第 25 讲 蝴蝶问题
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，已知圆 2 2: 2 36M x y ，点 2,0N ，Q 是圆 M 上任意一点，线段 NQ 的
垂直平分线与半径 MQ 相交于点 P ，设点 P 的轨迹为曲线 E 。
(1)求曲线 E 的方程；
(2)若 ,3,0 3,0A B ，设过点 9,T m 的直线 ,TA TB 与曲线 E 分别交于点 1 1 2 2, , ,C x y D x y ，其中
1 20, 0, 0m y y ，求证：直线 CD 必过 x 轴上的一定点。(其坐标与 m 无关)
【答案】(1)
2 2
19 5
x y ； (2) 证明见解析
【分析】
（1）由椭圆的定义可直接求出求曲线 E 的方程；（2）先求出直线 ,TA TB 的方程，再分别与椭圆
2 2
19 5
x y
联立方程组，求出 C D、 两点的坐标并写出直线 CD 的方程
【详解】
（1）∵ P 在线段 NQ 的垂直平分线上，∴ PQ PN
∴ 6PM PQ PM PN r MN
由椭圆的定义知点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点，6 为长轴长的椭圆
2, 3c a ，∴ 5b
曲线 E 的方程为：
2 2
19 5
x y 。
（2）点T 的坐标为 9,m
直线TA方程为： 0 3
0 9 3
y x
m
，即 312
my x ，
直线TB方程为： 0 3
0 9 3
y x
m
，即 36
my x 。
分别与椭圆
2 2
19 5
x y 联立方程组，同时考虑到 1 23, 3x x ，
解得：
2 2
2 2 2 2
3 80 3 2040 20, , ,80 80 20 20
m mm mC Dm m m m
.
当 1 2x x 时，直线 CD 方程为：
2
2 2
2 2
2 2 2 2
3 2020
20 20
40 20 3 80 3 20
80 20 80 20
mmy xm m
m m m m
m m m m
令 0y ，解得： 1x 。此时必过点 1,0K ；
当 1 2x x 时，直线 CD 方程为： 1x ，与 x 轴交点为 1,0K 。
所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 1,0K 。
【点睛】
本题主要考查利用定义法求椭圆的标准方程及圆锥曲线中的定点问题，计算量大，第二问难度大，是高考
压轴题。
2．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左､右顶点分别为点 A ， B ，且 AB 4 ，椭圆C 离心率为 1
2 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆C 于 M ， N 两点，直线 AM ， BN 的交于点Q ，
求证：点 Q 在直线 4x 上.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题知
2 2 2
2 4
1
2
a
c
a
a b c
，解方程即可得 2 4a ， 2 3b ，故椭圆C 的方程是
2 2
14 3
x y .
（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线 AM ，BN 的交点Q 的坐标是 4,3 .当直线斜率存在时，设直线
方程为 1y k x ， 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，进而联立方程结合韦达定理得
2
1 2 2
8
3 4
kx x
k
，
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x k
，直线 AM 的方程是 1
1
22
yy xx
，直线 BN 的方程是 2
2
22
yy xx
，进而计
算得 4x 时的纵坐标，并证明其相等即可.
【详解】
解：（1）因为 AB 4 ，椭圆C 离心率为 1
2
，
所以
2 2 2
2 4
1
2
a
c
a
a b c
，解得 2 4a ， 2 3b .
所以椭圆 C 的方程是
2 2
14 3
x y .
（2）①若直线 l 的斜率不存在时，如图，
因为椭圆 C 的右焦点为 1,0 ，所以直线 l 的方程是 1x .
所以点 M 的坐标是 31, 2
，点 N 的坐标是 31, 2
.
所以直线 AM 的方程是 1 22y x ，
直线 BN 的方程是 3 22y x .
所以直线 AM ， BN 的交点 Q 的坐标是 4,3 .
所以点Q 在直线 4x 上.
②若直线 l 的斜率存在时，如图.
设斜率为 k .所以直线 l 的方程为 1y k x .
联立方程组
2 2
1
14 3
y k x
x y
消去 y ，整理得 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k .
显然 0 .不妨设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
所以
2
1 2 2
8
3 4
kx x
k
，
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x k
.
所以直线 AM 的方程是 1
1
22
yy xx
.
令 4x ，得 1
1
6
2
yy x .
直线 BN 的方程是 2
2
22
yy xx
.
令 4x ，得 2
2
2
2
yy x
.
所以 1 21 2
1 2 1 2
6 1 2 16 2
2 2 2 2
k x k xy y
x x x x
1 2 1 2
1 2
6 1 2 2 2 1
2 2
k x x k x x
x x
分子 1 2 1 26 1 2 2 2 1k x x k x x
1 2 2 1 1 2 1 22 3 2 2 2 2k x x x x x x x x .
