重庆市 2020-2021 学年下期高 2021 届七校三
诊数学试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（改编） }16|{},62|{ 2 xZxBxxA ，则 BA （ ）
A． }3,2{ B． }4,3,2{ C． }2{ D． }3{
2．若 ,a b R ，则“ 4ba ”是“ 4ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件件 D．既不充分也不必要条件
3．（改编）以下四个命题中：
①回归分析中，可用相关指数 R2 的值判断模型的拟合效果，R2 越大，模拟的拟合效果越好；
②两个随机变量的线性相关越强，相关系数的绝对值越接近于 1；
③若数据 x1，x2，x3，…，xn 的方差为 1，则 2x1，2x2，2x3，…，2xn 的方差为 2；
④对分类变量 x 与 y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越大，判断“x 与 y 有关系”的把握程度
越大．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（改编）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A ， B ， C 三个农
业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只
能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为
（ ）
A． 1
4
B． 8
27
C． 2
9
D． 1
6
5．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：
设三角形的三条边长
分别为 a ､ b ､ c ，则三角形的面积 S 可由公式 ( )( )( )S p p a p b p c 求得，其中 p 为
三角形周长的一半，这
个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 3a ， 5b c ，则此三角
形面积的最大值为（ ）
A． 3
2 B．3 C． 7 D． 11
6．18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算
具有了几何意义，例如： OZz ，也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到坐标原点
的距离．在复平面内，复数 0
2
1
a iz i
（i 是虚数单位，aR ）是纯虚数，其对应的点为 0Z ，
Z 为曲线 1z 上的动点，则 0Z 与 Z 之间的最小距离为（ ）
A． 1
2 B．1 C． 3
2 D．2
7．（改编）已知函数 2 1xf x x ， 2log 1g x x x ， 3 1h x x x 的零点分
别为 a ，b ， c ，则 a ，b ， c 的大小为( )
A． c b a B．b c a C． c a b D． a c b
8．(原创) 已知抛物线 ： 2 4y x ，过点 (2,0)M 作两条斜率为 1k ， 2k 的直线与抛物线 的
准线l 分别相交于点 1M ， 2M ．分别过 1M ， 2M 作l 的垂线交抛物线 于点 P ，Q ，当
1 2
1
4k k 时，则点 (2,0)M 到直线 PQ 的距离的最大值是( )
A． 1 B． 8
21
C．
16
23 D． 9
4
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分。部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．（改编）已知函数 sinf x x （ 0 ，
π2
），其图象相邻两条对称轴之间的距
离为
4
，且
12
fxf 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 f x 在 0, 4
的取值范围是 1 ,12
B．函数 f x 在区间 ,6 12
π π
上单调递增
C．点 5 ,024
π
是函数 f x 图象的一个对称中心
D．将函数 f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象
向左平移
6π
个单位长度，可得到 sin2g x x 的图象
10．（改编）设 F1，F2 分别为双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线右支
上任一点，若|PF1|2
|PF2|
的最小值为 8a，则该双曲线离心率 e 的取值可以是( )
A．1 B． 2 C．3 D．4
11．（改编）已知 a ，b 为正实数，且 +2 6ab a b ，则（ ）
A． ab 的最大值为 2 B． 2a b 的最小值为 4
C． a b 的最小值为 3 D． 1 1
1 2a b
的最小值为 2
2
12． 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，M N、 分别为 BC CD、 的中点，将正方形沿对角线
AC 折起，使点 D 不在平面 ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A. 异面直线 AC 与 MN 所成的角为定值
B. 存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直
C. 三棱锥 N ACM 与 B ACD 体积之比值为定值
D. 四面体 ABCD 的外接球体积为 2
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．二项式 2
2
n
x
x
的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中含 x
项的系数是____．
14．已知 2sin 6 3
，则sin 26
________．
15．已知 ABC 是边长为1 的等边三角形，点 D 、 E 分别是边 AB 、 BC 的中点，连接 DE 并
延长到点 F ，使得 2DE EF ，则 AF BC
的值为_________.
