陕西省宝鸡市2021届高三下学期大联考理科数学试题 解析版

2021 年高三联考试题 数学(理科) 一､选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 2 3 0 ,A x x x B N    ∣ ，则集合 A B  （ ） A. {0} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {1,2,3} 【答案】C 2. 已知 i 为虚数单位，纯虚数 z 满足 ( )i 1 iz a   ，则实数 a=（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 3. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九 百一十ﾆ人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面 若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这三面要征调 300 人，而北面共征调 108 人(用分层抽样的方法)， 则北面共有多少人（ ） A. 8000 B. 8100 C. 8200 D. 8300 【答案】B 4. 设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的实轴长与焦距分別为 2,4，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A. 3 3y x  B. 1 3y x  C. 3y x  D. 3y x  【答案】C 5. 函数   6 6 2, 0, log 12, 0 x xf x x x       的零点之和为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 6. 函数   cos 3 2f x x      的单调递增区间为（ ） A.  2 2,6 3 2 3 k k k         Z B.  ,6 3 2 3 k k k         Z C.  ,6 3 6 3 k k k          Z D.  2 2,6 3 6 3 k k k          Z 【答案】A 7. 设公差为质数的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 5 7 9 15a a a   ，则 15S 不可能为（ ） A. 120 B. 135 C. 180 D. 240 【答案】B 8. 已知两个单位向量 1 2,e e   的夹角为 60°，向量 1 22 ( 0)m te e t    ，则（ ） A. | |m t 的最大值为 3 2  B. | |m t 的最小值为-2 C. | |m t 的最小值为 3 2  D. | |m t 的最大值为-2 【答案】A 9. 已知不等式组 1 0, 0, 3 3 3 0 x kx y x y        … „ „ 表示的平面区域为等边三角形，则 3z x y  的最小值为（ ） A. 2 3 3 B. 1 3 3 C. 2 3 D. 1 3 【答案】D 10. 点 M 为圆    2 2: 2 1 1C x y    上任意一点，直线   1 3 1 2 2 5x y       过定点 P ，则 MP 的最大值为（ ） A. 2 3 B. 13 C. 2 3 1 D. 13 1 【答案】D 11. 已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 4，6，12，则该三棱锥的外接球的 表面积为（ ） A. 36π B. 52π C. 56π D. 224π 【答案】C 12. 抛物线 2 8y x 的焦点为 F，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y 是抛物线上的两点， 1 2 4 2 | |x x AB   ，则 ∠AFB 的最大值为（ ） A. 3  B. 2  C. 3 4  D. 5 6  【答案】B 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 tan 64      ，则 tan  ___________. 【答案】 5 7 14. 若 51a x     的展开式中 3 1 x 的系数为 1，则| |a  ___________. 【答案】 10 10 15. 在等差数列 na 中， 2 4a  ，且 31 a ， 6a ， 104 a 成等比数列，则公差 d  __________． 【答案】3 16. 若曲线 3 2y x ax＝ － 存在平行于直线 3 1y x＝－ ＋ 的切线，则 a 的取值范围为_________． 【答案】   , 3 3,   三､解答题：共 70 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在△ ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 14 sin 3 sin .tan 2 2 Ac B a C  . （1）求sin B ； （2）设 D 为 AB 边上一点，且 3BD AD ，若△ ABC 的面积为 24，求线段 CD 的长. 【答案】（1） 3sin 5B  .(2) 97 .2CD  18. 如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ABCD⊥平面 CDEF，四边形 CDEF 是边长为 2 的正方形，四边形 ABCD 是直角梯形，其中 BC / / AD，BC⊥CD，且 BC=CD= 1 2 AD. （1）证明：BE⊥DF； （2）求平面 ABF 与平面 CDEF 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 3 . 19. 抖音是一款音乐创意短视频社交软件，是一个专注年轻人的15 秒音乐短视频社区，用户可以通过这款 软件选择歌曲，拍摄 15 秒的音乐短视频，形成自己的作品．2018 年 6 月首批 25 家央企集体入驻抖音，一 调研员在某单位进行刷抖音时间的调查，若该单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16．现 采用分层抽样的方法从中抽取 7 人． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 7 人中有 3 人是抖音迷，4 人为非抖音迷，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的详细登记． ①用 X 表示抽取的 3 人中是抖音迷的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； ②设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工’’，求事件 A 发生的概率． 【答案】（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人；（2）①分布列详见解析，数学 期望为 9 7 ；（3） 6 7 ． 20. 已知函数 2 21( ) ( 1) 2 xf x x a e ax a x     ，其中 a e . （1）若 2a  ，求 ( )f x 的单调区间； （2）若 ( )f x 在 (1,2) 内只有一个零点，求 a 的取值范围. 【答案】（1） ( )f x 在(ln 2,2) 上单调递减，在 ( ,ln 2) ， (2, ) 上单调递增；（2） (0,1) . 21. 已知点  3,0F 是椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的一个焦点,点 13, 2M      在椭圆  C 上. （Ⅰ）求椭圆  C 的方程； （Ⅱ）若直线l 与椭圆  C 交于不同的 ,A B 两点,且 1 2OA OBk k   (  O 为坐标原点),求直线 l 斜率的取值范 围. 【答案】（1） 2 2 14 x y  （2）  1 ,0 1,4k      U 22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 1C ： 3y   ，圆 2C ：   2 21 1 2x y    ，以坐标原点为极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 1C ， 2C 的极坐标方程； （2）若直线 3C 的极坐标方程为  2 3 π  R ，设 3C 与 1C 、 2C 的交点为 M 、N（异于原点），求 2C MN△ 的面积． 【答案】（1） 1C 的极坐标方程为 sin 3    ； 2C 的极坐标方程为  2 sin cos    ；（2） 32 2  ． 23. 已知函数 ( ) | 1| | 2|f x x x    . （1）求不等式 f(x)≤2 的解集 M； （2）当 x∈M 时， 2| ( ) |f x a a  ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 3 2x x    ∣ … ；（2）(0，1).