ，所以 f x 的图象关于 π ,02
对称．
10．D【解析】本题考查异面直线的判定、排列组合的应用、古典概型，考查直观想象、推理
论证的核心素养．
如图，这九条棱中，与 BD 共面的是 BC ， 1BB ， 1CC ， 1 1B C ， AB ，共五条，故所求概率
2
5
2
9
C 131 C 18P ．
11．A【解析】本题考查双曲线的性质与定义的应用考查数形结合的数学思想．
因为 1 2 4F F OP ，所以
2
cOP ，所以 2 2NF OP c ，又 2 1 2 2MF MF NF a ，
所以 2c a ，所以 2 2 24a b a ，则 3b
a
．故C 的渐近线方程为 3y x ．
12．D【解析】本题考查函数与不等式的综合应用，考查化归与转化的数学思想．
由题可知射线经过点 1 ,02
， 1,2 ，则射线的方程为 4 2
3 3y x 1x ．
当 1x 时，设 22 1f x m x 0m ，因为 1 1 2f m ，所以 1m ．
令 f x t 1 2t ，则该方程的解为 1
3 2
4
tx ， 2 2 1x t ， 3 2 1x t ，
3 1
3 22 1 4
tx x t ．令 1t i 0 1l ，
则 2 2
3 1
3 1 2 3 2 25 252 4 4 3 12 12
l
x x l l
．
依题意可得 2 25
12a ，解得 5 3 5 3, ,6 6a
．
13．-9【解析】本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力．
因为 9 7iz ，所以 z 的实部为-9．
14．2； 36
13
【解析】本题考查线性规划，考查推理论证能力与运算求解能力．
作出约束条件表示的可行域（图略），由图可知当直线 z x y 经过 2 0， 时， z 有最大值
2． 2 2x y 表示可行域中的点 ,P x y 到原点距离的平方因为原点到直线3 2 6x y 的距离
为 6
13
，所以 2 2x y 的最小值
26 36
1313
．
15． 2
2
2 2
n
n n
（或
2
2
1 1
n
n
）【解析】本题考查等比数列的定义与通项公式，考查抽象
概括能力．
因为 22
11 2 1 1n nn a n a ， 1 2a ，所以数列 21 1 nn a 是首项为 2，公
比为 2 的等比数列，则 21 1 2n
nn a ，所以
2 2
2 2
2 21 1
n n
na n nn
.
16． 3
18
【解析】本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力.
如图，连接 PO ，BD ，取CD 的中点 E ，连接 PE ，OE ，过O 作OH PE 于 H ，易知 PO
底面 ABCD ，
设 4AB ， 则 2 2 4 2BD BA BC ， 1 2 22BO BD ，
2 2 2 2PO BP BO ．设球 M 的半径为 R ，半球O 的半径为 0R ，则 2 2R ．易知
0R OH ，则 0 1
3
R OH OE
R PO PE
，故 O
M
V
V
半球
球
3
0 3
0
3
4π1
1 32 3
4π 2 18
3
R
R
R R
．
17．解：（1）由正弦定理=
sin sin
a b
A B
，得 3 2
1 sin
2
B
，
解得 3sin 3B ，所以 2 1cos2 1 2sin 3B B ．
（2）由余弦定理得
2 2 2 2 1cos 2 4
b c a cA bc c
，因为
2 1 2 1
4 4 2
c c
c c
，
当且仅当 1c 时，等号成立，
所以 1cos 2A ，则 π0 3A ，则 A 的最大值为 π
3
．
此时， ABC△ 的面积 1 1 π 3sin 2 1 sin2 2 3 2S bc A ．
评分细则：
【1】第（1）问解析第一行未写
sin sin
a b
A B
不扣分，得出 3sin 3B ，直接写 1cos2 3B ，
没有写倍角公式扣 1 分．
【2】第（2）问中，得到 π0 3A ，但未写 A 的最大值为 π
3
不扣分．
18．解：（1）因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为 1
4
，所以 2
1
1
4p ，则 1
1
2p ．
因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为 199
200
，
所以 3 2
1 2