1 2 1 22 2 5 8k x x x x
2 2
2 2
2 4 12 5 82 83 4 3 4
k kk k k
2 2 2
2
8 24 40 24 322 03 4
k k kk k
.
所以点Q 在直线 4x 上.
【点睛】
本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设 1 1,M x y ，
2 2,N x y ，写出直线 AM 的方程是 1
1
22
yy xx
和直线 BN 的方程是 2
2
22
yy xx
，进而计算
得 4x 时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.
3．已知椭圆 C：
2
2
x
a
＋
2
2
y
b
＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 1
2
，点 P 31, 2
为椭圆上一点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN
的斜率为 k2，若 k1＝2k2，求直线 l 斜率的值．
【答案】（1）
2
4
x ＋
2
3
y ＝1；（2） 3
2 .
【分析】
(1)由椭圆的离心率,和点 P 31, 2
在椭圆上求出椭圆的标准方程;
(2) 由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y＝kx＋1, 设 M(x1，y1)，N(x2，y2), 联立方程
组消去 y,再将 k1＝2k2 用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线 l 的斜率.
【详解】
(1)因为椭圆的离心率为 1
2
，所以 a＝2c.
又因为 a2＝b2＋c2，所以 b＝ 3 c.
所以椭圆的标准方程为
2
24
x
c
＋
2
23
y
c
＝1.
又因为点 P 31, 2
为椭圆上一点，所以 2
1
4c
＋
2
9
4
3c
＝1，解得 c＝1.
所以椭圆的标准方程为
2
4
x ＋
2
3
y ＝1.
(2) 由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y＝kx＋1.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程组
消去 y 可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知 x1＋x2＝－ 2
8
3 4
k
k
，x1x2＝－ 2
8
3 4k .
因为 k1＝ 1
1 2
y
x ，k2＝ 2
2 2
y
x ，且 k1＝2k2，所以 1
1 2
y
x ＝ 2
2
2
2
y
x .
即
2
1
2
1 2
y
x
＝
2
2
2
2
4
2
y
x . ①
又因为 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
所以 2
1y ＝ 3
4 (4－ 2
1x )， 2
2y ＝ 3
4 (4－ 2
2x )． ②
将②代入①可得： 1
1
2
2
x
x
＝ 2
2
4 2
2
x
x
，即 3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以 3 2
8
3 4k
＋10 2
8
3 4
k
k
＋12＝0，即 12k2－20k＋3＝0.
解得 k＝ 1
6
或 k＝ 3
2
，又因为 k>1，所以 k＝ 3
2 .
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属
于中档题.
4．已知椭圆 E：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 1( 3, )2P
在椭圆 E 上.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设不过原点 O 且斜率为 1
2
的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM
与椭圆 E 交于 C，D，证明： MA MB MC MD ．
【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 a=2b，再将点 1( 3, )2P 代入椭圆方程，解方程组即可求解.
（2）设直线 l 的方程为 1 ( 0)2y x m m ，将直线与椭圆联立，利用韦达定理可得 M 点坐标为 ( , )2
mm ，
从而求出直线 OM 方程，将直线与椭圆联立，求出点 ,C D ，根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】
（1）由已知，a=2b.又椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
过点 1( 3, )2P ，
故
2 2
1
3 4 14b b
，解得 2 1b .
所以椭圆 E 的方程是
2
2 14
x y .
（2）设直线 l 的方程为 1 ( 0)2y x m m ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
由方程组
2
2 14
1
2
x y
y x m
得 2 22 2 2 0x mx m ，①，
方程①的判别式为 24(2 )m ，由 0 ，
即 22 0m ，解得 2 2m .
由①得 2
1 2 1 22 , 2 2 x x m x x m .
所以 M 点坐标为 ( , )2
mm ，直线 OM 方程为 1
2y x ，
由方程组
2
2 14
1
2
x y
y x
，得 2 2( 2, ), ( 2, )2 2C D .
所以 25 5 5( 2) ( 2 ) (2 )2 2 4MC MD m m m .
又 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 5[( ) ( ) ] [( ) 4 ]4 4 16MA MB AB x x y y x x x x
2 2 25 5[4 4(2 2)] (2 )16 4m m m .
所以 =MA MB MC MD .
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出 M 点坐标 ( , )2
mm ，考查了计算能力.
5．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yG a ba b
的离心率为 2 2
3
，且过 (0,1) 点.
