专题十九 计数原理与概率及其分布（解析版）-2021届高三《新题速递 数学》5月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题十九 计数原理与概率及其分布 一、单选题 1．（2021·辽宁高三其他模拟）若 6 0 1(1 2 ) (1 )x a a x    2 6 2 6(1 ) (1 )a x a x     ，则 3a  （ ） A．160 B． 160 C．80 D． 80 【答案】B 【分析】 将 6(1 2 )x 变成 61 2(1 )x   后，用通项公式可求得答案． 【详解】 因为  66(1 2 ) 1 2(1 )x x     ，所以 33 3 3 6 2 ( 1) 160a C    ， 故选：B. 2．（2021·辽宁高三其他模拟）在中国共产党建党百年之际，我们将迎来全面建成小康社会，实现第一个百 年目标的伟大胜利.在脱贫攻坚如期收官之后，为更好地解决相对贫困问题，某地着力加强教育脱贫工作.现 安排 5名优秀教师到 4 个贫困县进行支教工作，要求每个贫困县至少安排1名教师，则不同的安排方案有（ ） 种 A． 60 B．120 C． 240 D． 480 【答案】C 【分析】 由派去每所学校的人数不确定，可先考虑老师的分组情况，即可求解. 【详解】 根据题意，先将 5 名教师分成 4 组，有 2 5 10C  种分法， 将分好的 4 组安排到 4 个贫困县，有 4 4 24A  种安排方式， 由分步计数原理，可得共有10 24 240  种安排方式. 故选：C. 3．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）一次表彰大会上，计划安排这 5 名优秀学生代表上台发言，这 5 名优 秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各 2 名，高三年级 1 名．发言时若要求 来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种． A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【分析】 把两个高一学生排列，然后按一个高三学生是否在两个高一学生之间分类，在中间，把 2 个高二学生插入 四个空档；不在时，选一个高二排在中间，然后在两边选一位置插入高三学生，再插入另一高二学生，由 此可得排法数． 【详解】 先排高一年级学生，有 2 2A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有 2 4A 种排法；②若高一学生中间 无高三学生，有 1 1 1 2 2 3C C C  种排法，所以共有  2 2 1 1 1 2 4 2 2 3 48A A C C C   种排法． 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的方法，是分类还是分步．不相邻问题 插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中． 4．（2021·浙江高二期末）2021 年 3 月，学校组建了五个精品社团：摄影社，朗诵社，编导社，播音社和舞 蹈社，采取校外专业老师授课，校内专职老师管理模式，深受广大同学欢迎．报名当天，邟正直、周俭朴， 司尚礼，钟扬善四个同学去填报名表，考虑到时间冲突，决定每人只报一项，请问收上的报名表有多少可 能（ ） A．5 B．120 C． 625 D．1024 【答案】C 【分析】 根据分布乘法计数原理直接计算可得结果. 【详解】 每个同学报名时都有5种选择，则报名表共有 45 625 种可能. 故选：C. 5．（2021·全国高三其他模拟（理））某重点中学计划安排甲､乙等 5 名骨干教师在 3 个平台上发布自己录好 的视频课件，每个平台至少安排一名教师，每名教师也只能在一个平台上发布视频课件，若甲､乙 2 名教师 不在同一个平台上发布视频课件，则不同的安排方法有（ ） A．120 种 B．114 种 C．108 种 D．96 种 【答案】B 【分析】 先不考虑甲､乙 2 名教师不在同一个平台上发布视频课件，5 人分成 3 组（3,1,1或 2,2,1两类），再安排到三 个平台，再考虑甲､乙 2 名教师在同一个平台上发布视频课件，仍然先分 3 组，再安排到三个平台，求出方 法数后相减可得． 【详解】 若不考虑甲､乙 2 名教师不在同一个平台上发布视频课件，则不同的安排方法有 3 1 1 2 2 1 35 2 1 5 3 1 32 2 2 2 C C C C C C A 150A A        (种)；若甲､乙 2 名教师在同一个平台上发布视频课件，则不同的安排方法 有 1 1 2 1 1 32 1 3 1 3 32 2 C CC C C A 36A         (种)，所以满足条件的安排方法有156 36 114  (种). 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题考查的知识是“理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分‘类’，和‘步’，并 能利用两个原理解决一些简单的实际问题”，解题方法是排除法，即由任意安排的方法数减去特殊情况发生 时的方法数得出结论． 6．