绝密 ★ 启用前
永州市 2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（二）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必
将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 { | 2}A y y x ，集合 2| 4 0B x x x ，则 B AR ð 等于（ ）
A． 0,4 B． 4, C． 0,4 D． 4,
2．复数 2i 1 iz a ， aR ，i 是虚数单位．若 4z ，则 a （ ）
A． 2 B． 2 C． 0 D． 2
3．下列函数中， y 的最小值为 2 的是（ ）
A． 1y x x
B． ln 1y x x
C． 1xy e x D． 1cos 0s 2
π
coy x xx
4．以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成一个长方形，每个正方形中画圆心
角为90 的圆弧，这些圆弧连接而成的弧线也称作斐波那契螺旋线，下图为该螺旋线的前一部
分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的表面积为（ ）此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
A． 20π B． 8 15π
3
C．16π D． 4 15π
3
5．已知当 x 时，函数 2cos sinf x x x 取得最小值，则 cos （ ）
A． 5
5
B． 2 5
5
C． 2 5
5
D． 5
5
6．“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排 A ，B ，C ，D ，E ，F ，
G，H 共 8 名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老
人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生 A 不安排看望老人甲，学生 B 不安排看望老人乙，
则安排方法共有（ ）
A．1260 种 B．2520 种 C．1440 种 D．1890 种
7．已知实数 0a ，b e ，则“3 3a b ”是“
1 1
a ba b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知 1F 、 2F 分别为双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左右焦点， M 为双曲线左支上
一点， 1F 与 y 轴上一点 P 正好关于 2MF 对称，则双曲线C 的离心率为（ ）
A． 2 31 3e B． 2 3
3e C． 3e D．1 3e
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9． 1 14 p ，随机变量 X 的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）
X 0 1 2
P 2p p 1 p 2p
A． 2P 的值最大 B． 0 1P P
C． E 随着 p 的增大而减小 D． E 随着 p 的增大而增大
10．在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ABC△ 为锐角三角形且 A B ，则sin cosA B
B．若sin 2 sin 2A B ，则 ABC△ 为等腰三角形
C．若 A B ，则sin sinA B
D．若 8a ， 10c ， 60B ，则符合条件的 ABC△ 有两个
11．已知函数 f x 是奇函数， 1f x 是偶函数，并且当 0,1x ， 2 2 3f x x ，
则下列选项正确的是（ ）
A． f x 在 3, 2 上为减函数 B． f x 在 1 3,2 2
上 0f x
C． f x 在 1,2 上为增函数 D． f x 关于 3x 对称
12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个
每项都为 1 的常数列，在此数列的第 *n nN 项与第 1n 项之间插入首项为 2，公比为 2，
的等比数列的前 n 项，从而形成新的数列 na ，数列 na 的前 n 项和为 nS ，则（ ）
A． 5
2021 2a B． 6
2021 2a
C． 63
2021 3 2 59S D． 64
2021 2 3S
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 2,3x a ， 4, 3x b ，若 ∥a b 且方向相反，则 x _______．
14．已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F，抛物线 C 上一点 A 满足|AF|=3，则以点 A 为圆心，
AF 为半径的圆截 x 轴所得弦长为___________．
15．已知 , 0x y R ，则 221( ) 2x x yy
最小值为________．
16．若用一个棱长为 6 的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面