（1）求椭圆 G 的方程；
（2）设不过原点O 且斜率为 1
3
的直线 l 与椭圆G 交于不同的两点 ,C D ，线段CD 的中点为 M ，直线OM
与椭圆G 交于 ,E F ，证明： MC MD ME MF .
【答案】（1）
2
2 19
x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 b=1， 2 2
3e ，结合 2 2 2a b c 解方程组即可求解；
（2）设直线 l 的方程为 1 ( 0)3y x m m ，将直线与椭圆联立，利用韦达定理可得 CD 中点 0 0( , )M x y ，
从而求出直线 OM 方程，将直线与椭圆联立，求出点 ,E F ，根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】
（1）根据题意：
2 2 2
2
2 2
33
1
1 2 2
c
aa
b a c b
b c
，
所以椭圆 G 的方程为
2
2 19
x y .
（2）设直线 l 的方程为： 1 ( 0)3y x m m
由
2
2 19
1
3
x y
y x m
消去 y 得：
2
2 19 9 03x x m
即 2 22 6 9 9 0x mx m ，
需 2 2=36 8(9 9) 0m m 即 20 2m ，
设 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y ， CD 中点 0 0( , )M x y ，则
2
1 2 1 2
93 , ( 1)2x x m x x m ，
1 2
0 0 0
3 1 1,2 2 3 2
x xx m y x m m ，
那么直线 OM 的方程为: 0
0
yy xx
即 1
3y x ，
由
2
2 3 21 29
1 2=3 2
x xy
y x y
，
不妨令 3 2 2 3 2 2( , ), ( , )2 2 2 2E F ，
那么 2 2
1 2 1 2
1 1 1| |= | | (1 ) ( ) 44 4 9MC MD CD x x x x
2 25 9( 3 ) 4 ( 1)18 2m m
25 (2 )2 m ，
2 2 2 23 3 2 2 3 3 2 2( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
m mME MF m m
2 25 55 2 5 5 2 52 2m m m m
2 2
2 2 2 25 5 55 (5 2 ) = 5 = (2 )2 2 2m m m m
，
所以 |MC|·|MD|=|ME|·|MF|.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理
可得 CD 中点 0 0( , )M x y ，从而求出直线 OM 方程，将直线与椭圆再次联立，求出点 ,E F ，考查了分析问
题、解决问题能力，以及计算能力.
6．如图，O 为坐标原点，椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
（ 0a b ）的焦距等于其长半轴长， ,M N 为椭圆C 的上、
下顶点，且| | 2 3MN
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点 0,1P 作直线 l 交椭圆C 于异于 ,M N 的 ,A B 两点，直线 ,AM BN 交于点T ．求证：点T 的纵
坐标为定值 3．
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）3
【分析】
（1）由| | 2 3MN 得 3b ，再根据焦距等于其长半轴长可求 ,a c ，故可得椭圆的方程.
（2）设直线方程为 1y kx ， 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
【详解】
解：（1）由题意可知： 2c a , 2 2 3b ，又 2 2 2a b c ，
有 3, 1, 2b c a ，故椭圆C 的方程为：
2 2
14 3
x y ．
（2）由题意知直线 l 的斜率存在，设其方程为 1y kx ，用 ,A B 的横坐标表示T 的纵坐标，再联立l 的方
程和椭圆的方程，消去 y 得 2 24 3 8 8 0k x kx ，利用韦达定理化简T 的纵坐标后可得所求的定值.
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y （ 1 2 0x x ），
联立直线方程和椭圆方程得 2 2
1
3 4 12 0
y kx
x y
，消去 y 得 2 24 3 8 8 0k x kx ，
1 2 2
8
4 3
kx x k
, 1 2 2
8
4 3x x k
，且有 1 2 1 2x x kx x ＝ ，
又 2
2
3: 3BN
yl y xx
， 1
1
3: 3AM
yl y xx
，
由
2
2
1
1
3 3
3 3
yy xx
yy xx
得 1 2
1 2
33
3 3
y xy
xy y
，
故 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1
1 3 (1 3)3
3 1 3 (1 3)
kx x kx x xy
xy kx kx x x
，整理得到
1 2 2
1 2
(1 3)3
2 3 (1 3) (1 3)
kx x xy
x x
，故 1 2 2
1 2
2 2(1 3)3 1
(1 3) (1 3)
kx x xy
x x
1 2 1 2 1 2
1 2
2 33
(1 3) (1 3)
kx x x x x x
x x
1 2 1 2
1 2 1 2
3 33 3
3
x x x x
x x x x
．
故点T 的纵坐标为 3．
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的
定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程，再把要求解的目
标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有 1 2 1 2,x x x x 或 1 2 1 2,y y y y ，最后
利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
7．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 1
2
，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线
6 0x y 相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线 l 与椭圆C 交于 P ，Q 两点（异于S ），直线 PS ，QS
分别交直线 4x 于 A ， B 两点. 求证： A ， B 两点的纵坐标之积为定值.