16．已知定义在 R 上的函数 1 3y f x 是奇函数，当 1,x 时，
1 31f x x x
，则不等式 3 ln 1 0f x x 的解集为__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知数列 na 是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前 n 项和为 nS ， 1 5 81a a ， 2S 、
3a 、 4 3a S 依次成等差数列．
（1）求数列 na 的通项公式；（2）若______，求 n na b 的前 n 项和 nP ，并求 nP 的最小值．
从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．
①数列 nb 满足： 1
1
2b ， 13 2n n
nb bn
（ *nN ）；
②数列 nb 的前 n 项和 2
nT n （ *nN ）；
③数列 nb 的前 n 项和 nT 满足： 6 5n nT b （ *nN ）．
注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．
18．（本小题满分 12 分）
已知函数 2 7( ) 2cos sin 2 1( )6f x x x x R
．
（1）求函数 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2 在 ABC 中，内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 1( ) 2f A ，若 2b c a ，
且 6AB AC
，求 a 的值．
19.（改编）（本小题满分 12 分）
国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定 46
个重点城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达 35%以上．截至 2019
年底，这 46 个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近 %70 ．某市在实施垃圾分
类之前，从本市人口数量在两万人左右的 320 个社区中随机抽取 50 个社区，对这 50 个社区
某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人
左右的社区产生的垃圾数量超过 28(吨/天)的确定为“超标”社区：
（1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这 50 个社区这一天
产生的垃圾量的平均值 x (精确到 1.0 )；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量 X 大致服从正态分布
2,N ，其中 ， 2 分别近似为（1）中样本的平均值 x ，方差 2s ，经计算 s 约为 5.2．请
利用正态分布知识估计这 320 个社区一天中“超标”社区的个数；
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的 50 个社区中这一天共有 8 个“超标”社区，
市政府决定对这 8 个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这 8 个“超标”社区中
随机抽取 5 个进行跟踪调查，设Y 为抽到的这一天产生的垃圾量至少为 30.5 吨的社区个数，
求Y 的分布列与数学期望．
附：若随机变量 X 服从正态分布 2,N ，则
6827.0 Xp , 9545.022 Xp ，
垃
圾
量
X
5.155.12 ， 5.185.15 ， 5.215.18 ， 5.245.21 ， 5.275.24 ， 5.305.27 ， 5.335.30 ，
频
数
5 6 9 12 8 6 4
9974.033 Xp
20.（原创）（本小题满分 12 分）
如 图 正 三 棱 柱 ' ' 'ABC A B C 的 所 有 棱 长 均 为 2 ， E F G H、 、 、 分 别 是 棱
' ' 'AA AB AC B C、 、 、 的中点.
（1）求证： ' '/ /B C EFG面 ；（2）求三棱锥 H EFG 的体积；
（3）求二面角 E FG H 的余弦值．
21.（改编）（本小题满分 12 分）
椭圆C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点为 (1,0)F ，过 F 的直线l 与椭圆交于 A 、 B 两点，
当 F 是 AB 的中点时， AB 3．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 在点 A 、 B 处的切线交于点 N ，O 为坐标原点，求证：直线 ON 平分线
段 AB ．
附：椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程为 0 0
2 2 1x x y y
a b
．
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 lnf x x x ax b 在 1, 1f 处的切线方程为 2 2 1 0x y .