上，
并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为________，体积的最大值为
_________．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（10 分）在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 cos3 sin 3 tan
b Cc B a B
．
（1）若 π
4B ， 6 2c ，求 ABC△ 的面积；
（2）若
2
6cos2 6a Bc
，求角C ．
18．（12 分）已知各项为正数的数列 na ，其前 n 项和为 nS ， 28 2 1n nS a ，且 1 1a ．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 1 2 3 1
1 2 2 13 3 3 3 3n
n n
n n na a aT a a
，求 nT ．
19 ．（ 12 分 ） 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 4 的 菱 形 ，
PB BD PD 4 2 ， 4 3PA ．
（1）证明： PC 平面 ABCD ；
（2）如图，取 BC 的中点为 E ，在线段 DE 上取一点 F 使得 2
3
DF
FE
，求二面角 F PA C
的大小．
20．（12 分）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组
成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投
篮两次，每小组投进的次数之和不少于 3 次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球
的概率为别为 1p ， 2p ．
（1）若 1
3
4p ， 2
2
3p ，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若 1 2
4
3p p ，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号 16 次，则理
论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时 1p ， 2p 的值．
21．（12 分）已知直线 3 3 0x y 经过椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0a b )左顶点和上顶点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若 A 、 B 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线 3y x 上存
在一点 P ，使得三角形 PAB为正三角形，求 AB 所在直线的方程．
22．（12 分）已知函数 21( ) 2f x x ax ．
（1）若 ( ) lng x f x x a x ，讨论 ( )g x 的单调性；
（2）已知 ( ) 2 ln 4 2h x f x x x a ，若方程 ( ) 0h x 在 1 ,2
有且只有两个解，求
实数 a 的取值范围．
绝密 ★ 启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（二）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必
将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 { | 2}A y y x ，集合 2| 4 0B x x x ，则 B AR ð 等于（ ）
A． 0,4 B． 4, C． 0,4 D． 4,
【答案】C
【解析】集合 { | 2} { | 0}A y y x y ，
集合 2 0 { | 4 0} { | 0 4| 4 }B x x x x x x xx x 或 ，
则 { | 0 4}B x x Rð ， { | 0 4} 0,4B A x x R ð ，故选 C．
2．复数 2i 1 iz a ， aR ，i 是虚数单位．若 4z ，则 a （ ）
A． 2 B． 2 C． 0 D． 2
【答案】D
【解析】 2i 1 i 2 ( 2)iz a a a ，
2 ( 2)iz a a ， 22 84z a ，解得 2a ，
故选 D．
3．下列函数中， y 的最小值为 2 的是（ ）
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
A． 1y x x
B． ln 1y x x
C． 1xy e x D． 1cos 0s 2
π
coy x xx
【答案】C
【解析】对于 A 选项，当 0x 时， 1 2y x x
，当且仅当 1x x
，即 1x 时，等号成立；
当 0x 时， 1 1( ) 2y x xx x
，当且仅当 1x x
，即 1x 时，等号成
立，
故 A 错误；
对于 B 选项， ln 1y x x ， 1 11 xy x x
，
当 1x 时， 0y ；当 0 1x ， 0y ，