（2021·全国高三其他模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》中对算筹计数法的描 述是“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当……”说明计数有纵、横两种形式， 计数时为避免混淆将纵、横交错放置，以空位表示零，这是世界上最早的十进位值制计数体系，对世界数 学的发展有划时代意义．如图为纵式计数形式，一竖表示 1 个单位，一横表示 5 个单位，例如三竖一横表 示 8． 现用纵式计数形式表示 10 以内的正整数，若从上图中可重复选择三个不同的数构成等比数列，则能构成等 比数列的所有数的纵式计数形式中横的数量共计为（重复出现的数在统计时、重复统计横的数量）（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 先找出 1~9 中所有能构成等比数列的数组，再查出横的个数． 【详解】 正整数 1~9 中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是 1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9．其中 6，8，9 的纵式计数形式中各有一横且 9 出现两次，共计 4 横． 故选：D． 【点睛】 关键点点睛：本题是应用性、创新性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究情境，以《孙子算经》为 背景，以等比数列为载体，考查简单的计数问题．解题关键是找出 1~9 中所有能构成等比数列的数组，然 后检查横的个数． 7．（2021·全国高三其他模拟）鉴于目前国内新冠肺炎疫情防控常态化的形势，2020-2021 赛季 CBA 联赛将 分阶段举行，其中常规赛阶段将采取赛会制，即 20 支参赛球队将根据 2019-2020 赛季的最终排名蛇形排列 分为两组，每组 10 支球队，组内四循环（每 2 支球队进行 4 场比赛）、不同组间双循环（每 2 支球队进行 2 场比赛）．那么在常规赛阶段，2020-202 赛季 CBA 联赛一共需要比赛的场数为（ ） A．360 B．400 C．560 D．720 【答案】C 【分析】 先将比赛分为两类，一类是同组内的球队之间的比赛，一类是不同组间的球队之间的比赛，再根据分类加 法计数原理即可得解． 【详解】 解：同组内的球队需要比赛的场数为 2 102 4 360C   ，不同组间的球队需要比赛的场数为 2 10 10 200   ， 根据分类加法计数原理知，一共需要比赛的场数为 360 200 560  ． 故选：C 8．（2021·山东潍坊市·高三月考）车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充 分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最 完美、最平衡的组合.一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得 到最合理的使用和发挥.某班一小队共 10 名同学，编号分别为 1，2， ，9，10，要均分成两个学习小组（学 习小组没有区别），其中 1，2 号同学必须组合在一起，3，4 号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意 搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（ ） A．26 B．46 C．52 D．126 【答案】A 【分析】 分 1，2 号，3，4 号在同一个小组和 1，2 号与 3，4 号在不同的小组，两种情况分别求得分组方法，再由分 类加法原理可得选项. 【详解】 设分成的两个学习小组为甲组和乙组，这两个小组只是代号，没有区别， 若 1，2 号，3，4 号在同一个小组，那么该小组还差 1 人，有 1 6 6C  种方组方法； 若 1，2 号与 3，4 号在不同的小组，则其中一个小组还差 3 人，有 3 6 6 5 4 203 2 1C     种方组方法， 所以总共有 6+20 26 种分组方法， 故选：A. 9．（2021·全国高三其他模拟）已知一个不透明的袋子中放有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个大小相等、形状 相同的小球，小明从袋子中有放回地取三次球，每次只取一个球，若三次取出的球的编号相乘的结果为偶 数，相加的结果为奇数，则不同的取球方法共有（ ） A．8 种 B．16 种 C．24 种 D．48 种 【答案】C 【分析】 根据三次取出球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，得到两次取出的球的编号为偶数，一次取 出的球的编号为奇数求解. 【详解】 因为三次取出球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数， 所以两次取出的球的编号为偶数，一次取出的球的编号为奇数， 所以不同的取球方法共有 1 1 1 1 3 2 2 2 24C C C C  （种）， 故选：C． 10．（2021·全国高三其他模拟）2021 年 1 月 18 日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火 星车全球征名活动的初次评审.