1991 1 1 200p p ，
又 1
1
2p ，所以 2
4
5p ．
设“该社区能举行 4 场音乐会”为事件 A ，
则
2 2 3
1 1
3 2
1 1 4 1 4 4 11C 1 1 1 C 12 2 5 2 5 5 200P A
．
（2） X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5．
3 21 4 20 2 5 25P X
，
2 2 3
1 1
3 2
1 1 4 1 4 1 71 C C2 2 5 2 5 5 25P X
，
2 2 2 3 2
2 1 1
3 3 2
1 1 4 1 1 4 1 1 4 732 C 1 C 1 C 12 2 5 2 2 5 5 2 5 200P X
，
3 2 2 2 2
2 1 1
3 2 3
1 4 1 1 4 1 1 1 4 433 1 C 1 C C 1 12 5 2 2 5 5 2 2 5 200P X
，
114 200P X ， 199 15 1 200 200P X ．
所以 7 73 43 11 1 191 2 3 4 525 200 200 200 200 10E X ．
评分细则：
【1】第（1）问中，只要得到 1
1
2p 即得 1 分，得到 2
4
5p 即得 2 分．
【2】第（2）问中， E X 的最后结果写为 1.9 不扣分．
19．（1）证明：由题意点 A 为圆O 上一点，则 AB AC ．
由 PA 底面 ABCD ，知 PA AB ．
又 PA AC A ，因此 AB 平面 PAC ，
则 AB AM ，又 //AB CD ，则 AM CD ．
因为 AC AP ， M 为 PC 的中点，所以 AM PC ．
又CD PC C ，所以 AM 平面 PCD ．
因为 AM 平面 OAM ，所以平面OAM 平面 PCD ．
（2）解：如图，以 A 为原点， AB
的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 A xyz ，
则 0,2,0C ， 2 3,2,0D ， 0,1,1M ， 3,1,0O ，
3,0,1OM ， 3 3,1,0OD ．
设 , ,n x y z 为平面OMD 的法向量，
则 0,
0,
n OM
n OD
即 3 0.
3 3 0.
x z
x y
令 1x ，得 1,3 3, 3n ．
由（1）可知， AM 平面 PCD ，则平面CDM 的一个法向量 0,1,1m ，
所以 2 186cos , 31
m nm n m n
．
由图可知二面角O MD C 为锐角，故二面角 AO MD C 的余弦值为 2 186
31
．
评分细则：
【1】第（1）问严格按步骤给分．
【2】第（2）问中，平面OMD 的一个法向量只要与 1,3 3, 3n 共线即可得分．
20．（1）解：设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，由 2
2 1,
2 ,
y x
x py
得 2 8 2 1 0y p y ．
则 1 2 8 2y y p ．
从而 1 2 9 2 202 2
p pAF BF y y p ，
解得 2p ，故C 的方程为 2 4x y ．
（2）证明：设 3 3,M x y ， 4 4,N x y ， 0 0,T x y ，且设
1 2
1 2
1 2
4 8y yx x x x
．
因为 //AB MN ，所以TN TB ．
根据
2
1 1
2
2 2
4
4
,
,
x y
x y
得 1 2 1 2 1 24x x x x y y ，则
1 2
1 2
1 2
4 8y yx x x x
，
同理得 3 4 8x x ．
又
3 0 1 0
4 0 2 0
,
,
x x x x
x x x x
两式相加得 3 4 0 1 2 02 2x x x x x x ，
即 04 1 0x ，由于 1 ，所以 0 4x ．
故点T 在定直线 4x 上．
评分细则：
【1】第（1）问还可以通过联立消去 y ，其步骤及给分如下：
由 2
2 1,
2 ,
y x
x py
得 2 4 2 0x px p ，
则 1 2 4x x p ，
1 2 1 22 2 8 2y y x x p ．
从而 1 2 9 2 202 2
p pAF BF y y p ．
解得 2p ，故C 的方程为 2 4x y ．
【2】第（2）问若用其他方法解答请按照步骤给分．
21．解：（1） 22 122 1
mx mx
f x m x x x