【答案】（Ⅰ）
2 2
14 3
x y ；（Ⅱ）详见解析.
【分析】
（Ⅰ）求出 , ,a b c 后可得椭圆方程.
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在，计算可得 A B， 两点的纵坐标之积为 9 .当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l
的方程为 ( 1)( 0)y k x k ， 1 1 2 2 1 2( ) ( )( 0)P x y Q x y x x , , , , ，则 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) 14 2( ) 4A B
x x x xy y k x x x x
，联立直线方
程和椭圆方程，消去 y 后利用韦达定理化简 A By y 后可得定值.
【详解】
解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 6 0x y 相切，
所以半径 b 等于原点到直线的距离 d ， 0 0 6
1 1
b d
，即 3b .
由离心率 1
2e ，可知 1
2
c
a
，且 2 2 2a b c ，得 2a .
故椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y .
（Ⅱ）由椭圆 C 的方程可知 (2 0)S , .
若直线l 的斜率不存在，则直线 l 方程为 1x ，
所以 3 31 12 2P Q
, , , .
则直线 PS 的方程为3 2 6 0x y ，直线QS 的方程为 3 2 6 0x y .
令 4x ，得 (4 3)A ,- ， (4 3)B , .
所以 ,A B 两点的纵坐标之积为 9 .
若直线l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ( 1)( 0)y k x k ,
由 2 2
( 1)
3 4 12 0
y k x
x y
得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k ，
依题意 0 恒成立.
设 1 1 2 2 1 2( ) ( )( 0)P x y Q x y x x , , , , ，
则
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12
3 4 3 4
k kx x x xk k
, .
设 (4 )AA y, (4 )BB y, ，
由题意 , ,P S A 三点共线可知 1
14 2 2
Ay y
x
，
所以点 A 的纵坐标为 1
1
2
2A
yy x
.同理得点 B 的纵坐标为 2
2
2
2B
yy x
.
所以 1 2
1 2
2 2
2 2A B
y yy y x x
2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) 14 2( ) 4
x x x xk x x x x
2 2 2
2
2 2 2
4 12 8 4 34 4 12 2 8 4(4 3)
k k kk k k k
2
2
94 4k k
9
综上， A B， 两点的纵坐标之积为定值.
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的
定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于 x 或 y 的一元二次方程，再把要求解的目
标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有 1 2 1 2,x x x x 或 1 2 1 2,y y y y ，最
后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题.
8．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
经过点 (0, 2)A ，离心率为 3
3
．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）经过点 (0,1)E 且斜率存在的直线 l 交椭圆于 ,Q N 两点，点 B 与点Q 关于坐标原点对称．连接
,AB AN ．求证：存在实数 ，使得 AN ABk k 成立．
【答案】（1）
2 2
16 4
x y （2）证明见解析
【分析】
（1）由点 (0, 2)A 可得 2b ,由 3
3
ce a
,根据 2 2 2a c b 即可求解；
（2）设直线 l 的方程为 1y kx ,联立 2 2
1
16 4
y kx
x y
可得 2 2(2 3 ) 6 9 0k x kx ,设 1 1 2 2( , ), ( , )Q x y N x y ,
由韦达定理可得 1 2 1 22 2
6 9,2 3 2 3
kx x x xk k
,再根据直线的斜率公式求得 QA ANk k ；由点 B 与点 Q
关于原点对称,可设 1 1( , )B x y ,可求得 AQ ABk k ,则 AQ ANAN
AB AQ AB
k kk
k k k
,即可求证.
【详解】
解:（1）由题意可知 2b , 3
3
ce a
,
又 2 2 2a c b ,得 6, 2a c ,
所以椭圆 M 的方程为
2 2
16 4
x y
（2）证明:设直线l 的方程为 1y kx ，
联立 2 2
1
16 4
y kx
x y
,可得 2 2(2 3 ) 6 9 0k x kx ,
设 1 1 2 2( , ), ( , )Q x y N x y ,
则有 1 2 1 22 2
6 9,2 3 2 3
kx x x xk k
,
因为 1 2
1 2
2 2,AQ AN
y yk kx x
,
所以
2
2 2 21 2 1 2 1 2
Q
1 2 1 2
2 2 3 ( ) 9 2 2 3 2A AN
y y k x x k x xk k k k kx x x x
,
又因为点 B 与点 Q 关于原点对称,所以 1 1( , )B x y ,即 1
1
2
AB
yk x
,
则有
2
1 1 1
2
1 1 1
2 2 4
AQ AB
y y yk k x x x
,由点Q 在椭圆
2 2
: 16 4
x yC 上,得 2 2
1 1
24 3y x ,所以
2
3AQ ABk k ,
所以
2 32
3
AQ ANAN
AB AQ AB
k kk
k k k
,即 3AN ABk k ，
所以存在实数 3 ,使 AN ABk k 成立
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力.