初次环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天 行、火星共 10 个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内含，计划从中随 机选取 4 个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有（ ） A．2016 种 B．1512 种 C．1426 种 D．1362 种 【答案】B 【分析】 采取先取后排的策略解决即可. 【详解】 由题可知，选取的 4 个名称中含有赤兔，则从中选取 4 个名称共有 3 9C 种不同的组合. 选出的 4 个名称的不同分析顺序有 4 4A 种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有 3 3A 种， 故赤兔不是第一个被分析的情况共有  3 4 3 9 4 3 1 512C A A   （种）， 故选：B 11．（2021·全国高三其他模拟（理））2021年1月18 日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首 辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追 梦、天行、星火共10 个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计 划从中随机选取 4 个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析， 则所有不同的分析情况有（ ） A． 4704 种 B． 2800 种 C． 2688 种 D．3868种 【答案】A 【分析】 将所有情况分成三种，利用排列组合的知识分别计算每种情况的情况种数，由分类加法计数原理计算可得 结果. 【详解】 ①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8 个初选名字中选出 2 个，再进行排列即可，有 2 2 3 8 2 3 336C A A  种 情况； ②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的8 个初选名字中选出 3个，再进行排列，有 1 3 4 2 8 4 2688C C A  种情 况； ③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8 个初选名字中选出 4 个，再进行排列，有 4 8 1680A  种情况； 不同的分析情况共有336 2688 1680 4704   种． 故选：A. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）平均分组问题先选好人后，平均分了 n 组，则除以 n nA ； （5）定序问题采取“缩倍法”. 12．（2021·全国高三其他模拟（理））2020—2021 赛季 CBA 联赛共有 20 支队伍参加，这 20 支参赛球队将 根据 2019—2020 赛季的最终排名以蛇形排列分为两组，每组 10 支球队，常规赛采用组内四循环（即每 2 支球队进行 4 场比赛）、不同组间双循环（即每 2 支球队进行 2 场比赛）的比赛方法，那么在常规赛阶段， CBA 联赛一共需要比赛的场数为（ ） A．360 B．400 C．480 D．560 【答案】D 【分析】 根据题意，共有两类比赛：组内、组间，首先计算出组内的比赛总场数，再计算组间的比赛总场数，进而 加总求和即可. 【详解】 同组内的队伍需要比赛的场数为 2 102 4 360C   ， 不同组的队伍需要比赛的场数为 1 1 10 102 =C C 200， ∴一共需要比赛的场数为 360+200=560． 故选：D. 13．（2021·全国高三其他模拟）已知    2 0 1 21 n n nax a a x a x a x n N       ，当 5n  时， 1 2 3 4 5 242a a a a a     ，则当 6n  时， 1 3 53 5a a a  的值为（ ） A． 1452 B．1452 C． 726 D． 726 【答案】B 【分析】 本题首先可令 0x  ，求出 0 1a  ，然后令 1x  ， 5n  ，通过 1 2 3 4 5 242a a a a a     求出 2a  ，最 后通过二项展开式求出 1 12a  、 3 160a  、 5 192a  ，即可求出结果. 【详解】    2 0 1 21 n n nax a a x a x a x n N       ， 令 0x  ，则 0 1a  ； 令 1x  ， 5n  ，则 5 0 1 2 51 a a a a a     ， 因为 1 2 3 4 5 242a a a a a     ， 所以 5 51 243 3a   ， 2a  ，  2 0 1 21 2 n n nx a a x a x a x     ， 当 6n  时，                6 0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 61 2 2 2 2 2 2 2 2x C x C x C x C x C x C x C x               2 3 4 5 61 12 60 160 240 192 64x x x x x x       ， 则 1 12a  ， 3 160a  ， 5 192a  ， 1 3 53 5 1452a a a   ， 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查二项展开式的应用，二项式 na b 的展开式为 0 0 1 1 1 0n n n n n n nC a b C a b C a b-+ + + ， 可通过令 a 、b 取特殊值的方式求值，考查计算能力，是中档题. 14．