所以当 1x ，函数 ln 1y x x 单调递增；当 0 1x 时， ln 1f x x x 单调递减，
所以当 1x ，函数取得最小值为 0，故 B 错误；
对于 C 选项， 1xy e x ， 1xy e ，
当 0x 时， 0y ；当 0x ， 0y ，
所以当 0x ，函数 1xy e x 单调递增；当 0x ，函数 1xy e x 单调递减，
即当 0x 取得最小值为 2，故 C 正确；
对于 D 选项，因为 0 π
2x ，所以 0 cos 1x ，
又 1 1cos 2 cos 2scos cosy x xx x
，当且仅当 1cos cosx x
，即 cos 1x 时，等号
成立，但 cos 1x ，故 D 错误，
故选 C．
4．以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成一个长方形，每个正方形中画圆心
角为90 的圆弧，这些圆弧连接而成的弧线也称作斐波那契螺旋线，下图为该螺旋线的前一部
分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的表面积为（ ）
A． 20π B． 8 15π
3
C．16π D． 4 15π
3
【答案】A
【解析】根据已知可得所求扇形半径为 3 5 8r ，即圆锥母线长为 8l ，
设圆锥底面半径为 R ，则
π
22π 2π 82πR ， 2R ，
所以圆锥表面积为 2π π 16π 4π 20πS Rl R ，故选 A．
5．已知当 x 时，函数 2cos sinf x x x 取得最小值，则 cos （ ）
A． 5
5
B． 2 5
5
C． 2 5
5
D． 5
5
【答案】C
【解析】函数 2cos sinf x x x ，
由辅助角公式化简可得 ( ) 5 sinf x x ， tan 2 ， 为第二象限角，
因为当 x 时，函数取得最小值，
所以 3π 2 π,2 k k Z ，则 3π 2 π,2 k k Z ，
所以 cos cos c3π 3π 2 52 π2 2 5os sink
，故选 C．
6．“五一”小长假期间，某学生会组织看望留守老人活动，现安排 A ，B ，C ，D ，E ，F ，
G，H 共 8 名学生的小组去看望甲，乙，丙，丁四位留守老人，小组决定两名学生看望一位老
人，考虑到学生与老人住址距离问题，学生 A 不安排看望老人甲，学生 B 不安排看望老人乙，
则安排方法共有（ ）
A．1260 种 B．2520 种 C．1440 种 D．1890 种
【答案】C
【解析】8 名学生看望四位老人，每两位学生看望一位老人共有 2
8 6 4
2 2CC C 2520 种安排方法，
其中 A 看望老人甲的情况有 1 2 2
7 6 4C C C 630 种；
B 看望老人乙的情况有 1 2 2
7 6 4C C C 630 种；
A 看望老人甲，同时 B 看望老人乙的情况有 6 4
1 2
5
1CC C 180 种，
符合题意的安排方法有 2520 630 630 180 1440 种，本题选项为 C．
7．已知实数 0a ，b e ，则“3 3a b ”是“
1 1
a ba b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】令 ln xf x x
， 2
1 ln xf x x
，
可得当 0 x e 时， 0f x ；当 x e 时， 0f x ，
所以 f x 在 0,e 上单调递增，在 ,e 单调递减，
因为 3 3a b ，所以 a b e ，所以 ln lna b
a b
，即
1 1
ln lna ba b ，所以
1 1
a ba b ；
可得当 2a ， 5b 时，可得 ln 2 ln 4 ln5
2 4 5
，可得
11
522 5 ，而 2 53 3 ，
综上可得当实数 0a ，b e 时，“ 3 3a b ”是“
1 1
a ba b ”的既不充分也不必要条件，
故选 D．
8．已知 1F 、 2F 分别为双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左右焦点， M 为双曲线左支上
一点， 1F 与 y 轴上一点 P 正好关于 2MF 对称，则双曲线C 的离心率为（ ）
A． 2 31 3e B． 2 3
3e C． 3e D．1 3e
【答案】B
【解析】设点 1 ,0F c ，设点 M 在第二象限，则点 P 在 y 轴正半轴上，
由对称性可得 2 1 1 2 2PF PF F F c ， 2 2
1 1 3PO PF OF c ，
所以 2 1 60PF F ，则 2 1 30MF F ，
所以，双曲线的渐近线 by xa
的倾斜角 满足90 150 ，
则 3tan150 3
b
a
，即 3
3
b
a
，
因此，该双曲线的离心率为
22 2 2
2 2
2 31 3
c c a b be a a a a
，故选 B．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9． 1 14 p ，随机变量 X 的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）
X 0 1 2
P 2p p 1 p 2p
A． 2P 的值最大 B． 0 1P P
C． E 随着 p 的增大而减小 D． E 随着 p 的增大而增大
