专题02 数列（5月刊）（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

1 专题 02 数 列（解答题） 试题精选 1、（江苏省扬州市 2021 届高三第四次模拟考试试题）（本小题满分 10 分）已知等差数列 na 和等比数列 nb 满足： 1 1 1a b  ，且 2 1a  ， 3a ， 6 1a  是等比数列 nb 的连续三项． （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）设    1 21 log logn n n n nc a a b   ，求数列 nc 的前 10 项和 10T ． 【解析】 （1）设 na 公差为 d ，由题意知   2 2 6 31 1a a a   ∴    2 2 21 1 5 2 2 1 6 5 4 8 4d d d d d d d            3 1 0d d    ，显然 1d   ，∴ 3d  ∴ nb 公比 3 2 8 21 4 aq a    ∴  2 3 1 3 1na n n     ， 12 2 2n n nb    （2）     21 log 3 1 3 2n nc n n n           2 21 log 3 1 log 3 2n n n n               1 2 21 log 3 1 1 log 3 2n nn n n         ∴            1 2 2 3 10 11 10 2 2 2 2 2 21 log 2 1 log 5 1 log 5 1 log 8 1 log 29 1 log 32T                  11 101 2 10 1 5 592         2、（ 2021 届高三下学期模拟试卷（二））（本小题满分 12 分）已知数列 }{ na 的各项均为正数， 其前 n 项和为 nS ，且满足 2)1(4  nn aS ，若数列 }{ nb 满足 21 b ， 42 b ，且等式 11 2  nnn bbb ，对任 意 2n 成立． 2 (1)求数列 }{ na 的通项公式； (2)将数列 }{ na 与 }{ nb 的项相间排列构成新数列 ,,,,,,,, 2211  nn bababa 设该新数列为 }{ nc ，求 }{ nc 数列的通项公式和前 n2 项的和 nT2 ． 【解析】(1)由 2)1(4  nn aS ， 1n 时， 2 11 )1(4  aa ，解得 11 a ， ……………………………………………1 分 2n 时， 2 1 2 1 )1()1()(44   nnnnn aaSSa ， 化为： 0)2)(( 11   nnnn aaaa ， ……………………………………………3 分 因为数列 }{ na 的各项均为正数，所以 01  nn aa ， 所以 21  nn aa ， 所以数列 }{ na 为等差数列，首项为 1，公差为 2， 所以 .12)1(21  nnan …………………………………………………6 分 (2)数列 }{ nb 满足 4,2 21  bb ，且等式 11 2  nnn bbb 对任意 2n 成立， 所以数列 }{ nb 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 .2n nb  ………………………………………………………………………8 分 所以 ， …………………………………………………10 分 所以 .22 12 )12(2 2 )121( 12 2    n n n nnnT ……………………………12 分 3、（盐城市 2021 届高三年级第三次模拟考试）请在①a1＝ 2；②a1＝2；③a1＝3这 3 个条件中选择 1 个条 件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前 1 个评分)． 命题：已知数列{an}满足 an＋1＝an2，若 ，则当 n≥2 时，an≥2n 恒成立． 【解析】 选②． 证明：由 an＋1＝an2，且a1＝2，所以 an＞0， 所以 lgan＋1＝lgan，lgan＝2n－1lg2，an＝22 n－1 ， ……5 分 3 当 n≥2 时，只需证明2n－1≥n， 令 bn＝ n 2n－1，则 bn＋1－bn＝n＋1 2n － n 2n－1＝1－n 2n ＜0， ……10 分 所以 bn≤b2＝1，所以2n－1≥n 成立． 综上所述，当 a1＝2 且 n≥2 时，an≥2n 成立． ……12 分 注：选②为假命题，不得分，选③参照给分． 4、（南京市 2021 届高三年级第三次模拟考试）已知等差数列{an}满足：a1＋3，a3，a4 成等差数列，且 a1， a3，a8 成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）在任意相邻两项 ak 与 ak＋1(k＝1，2，…)之间插入 2k 个 2，使它们和原数列的项构成一个新的数列 {bn}．记 Sn 为数列{bn}的前 n 项和，求满足 Sn＜500 的 n 的最大值． 