（2021·山西吕梁市·高三三模（理））北斗导航系统由 55 颗卫星组成，于 2020 年 6 月 23 日完成全球组 网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天 璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进 行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ） A． 10 21 B． 11 21 C． 11 42 D． 5 21 【答案】B 【分析】 根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】 因为玉衡和天权都没有被选中的概率为 2 5 2 7 10 21 CP C   ， 所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为 10 111 21 21   . 故选：B. 15．（2021·新疆阿勒泰地区·布尔津县高级中学高三三模（理））随着互联网技术的发展，各种手机搜题 APP 层出不穷，某学校为了防止学生考试时用手机搜题，指派 6 名教师对数学试卷的选择题、填空题和解答题 这三种题型都进行改编，且每种题型至多指派 3 名教师，每位老师只改编一种题型，则不同分派方法种数 是（ ） A．180 B．270 C．360 D．450 【答案】D 【分析】 本题首先可以根据题意得出不同的分派方式有 2,2,2 、 3,1,2 、 3,2,1 、 1,3,2 、 2,3,1 、 1,2,3 、  2,1,3 ，然后求出每一种分派方式有多少种分派方法，最后将求出的所有分派方法数目相加，即可得出结 果. 【详解】 因为指派 6 名教师对数学试卷的三种题型进行改编，每种题型至多指派 3 名教师， 所以分派方式有 2,2,2 、 3,1,2 、 3,2,1 、 1,3,2 、 2,3,1 、 1,2,3 、 2,1,3 ， 若分派方式为 2,2,2 ，则有 2 2 2 6 4 2 90C C C  种分派方法； 若分派方式为 3,1,2 ，则有 3 1 2 6 3 2 60C C C = 种分派方法； 若分派方式为 3,2,1 ，则有 3 2 6 3 60C C = 种分派方法； 若分派方式为 1,3,2 ，则有 1 3 2 6 5 2 60C C C = 种分派方法； 若分派方式为 2,3,1 ，则有 2 3 6 4 60C C = 种分派方法； 若分派方式为 1,2,3 ，则有 1 2 3 6 5 3 60C C C  种分派方法； 若分派方式为 2,1,3 ，则有 2 1 3 6 4 3 60C C C = 种分派方法， 共有 90 60 60 60 60 60 60 450+ + + + + + = 种分派方法， 故选：D. 16．（2021·新疆布尔津县高级中学高三三模（文））某校学生志愿者服务团队由 3 名男同学和 2 名女同学组 成，若从这 5 名同学中随机选出 3 人参加社区志愿者活动，且每人被选到的可能性相等，则恰有 2 名男同 学被选中的概率为（ ） A． 1 5 B． 1 3 C． 2 5 D． 3 5 【答案】D 【分析】 由题设，写出 5 名同学中随机选出 3 人参加社区志愿者活动中，恰有 2 名男同学被选中的选法数和总选法， 应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】 由题意知：恰有 2 名男同学被选中的选法有 2 1 3 2C C 种，而总选法有 3 5C 种， ∴恰有 2 名男同学被选中的概率为 2 1 3 2 3 5 3 5 C CP C   . 故选：D. 17．（2021·浙江高三二模）已知正整数 4n  ， (0,1)p  ，随机变量 X 的分布列是 X 1 p 2p  2np  1np  P p 2p 3p  1np  np 则当 n 在 4,100 内增大时，（ ） A．   1E X  B．   1E X  C．   1E X  D．E（X）与1没有确定的大小关系 【答案】A 【分析】 首先根据分布列的性质可知  2 3 1 ... 11 n n p p p p p p p        ，再代入期望公式，判断选项. 【详解】 由条件可知  2 3 1 ... 11 n n p p p p p p p        ，           2 3 5 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n p p p p p pE X p p p p p p p p               ，  0,1p ，  4,100n ， 1 11 np p   ，即   1E X  . 故选：A 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是根据分布列的性质可知，概率和为 1，即  1 11 np p p   ，再代入期望公式，后 面的问题迎刃而解. 18．（2021·山东济宁市·高三二模）已知随机变量 X 服从正态分布  21,N  ，若  0 0.2P X   ，则  2P X   （ ） A． 