9．已知点 3(1, )2
A 在椭圆C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上， O 为坐标原点，直线 l ：
2 2
3 12
x y
a b
的斜
率与直线 OA 的斜率乘积为 1
4
（1）求椭圆C 的方程；
（2）不经过点 A 的直线l ： 3
2y x t （ 0t 且t R ）与椭圆C 交于 P ，Q 两点， P 关于原点的对称
点为 R （与点 A 不重合），直线 AQ ， AR 与 y 轴分别交于两点 M ， N ，求证： AM AN .
【答案】（Ⅰ）
2
2 14
x y （Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到
2
2
1
4OA l
bk k a
，得到 2 24a b ，再结合椭圆
所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得 2, 1a b ，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直
线 AQ ， AR 的斜率互为相反数，列式，可证.
【详解】
（Ⅰ）由题意，
2 2
1 22
3 2 1
2 43OA
b bk k aa
，
即 2 24a b ① 又 2 2
1 3 14a b
②
联立①①解得 2
1
a
b
所以，椭圆C 的方程为：
2
2 14
x y .
（Ⅱ）设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ， 1 1,R x y ，由
2
2
3
2
14
y x t
x y
，
得 2 23 1 0x tx t ，
所以 24 0t ，即 2 2t ，
又因为 0t ，所以， 2,0 0,2t ，
1 2 3x x t ， 2
1 2 1x x t ，
解法一：要证明 AM AN ，可转化为证明直线 AQ ， AR 的斜率互为相反数，只需证明 0AM ANk k ，
即证明 0AQ ARk k .
1 2
1 2
3 3
2 2
1 1AQ AR
y y
k k x x
1 2 2 1
1 2
3 31 12 2
1 1
y x y x
x x
∴
1 2 2 1
1 2
3 3 3 31 12 2 2 2
1 1
x t x x t x
x x
1 2 1 2
1 2
3 3
1 1
x x t x x
x x
2
1 2
3 1 3 3
01 1
t t t
x x
∴ 0AM ANk k ，∴ AM AN .
解法二：要证明 AM AN ，可转化为证明直线 AQ ，AR 与 y 轴交点 M 、N 连线中点 S 的纵坐标为 3
2
，
即 AS 垂直平分 MN 即可.
直线 AQ 与 AR 的方程分别为：
2
2
3
3 2: 12 1AQ
y
l y xx
， 1
1
3
3 2: 12 1AR
y
l y xx
，
分别令 0x ，得 2
2
3
32
1 2M
y
y x
， 1
1
3
32
1 2N
y
y x
而 2 1
2 1
3 3
2 2 31 1M N
y y
y y x x
，同解法一，可得 3M Ny y
3
2 2
M N
S
y yy ，即 AS 垂直平分 MN .
所以， AM AN .
【点睛】
该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直
线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.
10．椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
（ 0a b ）的左、右焦点分别为 1 2,F F ，M 在椭圆上， 1 2MF F 的周长为 2 5 4 ，
面积的最大值为 2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线 y kx （ 0k ）与椭圆C 交于 ,A B ，连接 2AF ， 2BF 并延长交椭圆C 于 ,D E ，连接 DE ，探
索 AB 与 DE 的斜率之比是否为定值并说明理由.
【答案】（I）
2
2: 15
xC y ；（II） : 9DEk k .