【答案】BD
【解析】 1
2p 时， 12 4P ，而 1 1 11 1 2 2 4P ，A 错；
2 (1 ) 1p p p p p ，所以 B 正确；
由题意 2 21 7(1 ) 2 2( )4 8E p p p ，
由于 1 14 p ，所以 E 随着 p 的增大而增大，C 错，D 正确，
故选 BD．
10．在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ABC△ 为锐角三角形且 A B ，则sin cosA B
B．若sin 2 sin 2A B ，则 ABC△ 为等腰三角形
C．若 A B ，则sin sinA B
D．若 8a ， 10c ， 60B ，则符合条件的 ABC△ 有两个
【答案】AC
【解析】对于 A，因为若 ABC△ 为锐角三角形且 A B ，所以 π
2A B ，
所以 π
2A B ，所以 πsin sin cos2A B B
，故 A 正确；
对于 B，若sin 2 sin 2A B ，则 2 2A B 或 2 π 2A B ．
若 2 2A B ，则 ABC△ 为等腰三角形；
若 2 π 2A B ，则
2
πA B ，则 ABC△ 为直角三角形，故 B 不正确；
对于 C，由 A B 可得 a b ，所以
2 2
a b
R R
结合正弦定理可得sin sinA B ，故 C 正确；
对于 D， 8a ， 10c ， 60B ，
2 2 2
cos 2
a c bB ac
，
即
2 2 28 10cos60 2 8 10
b
，解得 2 21b ，只有一个解，故 D 不正确，
故选 AC．
11．已知函数 f x 是奇函数， 1f x 是偶函数，并且当 0,1x ， 2 2 3f x x ，
则下列选项正确的是（ ）
A． f x 在 3, 2 上为减函数 B． f x 在 1 3,2 2
上 0f x
C． f x 在 1,2 上为增函数 D． f x 关于 3x 对称
【答案】ABD
【解析】因为 f x 是奇函数， 1f x 是偶函数，
所以函数 f x 的图象关于 0,0 中心对称，且关于 1x 轴对称，则 f x 的周期为 4 ，
当 0,1x 时， 2 2 3 1 2f x x x ，则函数 f x 在 0,1x 上递减，
根据对称性可得 f x 在 1,2x 单调递增，
再结合周期性可得 f x 在 3, 2 上为减函数，故 A 正确；
f x 在 1 ,12x
小于 0，根据对称性可得 f x 在 1 3,2 2x
小于 0，故 B 正确；
f x 的图象关于 1x 轴对称，所以 13
2 02f f
， 02 0f f ，
所以 f x 不可能在 1,2 上为增函数，故 C 错误；
f x 的图象关于 1x 轴对称，又 f x 是奇函数，所以 f x 的图象关于 1x 轴对称，
因为 f x 的周期为 4 ，所以 f x 关于 3x 对称，故 D 正确，
综上答案为 ABD．
12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个
每项都为 1 的常数列，在此数列的第 *n nN 项与第 1n 项之间插入首项为 2，公比为 2，
的等比数列的前 n 项，从而形成新的数列 na ，数列 na 的前 n 项和为 nS ，则（ ）
A． 5
2021 2a B． 6
2021 2a
C． 63
2021 3 2 59S D． 64
2021 2 3S
【答案】AD
【解析】设 2021a 介于第 n 个 1 与第 1n 个 1 之间或者为这两个 1 当中的一个，
则从新数列的第 1 个 1 到第 n 个 1 一共有 1
2
n n 项，
从新数列的第 1 个 1 到第 1n 个 1 一共有 2 1
2
n n 项，
所以 1 2 120212 2
n n n n ，解得 63n ，
而 63 1 63 20162
，所以 5
2021 2a ，故 A 正确，B 错误；
1 2 3 62 1 2 3 4 5
2021 1 63 62 2 61 2 60 2 1 2 2 2 2 2 2S
1 2 3 62125 62 2 61 2 60 2 1 2 ，
令 1 2 3 6262 2 61 2 60 2 1 2T ，
则 2 3 4 632 62 2 61 2 60 2 1 2T ，
1 2 3 4 62 632 62 2 2 2 2 2 1 2T T ， 642 128T ，
所以 64
2021 2 3S ，故 D 正确，C 错误，
综上选 AD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 2,3x a ， 4, 3x b ，若 ∥a b 且方向相反，则 x _______．
【答案】 1
【解析】∵向量 2,3x a ， 4, 3x b ，且 ∥a b ，
∴ 2 3 3 4 0x x ，∴ 1x 或 6x ，
又∵向量 a 与 b 方向相反，∴ 1x ，
故答案为 1 ．
14．已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F，抛物线 C 上一点 A 满足|AF|=3，则以点 A 为圆心，
AF 为半径的圆截 x 轴所得弦长为___________．
【答案】 2 5
【解析】由题意，抛物线 2 4x y ，可得焦点 (0, 1)F ，