0.2 B． 0.4 C． 0.6 D． 0.8 【答案】D 【分析】 根据正态分布的性质进行求解即可. 【详解】 因为  0 0.2P X   ，所以    2 1 0 1 0.2 0.8P X P X       ， 故选：D 19．（2021·全国高三其他模拟）泊松分布是一种离散概率分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于1838年发 表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.泊松分布的概率函数为    0,1,2,! k P X k e kk      ， e 是自然对数的底数，  是泊松分布的均值.用于制造核武器和核反应堆的钚 239 是钚的同位素，一纳克钚 239 每秒平均发生 2.3次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则 2 秒内一纳克钚 239 恰好发生 4 次放 射性衰变的概率约为（ ）（参考数据： 4.6 99.48e  ， 42.3 27.98 ） A． 0.342 B． 0.188 C． 0.658 D． 0.812 【答案】B 【分析】 计算出  的值，利用泊松分布的概率函数可求得 ( )4P X = 的值. 【详解】 因为一纳克钚 239 每秒平均发生 2.3次放射性衰变，所以 2 秒内一纳克钚 239 发生放射性衰变的均值为 4.6 次， 因为衰变次数服从泊松分布，所以 4.6  ， 所以   4 4 4 4.6 4.6 4.6 2 2.3 1 2 27.984 0.1884! 4! 3 99.48P X e e          ， 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是能够根据题意得到 4.6  ，并能正确计算 ( )4P X = . 20．（2021·全国高三其他模拟）随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们 每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活.已知某种型号的共享充电宝循环充电超过 500 次的概率 为 3 4 ，超过 1000 次的概率为 1 2 ，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过 500 次，则其能够循环充电 超过 1000 次的概率是（ ） A． 3 4 B． 2 3 C． 1 2 D． 1 3 【答案】B 【分析】 利用条件概率的计算公式计算即可得到结果. 【详解】 记事件 A 为“该充电宝循环充电超过 500 次”，则   3 4P A  ，记事件 B 为“该充电宝循环充电超过 1 000 次”， 则   1 2P B  ，易知     1 2P AB P B  ，所以       1 1 4 22 3 2 3 3 4 P ABP B A P A      . 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：解决条件概率问题的关键分清两个事件的关系，分清事件 AB 同时发生的概率. 21．（2021·浙江高二期末）若随机变量 ~ ( , )B n p ，且 ( ) 2E   ， 8( ) 5D   ，则 p  （ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 【答案】A 【分析】 利用二项分布的期望公式和方差公式列方程组求解即可 【详解】 解：因为随机变量 ~ ( , )B n p ，且 ( ) 2E   ， 8( ) 5D   ， 所以 2 8(1 ) 5 np np p    ，解得 10 1 5 n p   ， 故选：A 22．（2021·全国高三其他模拟（理））春天是万物生长的季节，春节过后学生甲利用课余时间在花盆中播种 了 4 粒虞美人种子，若每粒种子发芽的概率为 2 3 ，则这 4 粒种子中至少有3粒发芽的概率为（ ） A． 8 27 B． 19 27 C． 16 27 D． 11 27 【答案】C 【分析】 解法一：符合题意的情况是 3粒发芽和 4 粒发芽，结合二项分布概率公式计算可得结果； 解法二：确定所求事件的对立事件，利用二项分布概率公式和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】 解法一：这 4 粒种子中至少3粒发芽有3粒发芽和 4 粒发芽两种情况， 则这 4 粒种子中至少有3粒发芽的概率为 3 4 3 4 4 4 2 1 2 32 16 48 16 3 3 3 81 81 81 27P C C                . 解法二：设这 4 粒种子中至少有3粒发芽为事件 A ， 则    1P A P A  4 3 2 2 1 2 4 4 1 2 1 2 1 161 3 3 3 3 3 27C C                             . 故选：C. 【点睛】 思路点睛：求解复杂问题的概率首先要正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独 立事件的积，然后利用相关公式进行计算．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立 事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 二、多选题 23．