【分析】
I 利用 1 2MF F 的周长为 2 5 4 ，面积的最大值为 2.列出方程求出 a，b 即可得到椭圆方程．
II 设 0 0,A x y ，则 0 0, .B x y 直线 AD： 0
0
2 2xx yy
，代入 C：
2
2 15
x y ，结合
2
20
0 15
x y ，
代入化简得 2 2
0 0 0 09 4 4 2 0x y x y y y ，设 1 1 2 2, , ,D x y E x y ，利用韦达定理通过斜率关系，
化简求解即可．
【详解】
1 2 1 2 2 2 2 5 4I F F MF MF a c ，
1·2 · 22S c b bc ，
得 5, 2, 1a c b ，
所以椭圆 C 的方程为：
2
2 15
x y ．
II 设 0 0,A x y ，则 0 0, .B x y
直线 AD： 0
0
2 2xx yy
，
代入 C：
2
2 15
x y 得 2 2 2 2
0 0 0 0 02 5 4 2 0x y y x y y y ，
因为
2
20
0 15
x y ，代入化简得 2 2
0 0 0 09 4 4 2 0x y x y y y ，
设 1 1 2 2, , ,D x y E x y ，则
2
0
0 1
09 4
yy y x
，
所以 0
1
09 4
yy x
， 0
1 1
0
2 2xx yy
，
直线 0
0
2: 2xBE x yy
，
同理可得 0
2
09 4
yy x
， 0
2
0
2 22xx yy
．
所以
1 2 1 2 1 2
0 0 0 01 2 1 21 2
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0 1 2
1
2 2 22 ·
DE
y y y y y yk x x x xy y y yx x y y y yy y y y y y y y
0
0 0 0
0 0
1 9· 942 · 9
y kx x x
y y
，
所以 DEk ： 9k ．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
11．已知椭圆C 的方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
， 21, 2P
在椭圆上，椭圆的左顶点为 A ，左、右焦点
分别为 1 2F F、 ， 1PAF 的面积是 2POFV 的面积的 2 1 倍．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线 y kx （ 0k ）与椭圆C 交于 M ，N ，连接 1MF ， 1NF 并延长交椭圆 C 于 D ，E ，连接 DE ，
指出 DEk 与 k 之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
2
2 12
x y ;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可求得 2a ， 1b ，从而可得椭圆的方程．（2）设 0 0,M x y ，则 0 0,N x y ，可得直
线 MD 的方程为 0
0
1 1xx yy
，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，然后根据二次方程根与系数的关
系得到点 1 1,D x y 的坐标 0 0
1 1 1
0 0
1, 12 3
y xy x yx y
．同理可得点 2 2,E x y 的坐标
0 0
2 2 2
0 0
1, 12 3
y xy x yx y
，最后通过计算可得 3DEk k ．
【详解】
（1）由 1PAF 的面积是 2POF 的面积的 2 1 倍，可得 2 1a c
c
，即 2a c ，
又 2 2 2a b c ，
所以 b c ，
由 21, 2P
在椭圆上，可得 2 2
1 1 12a b
，
所以 1c ，
可得 2a ， 1b ，
所以椭圆 C 的方程为
2
2 12
x y ．
（2）设 0 0,M x y ，则 0 0,N x y ，
故直线 MD 的方程为 0
0
1 1xx yy
，
由
0
0
2
2
1 1
12
xx yy
x y
消去 x 整理得 2 2 2 2
0 0 0 0 01 2 2 1 0x y y x y y y ，
又
2
20
0 12
x y ，
代入上式化简得 2 2
0 0 0 02 3 2 1 0x y x y y y ，
设 1 1,D x y ， 2 2,E x y ，
则
2
0
0 1
02 3
yy y x
，
所以 0
1
02 3
yy x
， 0
1 1
0
1 1xx yy
．
又直线 NE 的方程为 0
0
1 1xx yy
，
同理可得 0
2
02 3
yy x
， 0
2 2
0
1 1xx yy
．
所以
，
所以 3DEk k ．
【点睛】
在解答直线和圆锥曲线位置关系的问题时，一般要遇到大量的运算，所以在解题时为了减少运算量要注意
合理运用“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少运算，提高解题的效率，尽量避免出现计算中的错
误．
12．已知椭圆 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
， 31, 2P
在椭圆上，离心率 1
2e ，左、右焦点分别为 1F 、
2F ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 ( 0)y kx k 与椭圆 C 交于 A，B 两点，连接 1 1,AF BF 并延长交椭圆 C 于 D、E 两点，连接 DE ，
求 DEk
k
的值．
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2） 5
3
DEk
k
．
【分析】
（1）由 P 在椭圆上，得到 2 2
1 9 14a b
，再根据 1
2e 和 2 2 2a b c ，求得 , ,a b c 的值，即可求解；
（2）设 0 0,A x y ，得到直线 0
0
1: 1xAD x yy
，联立方程组，结合
2 2
0 0 14 3
x y ，求得 0
1
0
3
2 5
yy x
，
0
1 1
0
1 1xx yy
，同理求得 0
2
0
3
5 2
yy x
， 0
2 2
0
1 1xx yy
，结合斜率公式，化简 0
0
5 5
3 3DE
yk kx
，
即可求解.