设 0 0( , )A x y ，根据抛物线的定义，可得 0 1 3AF y ，解得 0 2y ，
即 A 到 x 轴的距离为 2d ，
所以圆截 x 轴所得弦长为 2 2 2 22 2 3 2 2 5R d ，
故答案为 2 5 ．
15．已知 , 0x y R ，则 221( ) 2x x yy
最小值为________．
【答案】4
【解析】 221( ) 2x x yy
看作两点 ( , )A x x ， 1( ,2 )B yy
之间距离的平方，
点 A 在直线 y x 上，点 B 在曲线 2 , 0y xx
上，
2
2 2( )y x x
，令 2
2 1x
，解得 2x ，取点 ( 2, 2)B ，
所以 | 2 2 || | 2
2
AB ， 2| | 4AB ，即 221( ) 2x x yy
最小值为 4．
16．若用一个棱长为 6 的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面
上，
并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为________，体积的最大值为
_________．
【答案】 2 6
3
，8 2
【解析】如图，正四面体 ABCD 的内接正三棱柱 1 1 1DEF D E F ，
首先 , ,D E F 三个顶点必在正四面体的三条棱上，才能使得三棱柱体积最大，
正四面体 ABCD 棱长为 6，则高为
2
2 36 6 2 63AM
，
设正三棱柱高为 h ，底面边长为 a ，
因为平面 DEF∥平面 BCD ，所以 2 6
6 2 6
a h ， 6 (2 6 )2a h ，
2 2 23 3 6 3 3(2 6 ) (2 6 )4 4 4 8DEFS a h h △ ，
23 3 3 3(2 6 ) 2 (2 6 ) (2 6 )8 16DEFV S h h h h h h △
3
3 3 2 2 6 2 6 8 216 3
h h h
，
当且仅当 2 2 6h h ，即 2 6
3h 时等号成立．
则所制作的正三棱柱模型的高为 2 6
3
，体积的最大值为8 2 ．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（10 分）在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 cos3 sin 3 tan
b Cc B a B
．
（1）若 π
4B ， 6 2c ，求 ABC△ 的面积；
（2）若
2
6cos2 6a Bc
，求角C ．
【答案】（1） 3 3 ；（2）
12
πC 或 7π
12C ．
【解析】在 ABC△ 中，由正弦定理得
sin sin sin
a b c
A B C
，且 sintan cos
BB B
，
cos3 sin 3 tan
b Cc B a B
，
cos3 sin 3 tan
b Cc B aB
转化为 3 sin sin cos cos sinB C C B A ，
所以 3cos sinB C A ，
而 πA B C ，所以 3cos sinA A ，即 tan 3A ，
A 为 ABC△ 内角， 0 πA ， π
3A ．
（1） π
4B ， 5π
12C ，
由正弦定理得
sin sin
b c
B C
， 2 2b ，
1 1 πsin 2 2 6 2 sin 3 32 2 3bc A ，
ABC△ 的面积为 3 3 ．
（2）由
2
6cos2 6a Bc
，得
2
2
212sin B a
c
，
在 ABC△ 中，由正弦定理得
sin sin sin
a b c
A B C
，且 π
3A ，
1sin sin 4B C ，
2 π3B C ， 22π 1 3 1sin sin sin sin cos3 2 2 4C C C CC
，
1 3 11 cos2 sin24 4 4C C ，
cos2 3sin2C C ，得 3tan2 3C ，
4π2 0, 3C ， π2 6C 或 7π2 6C ，
1
π
2C 或 7π
12C ．
18．（12 分）已知各项为正数的数列 na ，其前 n 项和为 nS ， 28 2 1n nS a ，且 1 1a ．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 1 2 3 1
1 2 2 13 3 3 3 3n
n n
n n na a aT a a
，求 nT ．
【答案】（1） na n ；（2）
23 6 9
4
n
n
nT
．
【解析】（1）由 28 2 1n nS a ，得 2
1 18 2 1n nS a ，
将以上两式相减，可得 2 2
1 18 2 1 2 1n n na a a ，
则 2 2
12 1 2 1 0n na a ，所以 1 12 2 2 2 2 0n n n na a a a ，
由于数列的各项均为正数，所以 1 1n na a ，
又 1 1a ，所以 na n ．
（2）由题意可得 1 2 3 13 1 3 2 3 2 3 1 3n
n nn n nT ①，
则 2 3 4 13 1 3 23 3 2 3 1 3n
n nn n nT ②，
由②–①可得 2 3 4 12 3 3 3 3 3 3n n
nT n K
2 23 1 3 3 93 31 3 2
n n
n n
，
则