（2021·山东滨州市·高三二模）为庆祝建党 100 周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全 体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部 在 5 道党史题中(有 3 道选择题和 2 道填空题)，不放回地依次随机抽取 2 道题作答，设事件 A 为“第 1 次抽 到选择题”，事件 B 为“第 2 次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A．   3 5P A  B．   3 10P AB  C．   1 2P B A  D．   1 2P B A  【答案】ABC 【分析】 根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项. 【详解】   1 3 1 5 3 5 C CP A   ,故 A 正确；   1 1 3 2 1 1 5 4 3 10 C CP AB C C  ，故 B 正确；       0 3 5 1 2 3 1P AB PP AB A   ，故 C 正确；   1 2 1 5 2 5 C CP A   ，   1 1 2 3 1 1 5 4 10 3C C C CP AB   ，       3 310 2 4 5 P AB P B A P A    ，故 D 错误. 故选: ABC 24．（2021·全国高三其他模拟）以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科 技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针 对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该 技术难题的高绿分别为 1 2 ， 1 2 ， 2 3 ，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正确的是（ ） A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 1 6 B．只有甲小组受到奖励的概率为 1 2 C．受到奖励的小组数的期望值等于 3 2 D．该技术难题被攻克，且只有丙小组受到奖励的概率为 2 11 【答案】AD 【分析】 根据相互独立事件的概率计算公式针对不同的选项分别求解，即可判断 A，B；利用概率公式结合期望公式 可判断 C；利用条件概率的计算公式，即可判断选项 D． 【详解】 对于 A，甲、乙、丙三个小组均受到奖励，即三个小组都攻克了该技术难题，其概率为 1 1 2 1 2 2 3 6    ，故 A 正确； 对于 B，只有甲小组受到奖励，即只有甲小组攻克该技术难题，其概率为 1 1 2 11 12 2 3 12               ，故 B 错误； 对于 C，记受到奖励的小组数为 X ，则 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且   1 1 2 10 1 1 12 2 3 12P X                ，   1 1 2 1 1 2 1 1 2 11 1 1 1 1 1 12 2 3 2 2 3 2 2 3 3P X                                           ，   13 6P X   ，   1 1 1 52 1 12 3 6 12P X       ， 故 X 的数学期望 1 1 5 1 50 1 2 312 3 12 6 3EX          ，故 C 错误； 对于 D，设事件 A 为“该技术难题被攻克”，事件 B 为“只有丙小组受到奖励”，由题意得   1 1 2 111 1 1 12 2 3 12P A                ，   1 1 2 11 12 2 3 6P A B             ，所以       1 26 11 11 12 P A BP B A P A    ，故 D 正确． 故选：AD 【点睛】 方法点睛：本题考查相互独立事件的概率、条件概率的计算，以及离散型随机变量的数学期望，求离散型 随机变量的期望，首先要根据具体情况确定 X 的取值情况，然后利用概率知识求出 X 取各个值时对应的概 率，再利用期望公式，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题. 25．（2021·河北唐山市·高三三模）下列说法正确的是（ ） A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷 5 次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已 知每次投中的概率为 1 2 ，，则游戏者闯关成功的概率为 31 32 B．从 10 名男生、5 名女生中选取 4 人，则其中至少有一名女生的概率为 1 3 5 14 4 15 C C C C．已知随机变量 X 的分布列为      1,2,31 aP X i ii i    ，则   22 9P X   D．若随机变量  22,N o  ，且 3 1   .则  2 0.5P  ＜ ，   6E   【答案】AC 【分析】 选项 A 先求 5 次都没投中的概率，由对立事件的概率关系判断；选项 B. 