【详解】
（1）由 31, 2P
在椭圆上
2 2
2 2 1x y
a b
，可得 2 2
1 9 14a b
，
又由离心率 1
2e ，可得 2a c ，且 2 2 2a b c ，
解得 2, 3, 1a b c ，所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y ．
（2）设 0 0,A x y ，则 0 0,B x y ，直线 0
0
1: 1xAD x yy
，
代入
2 2
: 14 3
x yC ，得 2 2 2 2
0 0 0 0 03 1 4 6 1 9 0x y y x y y y ，
因为
2 2
0 0 14 3
x y ，代入化简得 2 2
0 0 0 02 5 2 1 3 0x y x y y y ，
设 1 1,D x y ， 2 2,E x y ，则
2
0
0 1
0
3
2 5
yy y x
，所以 0
1
0
3
2 5
yy x
， 0
1 1
0
1 1xx yy
，
直线 BE ： 0
0
1 1xx yy
，同理可得 2 2 2 2
0 0 0 0 03 1 4 6 1 9 0x y y x y y y ，
化简得 2 2
0 0 0 05 2 2 1 3 0x y x y y y ，
故
2
0
0 2
0
3
5 2
yy y x
，即 0
2
0
3
5 2
yy x
， 0
2 2
0
1 1xx yy
，
所以
1 2 1 2 1 2
0 0 0 1 2 0 1 21 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0 1 2
1
1 1 1DE
y y y y y yk x x x y y x y yx x y y y yy y y y y y y y
又
0 0
1 2 0 0
0
0 01 2
0 0
3 3
22 5 5 2
3 3 5
2 5 5 2
y y
y y x x xy yy y
x x
，
0
0 0 0
0 0
1 5 5
1 2 3 3
5
DE
yk kx x x
y y
所以 5
3
DEk
k
．
【点睛】
直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程
根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能
较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
13．如图，B，A 是椭圆
2
2: 14
xC y 的左、右顶点，P，Q 是椭圆 C 上都不与 A，B 重合的两点，记直线
BQ，AQ，AP 的斜率分别是 BQk ， AQk ， APk .
（1）求证： 1
4BQ AQk k ；
（2）若直线 PQ 过定点 6 ,05
，求证： 4AP BQk k .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设 1 1,Q x y ，代入斜率公式求 1
4BQ AQk k ；
（2）设直线 PQ 的方程是 6
5x my ，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示 1AP AQk k ，再根据
（1）的结论证明.
【详解】
（1）设 1 1,Q x y
2
12
1 1 1
2 2
1 1 1 1
1 14
2 2 4 4 4BQ AQ
x
y y yk k x x x x
；
（2）设直线 PQ 的方程是 6
5x my ，设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y
与椭圆方程联立， 2
2
6
5
14
x my
x y
得： 2 2 12 644 05 25m y my ，
1 2 2
12
5 4
my y
m
， 1 2 2
64
25 4
y y
m
，
1 2 1 2
1 2
1 2
4 42 2
5 5
AP AQ
y y y yk k x x my my
2
1 2
2 2
2
1 2 1 2 2 2
64
25 4
4 16 64 48 16
5 25 2525 4 25 4
my y
m mm y y m y y
m m
2 2 2
64 1
64 48 16 4m m m
，
1AP AQk k ,
由（1）可知 1
4BQ AQk k ，
两式消去 AQk ，解得： 4AP BQk k .
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于
中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦
达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
14．已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦距为 4，且点 3 5( ,2)5P 在椭圆C 上，直线 l 经过椭圆C 的
左焦点 1F ，与椭圆C 交于 ,A B 两点，且其斜率为 1 1( 0)k k ， O 为坐标原点， 2F 为椭圆C 的右焦点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设 2
1 ( )2AQ AO AF ，延长 ,AQ BQ 分别与椭圆C 交于 ,M N 两点，直线 MN 的斜率为 k ，求证：
1
2
k
k 为定值.
【答案】(1)
2 2
19 5
x y (2)见解析
【详解】
试题分析：（1）由题意知， 2 4c ，且 2 2
9 4 1,5a b
解得 2 29, 5a b ，故椭圆C 的方程为
2 2
19 5
x y .
（2）联立
2 2
1
1
19 5
1 1
x y
xx yy
得 1 1
1 1
5 9 4,5 5
x yM x x
，同理得 N 的坐标为 2 2
2 2
5 9 4,5 5
x yN x x
，表示
1 2
3 1 1 2
2
1 23 4
1 2
4 4
5 5
5 9 5 9
5 5
y y
y y x xk x xx x
x x
整理得 2 1
2 1 1 1 1
2 1
1 5 1 5 7
2 4 2 4 4
y yk k k k kx x
，从而 1
2
4
7
k
k
为定值.