23 6 9
4
n
n
nT
．
19 ．（ 12 分 ） 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 4 的 菱 形 ，
PB BD PD 4 2 ， 4 3PA ．
（1）证明： PC 平面 ABCD ；
（2）如图，取 BC 的中点为 E ，在线段 DE 上取一点 F 使得 2
3
DF
FE
，求二面角 F PA C
的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2） π
6
．
【解析】（1）因为 4AB AD ， 4 2BD ，所以 2 2 2AB AD BD ，所以 AB AD ，
又因为 ABCD 为平行四边形，所以 AB BC ， AD DC ，
因为 4AB ， 4 2BP ， 4 3PA ，所以 2 2 2AB BP AP ，所以 AB BP ，
因为 PB BC BI ，所以 AB 平面 BPC ，所以 AB CP ，
因为 4AD ， 4 2DP ， 4 3PA ，所以 2 2 2AD DP AP ，所以 AD DP ，
因为 PD DC D ，所以 AD 平面 PCD，所以 AD CP ，
因为 AD AB A ，所以 PC 平面 ABCD ．
（2）由（1）知，CD ，CB ，CP 两两垂直，分别以 CD ，CB ，CP 所在的直线为 x ， y ，
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在三角形 PBC 中， 2 2 4PC PB BC ，
则 4,4,0A ， 0,4,0B ， 0,0,0C ， 4,0,0D ， 0,2,0E ， 0,0,4P ，
所以 4,2,0DE ，
因为 2
3
DF
FE
， 2 , ,05
4
5 5
8DF DE
， 18 ,05 5
6,AF AD DF
，
4,4, 4PA ，
设平面 PAF 的一个法向量为 , ,x y zm ，
则 0
0
AF
PA
m
m
，即 05 5
4
8
4 4 0
16x y
x y z
，
令 1y ，得 2x ， 1z ，于是取 2,1, 1 m ，
又由（1）知，底面 ABCD 为正方形，所以 AC BD ，
因为 PC 平面 ABCD ，所以 PC BD ，
因为 AC PC C ，所以 BD 平面 ACP ，所以 4, 4,0BD 是平面 PAC 的一个法向
量，
设二面角 F PA C 的大小为 ，则 3
2
12cos cos ,
6 32
BD
BD
BD
m
m
m
，
所以二面角 F PA C 的大小为 π
6
．
20．（12 分）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组
成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投
篮两次，每小组投进的次数之和不少于 3 次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球
的概率为别为 1p ， 2p ．
（1）若 1
3
4p ， 2
2
3p ，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若 1 2
4
3p p ，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号 16 次，则理
论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时 1p ， 2p 的值．
【答案】（1） 2
3
；（2）理论上至少要进行 27 轮游戏， 21
2
3p p ．
【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中 1 次，乙投中 2 次；
②甲投中 2 次，乙投中 1 次；
③甲投中 2 次，乙投中 2 次．
故所求概率 1 2 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2
3 1 2 2 3 3 2 3 3 2 2 2C C C C 1 C C4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 34P
．
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为
2 2 2 21 2 2 1 2 2
2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2C C C C1 C1 CP p p p p p p p p
2 2
1 2 1 2 1 22 3p p p p p p ，
因为 1 2
4
3p p ，所以 2 2
1 2 1 2
8 33P p p p p ，
因为 10 1p ， 20 1p ， 1 2
4
3p p ，所以 1
1 13 p ， 2
1 13 p ，
又
2
1 2
1 2
4
2 9
p pp p
，所以 1 2
1 4
9 9p p ，
令 1 2t p p ，以 1 4
9 9t ，则 2 8( ) 3 3P h t t t ，
当 4
9t 时， max
16
27P ，他们小组在 n 轮游戏中获“神投小组”次数 满足 ~ ( , )B n p ，