（1）求 f x 的单调区间与最小值；
（2）求证： sin 1ln cosx xe x x x
．
2020-2021 学年下期高 2021 届七校三诊数学试卷答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C
8.解析：设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，直线 :PQ x my a ，
2 4y x
x my a
2 4 4 0y my a ， 1 2 4y y a ．
1 2
1 2
1
3 3 4
y yk k
4 1
9 4
a 9
16a ，
所以直线 PQ 过定点 9 ,016N
，则 M 到直线 PQ 的距离 23| | 16d MN ，
当 PQ MN 即 1
1
2k ， 2
1
2k 或 1
1
2k ， 2
1
2k 取等号．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分。部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．AC 10．BC 11.ABD 12. ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．
2
15 14．
9
1 15． 1
8 16． 1,0 1,
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）设数列 na 的公比为 q ，则由 0na ， 1 5 81a a ，所以 2
3 81a ，
因为 0na ，所以 3 9a ， ．．．．．．．1 分
因为 2S ， 3a ， 4 3a S 成等差数列，所以 3 2 4 32a S a S ，
即 3 43a a ，所以 4
3
3aq a
， ．．．．．．．2 分
所以 1 1a ， ．．．．．．．．．．．．．3 分
所以 13n
na ．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
（2）选择①：因为 1
1
2b ， 13 2n n
nb bn
（ ），所以 1 1
3 2
n
n
b n
b n
（ n N ）， ．．．5
分
所以 2
1
1 1
3 3
b
b
； 3
2
1 2
3 4
b
b
； 4
3
1 3
3 5
b
b
；……；
1
1 1
3 1
n
n
b n
b n
；
32
1
1 2 1
1 2
3 1
n
n
n
b bb
b b b n n
．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
所以 1
1 1
3 1n nb n n ，当 1n 时也成立 ．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
所以
1 1 1
1 1
n n nc a b n n n n ，．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
所以 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1
n
nP n n n n
，．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
因为 nP 是递增的，
所以 nP 的最小值为 1
1
2P ，．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
选择②：由 2
nT n 可知：当 1n 时， 1 1 1b T ， ．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
当 2n 时， 22
1 1 2 1 n n nb T T n n n ，．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
验证当 1n 时亦满足此关系，
所以 2 1nb n ．．．．．．．．7 分
所以 12 1 3n n
n
n nc a b
所以 2 11 1 3 3 5 3 2 1 3 n
nP n
2 33 1 3 3 3 5 3 2 1 3 n
nP n ，．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
两式相减得：
2Pn 112 3 3 32 2 33 2 3n1 2n1 3n
6 2 31 2 1 31 3
n
nn
所以 Pn n1 3n 1，．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
因为 nP 是递增的，所以 nP 的最小值 1 1P ，．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
选择③：当 n1 时， 1 16 5T b ，即 b1 1．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
当 2n
时，因为 6 5n nT b n N ，所以 1 16 5n nT b ，
两式相减得 1 16 0n n n nT T b b ，即 15 0n nb b （ 2n ），
由于 1 0b ，故 0nb
所以
1
1
5
n
n
b
b
（ n 2 ）．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
所以数列 nb 是以 1 为首项， 1
5
为公比的等比数列，
所以 11
5
n
nb
，．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
所以 13
5
n
n n nc a b
，
所以 Pn
1 3
5
n
1 3
5
5
8 1 3
5
n
，．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
当 n 为奇数时，由于 3 05
n
，故 Pn 5
8
；
当 n 为偶数时，由于 3 05
n
，故 Pn 5
8 ，
由 Pn 5
8 1 3
5
n
在 n为偶数时单调递增，
所以当 2n 时， nP 的最小值为 5
8
16
25
2
5
．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
18．【解析】（1） 7( ) sin( 2 ) cos26f x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
1 3 1 3cos2 sin2 cos2 cos2 sin22 2 2 2x x x x x ．．．．．．．．．．．．．．2 分
sin(2 )6x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3
分
函数 ( )f x 的最小正周期 2
2T . ．．．．．．．．．．．．．．4 分
由 2 2 22 6 2k x k （ k Z），
可解得