试题解析：（1）由题意知， 2 4 2c c ，且 2 2 2
2 2
9 4 1, 45 a b ca b
∴解得 2 29, 5a b
椭圆 C 的方程为
2 2
19 5
x y .
（2）由（1）可得 1 2,0F ，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 3 3 4 4, , ,M x y N x y ，
可得 AQ ： 1 1
1 1
11 11
y xy x x yx y
，
∴联立方程
2 2
1
1
19 5
1 1
x y
xx yy
21 1
2
1 1
5 1 1 4 0x xy yy y
，
∴
2 2
1 1
1 3
1 1
4 4
5 5
y yy y x x
，∴ 1
3
1
4
5
yy x
，
∴ 1 1
3 3
1 1
1 5 91 5
x xx yy x
，∴ 1 1
1 1
5 9 4,5 5
x yM x x
同理，直线 BQ 与椭圆交点 N 的坐标为 2 2
2 2
5 9 4,5 5
x yN x x
∴
1 2
1 2 2 13 1 1 2
2
1 23 4 1 2 2 1
1 2
4 4
4 5 4 55 5
5 9 5 9 5 9 5 5 9 5
5 5
y y
y x y xy y x xk x xx x x x x x
x x
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
2 1 2 1
4 5 4 5 5
16 4
y x y x y x y x y y
x x x x
设 AB ： 1 2y k x ，∴
1 1 1
2 1 2
2
2
y k x
y k x
代入可得
1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
2
2 1 2 1
2 2 5 2 5
4 4
k x x k x x y y k x x y yk x x x x
2 1
1 1 1 1
2 1
1 5 1 5 7
2 4 2 4 4
y yk k k kx x
，
∴ 1
2
4
7
k
k
为定值.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉
及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定
值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
15．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x y a ba b
的离心率为 2
3
，半焦距为 ( 0)c c ，且 1a c ，经过椭圆的左焦点
F ，斜率为 1 1( 0)k k 的直线与椭圆交于 A ， B 两点， O 为坐标原点．
（I）求椭圆 的标准方程．
（II）设 (1,0)R ，延长 AR ， BR 分别与椭圆交于C ， D 两点，直线 CD 的斜率为 2k ，求证： 1
2
k
k 为定值．
【答案】（I）
2 2
19 5
x y ；（II）见解析.
【解析】
试题分析：（I）依题意,得
2
3
1
c
a
a c
,再由 2 2 2b a c 求得 2b ,从而可得椭圆的标准方程;
（II）设 3 3,C x y ， 4 4,D x y ，可求得直线的方程为 1
1
11
yy xx
,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得
2
1
1 3
1
4
5
yy y x
,进一步可求 1 1
1 1
5 9 4,5 5
x yC x x
, 同理 2 2
2 2
5 9 4,5 5
x yD x x
,从而可得 2k ,化简运算即可.
试题解析：
（I）由题意，得
2
3
1
c
a
a c
解得 3
2
a
c
，
∴ 2 2 2 5b a c ，
故椭圆 的方程为
2 2
19 5
x y ．
（II）设 3 3,C x y ， 4 4,D x y ，
由已知，直线 AR 的方程为 1
1
11
yy xx
，即 1
1
1 1xx yy
．
由
1
1
2 2
1 1
19 5
xx yy
x y
消去 x 并整理，得 21 1
2
1 1
5 1 4 0x xy yy y
．
则
2
1
1 3
1
4
5
yy y x
，∵ 1 0y ，∴ 1
3
1
4
5
yy x
，
∴ 1 1 1 1
3 3
1 1 1 1
1 1 4 5 91 15 5
x x y xx yy y x x
．
∴ 1 1
1 1
5 9 4,5 5
x yC x x
，同理 2 2
2 2
5 9 4,5 5
x yD x x
．
∴
1 2
1 2 2 11 2
2
1 2 1 2 2 1
1 2
4 4
4 5 4 55 5
5 95 9 5 9 5 5 9 5
5 5
y y
y x y xx xk x x x x x x
x x
，
1 2 2 1
2 1
4 5 4 5
16
y x y x
x x
，
∵ 1 1 1 2y k x ， 2 1 2 2y k x ，
∴
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1
2
2 1 2 1
4 2 5 4 2 5 7 7
16 4 4
k x x k x x k x x kk x x x x
，
∴ 1
2
4
7
k
k
为定值．
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的
方法一般就是根据条件建立 , ,a b c 的方程，求出 2 2,a b 即可，注意 2 2 2 , ca b c e a
的应用；涉及直线与
圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，
避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出 1 2 1 2,x x x x ，
再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
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