由 max( ) 16np ，则 27n ，所以理论上至少要进行 27 轮游戏．
此时 1 2
4
3p p ， 1 2
4
9p p ， 21
2
3p p ．
21．（12 分）已知直线 3 3 0x y 经过椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0a b )左顶点和上顶点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若 A 、 B 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线 3y x 上存
在一点 P ，使得三角形 PAB为正三角形，求 AB 所在直线的方程．
【答案】（1）
2
2 13
x y ；（2） 0y 或 0x y ．
【解析】（1）因为直线 3 3 0x y 与 x 轴交于点 3,0 ，与 y 轴交于点 ,10 ，
又直线 3 3 0x y 经过椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0a b )左顶点和上顶点，
可得 3a ， 1b ，椭圆C 的方程为
2
2 13
x y ．
（2）设 1 1( , )A x y ，则 1 1,( )B x y ，
当直线 AB 的斜率为 0 时， AB 的垂直平分线就是 y 轴，
y 轴与直线 : 3 0l x y 的交点为 (0,3)P ，
∵| | 2 3AB ， 3PO ，∴ 60PAO ，
∴ PAB△ 是等边三角形，∴直线 AB 的方程为 0y ；
当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设 AB 的方程为 y kx ，
代入椭圆方程消去 y ，得 2 2(3 1) 3k x ，
∴ 1 2
3
3 1x k
，则
2
2
2 2
3 3 31 3 1 3 1
kAO k k k
，
设 AB 的垂直平分线为 1 y xk
，它与直线 : 3 0l x y 的交点记为 0 0 )( ,P x y ，
∴ 0
3
1
kx k
， 0
3
1y k
，则
2
2
9 9
( 1)
kPO k
，
∵ PAB△ 为等边三角形，∴应有 3PO AO ，
代入得到
2 2
2 2
9 9 3 33( 1) 3 1
k k
k k
，解得 0k (舍)或 1k ，
此时直线 AB 的方程为 y x ，
综上，直线 AB 的方程为 0y 或 0x y ．
22．（12 分）已知函数 21( ) 2f x x ax ．
（1）若 ( ) lng x f x x a x ，讨论 ( )g x 的单调性；
（2）已知 ( ) 2 ln 4 2h x f x x x a ，若方程 ( ) 0h x 在 1 ,2
有且只有两个解，求
实数 a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） 1 9 ln2,2 20 10
．
【解析】（1）依题可得 21( ) 1 ln2g x x a x a x ，
函数 ( )g x 的定义域为 (0, ) ，
所以
2 ( 1) ( 1)( )( ) ( 1) a x a x a x x ag x x a x x x
．
当 0a 时，由 ( ) 0g x ，得 1x ，则 ( )g x 的减区间为 (0,1) ；
由 ( ) 0g x ，得 1x ，则 ( )g x 的增区间为 (1, ) ．
当 0 1a 时，由 ( ) 0g x ，得 1 a x ，则 ( )g x 的减区间为 ( ,1)a ；
由 ( ) 0g x ，得 x a 或 1x ，则 ( )g x 的增区间为 (0, )a 和 (1, ) ．
当 1a 时， ( ) 0g x ，则 ( )g x 的增区间为 (0, ) ．
当 1a 时，由 ( ) 0g x ，得1 x a ，则 ( )g x 的减区间为 (1, )a ；
由 ( ) 0g x ，得 1x 或 x a ，则 ( )g x 的增区间为 (0,1) 和 ( , )a ．
（2） 2( ) 2 ln 4 2 2 ln 4 2h x f x x x a x ax x x a ．
( )h x 在 1 ,2
上有两个零点，即关于 x 方程
2 ln 22 2
x x xa x
在 1 ,2
上有两个不相
等的实数根．
令
2 ln 2( ) 2
x x xt x x
， 1 ,2x
，则
2
2
3 2ln 4( ) ( 2)
x x xt x x
．
令 2( ) 3 2ln 4p x x x x ， 1 ,2x
，则 (2 1)( 2)( ) x xp x x
，
显然 ( ) 0p x 在 1 ,2
上恒成立，故 ( )p x 在 1 ,2
上单调递增．
因为 (1) 0p ，所以当 1 ,12x
时，有 ( ) 0p x ，即 ( ) 0t x ，所以 ( )t x 单调递减；
当 [1, )x 时，有 ( ) 0p x ，即 ( ) 0t x ，所以 ( )t x 单调递增．
因为 1 9 ln 2
2 10 5t
， (1) 1t ， 4 1(4) 3 ln 23 2t t
，
所以 a 的取值范围是 1 9 ln2,2 20 10
．
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