， 0x ．
①当 0m 时，显然 0f x ，此时 f x 在 0, 上单调递减．
②当 0m 时，令 0f x ，得
2 4 10 2 2
m mx m
，令 0f x ，
2 4 1
2 2
m mx m
．
所以 f x 在
2 4 10, 2 2
m m
m
上单调递减，在
2 4 1 ,2 2
m m
m
上单调递增．
（2）由于对一切 1,2x ， 0f x 恒成立，所以 1,2x ，
2
1 2ln
1
xm
x
．
构造函数 2
1 2ln
1
xF x
x
， 1,2x ，则 3
2 4ln
1
xxF x
x
．
再令 2 4lng x xx
， 1,2x ，所以 2
2 4 0g x x x
， g x 在 1,2 上单调递减。
因为 1 2 0g ， 2 1 4ln 2 0g ，所以存在唯一的 0 1,2x ，使 0 0g x ，
且当 01,x x 时， 0g x ；当 0 ,2x x ， 0g x ．
所以 F x 在 01, x 上单调递增，在 0 ,2x 上单调递减．
因为 5 5 85 lne ln3 ln 2 8ln 2 ，
所以 8ln 2 52 1 036F F ，则 min
11 4F x F ，
从而 1
4m ，即 m 的取值范围是 1, 4
．
评分细则：
【1】第（1）问中，未写定义域或未说明 0x ，但求导正确不扣分．
【2】第（2）问中，解法二如下：
由于对一切 1,2x ， 0f x 恒成立，所以 1 4 1 0F m ，得 1
4m ．
下面证明当 1
2m 时， 0f x 对一切 1,2x 恒成立．
要证此结论成立，只需证明当 1
4m 时， 0f x 对一切 1,2x 恒成立．
此时 21 1 1 2ln4f x x ，
2 4
2
x xf x x
．令 0f x 得 17 1 1,22x ，
且 f x 在
17 11, 2
上单调递减，在 17 1,22
上单调递增．
因为 5 5 85 lne ln3 ln 2 8ln 2 ，
所以 52 2ln 2 04f ．
又 1 0f ，所以当 1
4m 时，结论成立．
综上， m 的取值范围是 1, 4
．
22．解：（1）由 2 2 3x y y ，得 2 2 2 3x y y ，
整理得 22 1 4x y ．
又 2 2 3 0x y y ，
所以曲线 C 的一个参数方程为 2cos ,
1 2sin
x
y
（ 为参数，且 π π
2 2
）．
（2）由（1）可设点 P 的坐标为 2cos ,1 2sin ， π π
2 2
．
因为 1 2cos , 1 2sinPA ， 1 2cos , 1 2sinPB ，
所以 21 2cos 1 2cos 1 2cos 4 4sinPA PB ．
又 2cosOA OP ，
所以 π2 4 4 sin cos 4 4 2 sin 4PA PB OA OP
．
因为 π π
2 2
，所以 2 πsin 1 2 4
，
故 2PA PB OA OP 的取值范围是 0,4 4 2 ．
评分细则：
【1】第（1）问中，得到 22 1 4x y 后直接得出曲线C 的一个参数方程为 2cos ,
1 2sin
x
y
（ 为参数），扣 2 分．
【2】第（1）问的参数方程不唯一，只要参数方程对应的曲线为圆 22 1 4x y 的右半部
分均可得分．
【3】第（2）问中设点 P 的坐标为 2cos ,1 2sin ，后面没有写明 的取值范围，扣 1
分．
23．（1）证明： f x x a x b x a x b a b ．
因为 2 3 2a b b ，所以 22 2 2 1 1 1a b b b b ，
当 1b 时， a b 取得最小值 1，故 x R ，b R ， 1f x ．
（2）解：依题意可得 6 1 7f f ．
即 6 6 1 1 7a b a b ，
不妨取 0a ，则 5b ．
下面证明 5 7x x 的解集为 6,1 ．
证明：当 5x 时， 2 5 7x ，则 6x ，又 5x ，所以 6 5x ．
当 5 0x 时，5 7 显然成立，所以 5 0x ．
当 0x 时， 2 5 7x ，则 1x ，又 0x ，所以 0 1x ．
所以 5 7x x 的解集为 6,1 ，故 a ， b 的一组值为 0,5．
评分细则：
【1】第（1）问中，未写 1b 不扣分．
【2】第（2）问中， a ，b 的一组值不唯一，但 5a b ，且 a ， 1,6b ．
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