3 6k x k （ k Z ） ．．．．．．．．．．．5 分
( )f x 的单调递增区间为 ,3 6k k
（ k Z）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
（2）由 1( ) sin(2 )6 2f A A ，
可得 2 26 6A k 或 52 26 6A k （ k Z ）．．．．．．．7 分
(0, )A ，
3A ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
1cos 62AB AC bc A bc
12bc ．．．．．．．．．．．．．9 分
又 2a b c ，
2 2 2 2 21 ( ) 4cos 1 1 12 2 24 8
b c a a a aA bc
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 分
2 3a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
19．【解析】解：（1）由频数分布表得
14 5 17 6 20 9 23 12 26 8 29 6 32 4 22.76 22.850x
所以这 50 个社区这一天产生的垃圾量的平均值为 22.8 吨．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
（2）由（1）知 22.8 ，因为 s 约为 5.2，所以取 5.2 ．
所以 1 0.682728 0.158652p x p x ．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
又320 0.15865 50.768 51 ，
所以估计这 320 个社区一天中“超标”社区的个数为 51．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
（3）由频数分布表知：8 个“超标”社区中这一天产生的垃圾量至少为 30.5 吨的社区有 4 个，
所以 Y 的可能取值为 1，2，3，4，．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
1 4
4 4
5
8
11 14
C Cp Y C
,
2 3
4 4
5
8
32 7
C Cp Y C
,
3 2
4 4
5
8
31 7
C Cp Y C
，
4 1
4 4
5
8
14 14
C Cp Y C
．．．．．．．．．．．．．．．．．10
分
所以 Y 的分布列为
Y 1 2 3 4
P 1
14
3
7
3
7
1
14
所以 5
2E Y ．．．．．．．．．．12 分
20.【解析】证明：（1） BCCBCBAABC //''''' 是三棱柱
又 FGBCGCAGFBAF //,
EFGCBEFGFGFGCB 面面 '',,//''
EFGCB 面//'' ………………………………3 分
（2）由（1） '' EFBGEFGBEFGH VVV …………………5 分
hSV EFBEFBG '' 3
1 ， 的距离到平面是点 '' AABBGh ，
2
3h …………………6 分
4
3
2
3112
121223
1
'
EFBGV …………………7 分
（1）设二面角的 HFGEBFGHAFGE 、、 的平面角分别为 、、
则 ， coscossinsin)cos()cos(cos
…………………8 分
过点 A 作 ERRFGAR 连接于 , 易证 ARE ，可得
7
3cos,
7
2sin
类似的方法可得
19
4sin,
19
3cos ………………10 分
133
1335
133
5
7
3
19
3
19
4
7
2cos ………………11 分
所以二面角 HFGE 的余弦值为
133
1335 ………………12 分
21.【解析】（1）解：当 F 是 AB 的中点时， AB ⊥ x 轴，
22 3bAB a
，
又 2 21c a b ，解得 2a （舍负）， 3b ，．．．．．．．．．3 分
所以椭圆的方程为
2 2
14 3
x y ．．．．．．．．．．4 分
（2）证明：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， AB 的中点为 0 0( , )M x y ，
由题知， AB 的斜率不为 0，故可设 AB ： 1x my ，
则椭圆C 在点 A 处的切线为 1 1 14 3
x x y y ，在点 B 处的切线为 2 2 14 3
x x y y ，
故 2 1 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
4( ) 4( ) 4( 1) ( 1)N
y y y yx x y x y my y my y
，．．．．．．．．8 分
将 4Nx 代入两切线方程得 1
1 13
y yx ， 2
2 13
y yx ，
两式相减得 1 2
1 2
( ) 03
y y yx x ，即 1 2
1 2
3( ) 3x xy my y
，
故 (4, 3 )N m ，所以 3
4ON
mk ，．．．．．．．．．10 分
由点 A ， B 在椭圆上可得
2 2
1 1 14 3
x y ，
2 2
2 2 14 3
x y ，
两式相减得
2 2 2 2
1 2 1 2 04 3
x x y y ，整理得 3
4OM
mk ，
所以 OM ONk k ，即 ON 经过线段 AB 的中点 M，所以直线 ON 平分线段 AB．．．．．．．．12 分
22．【解析】（1） 1 lnf x x a ，故 1 1 1f a ，得 0a ，又 2 2 1 1 0f ，
所以 11 2f a b ，得 1
2b .则 1ln 2f x x x ， 1 lnf x x ，
当 10,x e
时， 0,f x f x 单调递减；当 1 ,x e
时， 0,f x f x 单调递增，
所以
min
1 1 1
2f e e
...........................................................................4 分
（2）令 sin , 0g x x x x ， 1 cos 0g x x ， g x 递增，
所以 0 0g x g ，所以当 0x 时， sinx x ，
令 1, 0xh x e x x ， 1 0xh x e ， h x 递增，
0 0h x h ，所以当 0x 时， 1xe x ，
要证 sin 1ln cosx xe x x x
，由 1 cos 1, sinx x x ，及 1xe x 得，
sin 1 1ln 1 ln ,cos 1 1x xe x x x x x x
，故原不等式成立，只需证
11 ln 2x x x
，
即证 2 1 ln 0x x x x .由（1）可得 1lnx x e
，且 2 31 4x x ，
所以 2 3 11 ln 04x x x x e
，则原不等式成立................................12 分
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