【解析】： (1)设数列{an}的公差为 d， 因为 a1＋3，a3，a4 成等差数列，所以 2a3＝a1＋3＋a4，即 2(a1＋2d)＝a1＋3＋a1＋3d， 解得 d＝3， ························································································· 2 分 因为 a1，a3，a8 成等比数列，所以 a32＝a1a8，即(a1＋6)2＝a1(a1＋21)， 解得 a1＝4， ························································································ 4 分 所以 an＝4＋3(n－1)＝3n＋1．·································································· 5 分 (2)因为 bn＞0，所以{Sn}是单调递增数列．·················································· 6 分 因为 ak＋1 前的所有项的项数为 k＋21＋22＋…＋2k＝k＋2k＋1－2， 所以 Sk＋2k＋1－2＝(a1＋a2＋…＋ak)＋2(21＋22＋…＋2k) ＝k(4＋3k＋1) 2 ＋2×2(1－2k) 1－2 ＝3k2＋5k 2 ＋2k＋2－4．·····················8 分 当 k＝6 时，S132＝321＜500；当 k＝7 时，S261＝599＞500．···························10 分 令 S132＋a7＋2(n－133)＜500，即 321＋22＋2(n－133)＜500，解得 n＜211.5． 所以满足 Sn＜500 的 n 的最大值为 211．····················································12 分 5、（山东日照市 2021 届高三年级模拟考试）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 2 2a a  ，当 2n  时， 1 1 2 1n n nS S S    ． （1）求证：当 2n  ， 1n na a  为定值； （2）把数列 na 和数列 2 na 中的所有项从小到大排列，组成新数列 nc ，求数列 nc 的前 100 项和 100T ． 4 【解析】： （1）当 2n  时， 3 1 22 1S S S   ， 即  1 2 3 1 1 22 1a a a a a a      ，得 3 3a  ， 当 2n  时，因为 1 1 2 1n n nS S S    ，所以 2 12 1n n nS S S    ， 两式相减得 2 12n n na a a   ，所以 2 1 1n n n na a a a     ， 所以 1n na a  是以 3 2a a 为首项，以 1 为公比的等比数列； 3 2 1a a  ，所以 1 1n na a   ， 所以 2, 1, , 2.n na n n    （2）数列 na 前 100 项为 2，2，3，4，5，…，100，数列 2 na 为 22 ， 22 ， 32 ， 42 ，…， 2n ， 所以数列 nc 前 100 项含有数列 2 na 的项为 22 ， 22 ， 32 ， 42 ， 52 ， 62 共六项， 所以 2 2 3 4 5 62 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 94nT              2 94 93128 2 45942      ． 6、（山东泰安 2021 届高三四模）已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 0na  ， 1 2 34S S S  . （1）求 na 的公比 q ； （2）对于 *Nn  ，不等式 21 17 62 n n a a n n tS      恒成立，求实数 t 的最大值. 【解析】 （1）由 1 2 34S S S  ，得 1 1 2 1 2 34a a a a a a     ，整理得 1 34a a ， 所以 2 1 14a a q ，因为 1 0a  ，所以 2 4q  ， 由题意得 0q  ，所以 2q  . （2）由（1）得    1 1 1 2 2 11 2 n n n a S a     ， 1 1 2n na a   5 所以 1 1 2 1 2 1 n n n n a a S    ，所以 1 22 1 17 62 1 2 n n n n t       ， 所以 1 22 1 1762 1 2 n nt n n      ， 令     1 22 1 2 1 17 16 32 1 2 2 2 n n nf n n n n           . 当 1n  时，   2 1 71 4 2 2 2f    ； 当 2n  时，   3 1 52 1 2 2 6f    ； 当 3n  时，  f n 递增，所以     13 14f n f   . 所以 1 14t   ，故实数 t 的最大值为 1 14  . 7、（山东省淄博市 2021 届高三数学二模试卷）.在① 䁕 ，② ， ， 成等比数列，③ 䁕 ．这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题． 问题：已知等差数列 的公差为 䁕䁕 ，前 项和为 ，且满足______． （1）求 ； （2）若 䁕 ，且 ，求数列 的前 项和 ． 注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分． 【解析】 （1）解：选择条件①② 由 䁕 ，得 × 䁕 䁕 ，即 䁕 ， 由 ， ， 成等比数列，得 ， 即 ，即 ， 解得 ， ，因此 ． 选择条件①③ 由 䁕 ，得 × 䁕 䁕 ，即 䁕 ； 由 䁕 ，得 䁕 ，即 ； 解得 ，因此 ． 选择条件②③ 由 ， ， 成等比数列，得 ， ， 即 ， 由 䁕 ，得 䁕 ，即 ， 6 解得 ，因此 ． （2）解：由 ， 可得 ， ͺ ， 当 时， 䁕 䁕 䁕 ͺ 䁕 ͺ 䁕 ͺ䁕䁕 ， 即 ，则 ， 当 时， ，符合 ， 所以当 时， ， 则 䁕 ， 因此 䁕 䁕 ． 8、（2021 年高考数学考前信息必刷卷（江苏专用一））在公比为 2 的等比数列{ }na 中, 2 3 4, , 4a a a  成等差 数列. （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若 2( 1)logn nb n a  ,求数列 2 4 2 n n b      的前 n 项和 nT . 【解析】 （1）因为 2a , 3a , 4 4a  成等差数列,所以 3 2 4 42 aa a   , 所以 1 1 18 2 8 4a a a   ,解得 1 2a  , 所以 2n na  . （2）因为 2n na  ,所以 2 2( 1)log ( 1)log 2 ( 1)n n nb n a n n n      , 所以 2 2 2 2 2 4 2 2(2 1) 1 12( 1) ( 1)n n n b n n n n         , 所以 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 1 2 22 2 3 ( 1)nT n n                      2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 1 2 2 3 ( 1)n n           . 7 2 12 1 ( 1)n      2 22 ( 1)n    . 9、（2021 年高考数学考前信息必刷卷（江苏专用二））由整数构成的等差数列 na 满足 3 1 2 45, 2a a a a  . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若数列 nb 的通项公式为 2n nb  ，将数列 na ， nb 的所有项按照“当 n 为奇数时， nb 放在前面； 当 n 为偶数时、 na 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列 nc ， 1b ， 1a ， 2a ， 2b ， 3b ， 3a ， 4a ， 4b ，……，求数列 nc 的前 4 3n  项和 4 3nT  . 【详解】 （Ⅰ）由题意，设数列 na 的公差为 d ， 因为 3 1 2 45, 2a a a a  ，可得     1 1 1 1 +2 =5 + =2 +3 a d a a d a d    ， 整理得 (5 2 )(5 ) 2(5 )d d d    ，即 22 17 15 0d d   ，解得 15 2d  或 1d  ， 因为 na 为整数数列，所以 1d  ， 又由 1 +2 =5a d ，可得 1 3a  ， 所以数列 na 的通项公式为 2na n  . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列 na 的通项公式为 2na n  ，又由数列 nb 的通项公式为 2n nb  ， 根据题意，新数列 nc ， 1b ， 1a ， 2a ， 2b ， 3b ， 3a ， 4a ， 4b ，……， 则 4 3 1 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2n n n n n n n nT b a a b b a a b b a a b b a a                        1 2 3 4 2 1 1 2 3 4 2 2n nb b b b b a a a a a                 2 1 1 2 2 1 22 1 2 (2 2) 4 2 9 51 2 2 n n na a n n n            .