由其中至少有一名女生分为：1 名女生 3 名男生、2 名女生 2 名男生、3 名女生 1 名男生和 4 名都是女生四种情况，可判断; 选项 C. 由分布 列的性质先求 a ，即可判断；选项 C. 由正态分布的性质和期望的性质可判断. 【详解】 选项 A. 5 次都没投中的概率为 51 1 2 32      . 所以游戏者闯关成功的概率为 1 311 32 32   ，故 A 正确. 选项 B. 从 10 名男生、5 名女生中选取 4 人，则其中至少有一名女生分为： 1 名女生 3 名男生、2 名女生 2 名男生、3 名女生 1 名男生和 4 名都是女生四种情况. 共有 1 3 2 2 3 1 4 5 10 5 10 5 10 5+ 1155C C C C C C C   种情况.而 1 3 5 14 1820C C  所以其中至少有一名女生的概率为： 1 3 2 2 3 1 4 1 3 5 10 5 10 5 10 5 5 14 4 4 15 15 +C C C C C C C C C C C    .故 B 不正确. 选项 C. 由      1,2,31 aP X i ii i    ，则 1 1 1 12 6 12a      ，解得 4 3a  所以   4 1 22 3 2 3 9P X     ，故 C 正确. 选项 D. 由随机变量  22,N o  ，则  2 0.5P    ，   2E   所以      3 1 3 1 7E E E       ,故 D 不正确. 故选：AC 26．（2021·全国高三其他模拟）“学习强国”是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思 想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台.该平台曾设置“争上游答题”“双人 对战答题”两个在线互动栏目.其中“争上游答题”栏目的比赛规则为：（1）每局在线匹配用户 4 人，匹配成功 开始作答；（2）每题答对得 20 分，答错不减分，优先获得 100 分即赢得该局的胜利，荣获 1 颗星；（3）每 局比赛用时最多 10 分钟，10 分钟内无选手达到 100 分，则全部失败.参加“争上游答题”栏目的比赛还可以获 得“学习强国”的积分，其积分规则为：首局胜利积 3 分，第二局胜利积 2 分，失败均积 1 分；每日仅前两局 能积分；每日上限 5 分.公司小张每天参加“学习强国”的“争上游答题”栏目的前两局在线答题活动，按照过 去的答题经验，枚举获胜的概率都为 1 4 ，下列对于小张某天参加“学习强国”的“争上游答题”栏目的前两局在 线答题活动的情况叙述正确的是（ ） A．获得两颗星的概率为 1 16 B．“学习强国”积分为 4 分的概率为 1 4 C．恰好获得一颗星的概率为 7 16 D．“学习强国”积分为 2 分的概率为 9 16 【答案】AD 【分析】 根据相互独立事件的概率公式计算概率判断各选项． 【详解】 对于 A，获得两颗星即前两局都获胜，其概率 1 1 1 1 4 4 16P    ，所以 A 正确； 对于 B，“学习强国”积分为 4 分，即第一局获胜，第二局失败，其概率 2 1 1 314 4 16P        ，所以 B 不正 确； 对于 C，恰好获得一颗星，即两局中恰好获胜一局，其概率 1 3 2 1 1 3C 14 4 8P         ，所以 C 不正确； 对于 D，“学习强国”积分为 2 分，即第一局和第二局都失败，其概率 4 1 1 91 14 4 16P               ，所以 D 正确. 故选：AD． 【点睛】 关键点点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，解题关键是确定事件的发生是由哪些独立事件 同时发生组成的，然后根据乘法公式计算概率． 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 27．（2021·浙江高三其他模拟）   2 72yx x yx      的展开式中含 4 4x y 项的系数为______. 【答案】 7 【分析】 先求出 7x y 的展开式的通项公式，即可求出展开式中含 4 4x y 项，得出系数. 【详解】 因为  7x y 的展开式的通项公式为 7 1 7 r r r rT C x y   ， 所以   2 72yx x yx      的展开式中含 4 4x y 的项为 2 4 3 4 2 5 2 4 4 7 7 2 7yx C x y C x y x yx      ， 故展开式中含 4 4x y 项的系数为 7 . 故答案为： 7 . 28．（2021·四川广元市·高三三模（理））有 4 名男生、3名女生排队照相， 7 个人排成一排．①如果 4 名男 生必须连排在一起，那么有 720 种不同排法；②如果3名女生按确定的某种顺序，那么有840种不同的排法； ③如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法；④如果3名女生中任何两名不能排在一起，那么有1440 种不同排法；则以上说法正确的有_______． 【答案】②③④ 【分析】 对于①，按捆绑法求解并判断；对于②，按比例法求解并判断；对于③，按特定位置先站位的方法求解并 判断；对于④，按不相邻问题插空法求解并判断. 【详解】 4 名男生必须连排在一起，则这 4 名男生当成一个元素，共有 4 4 4 4 576A A  ，①不正确； 3名女生按确定的某种顺序，只占 3 名女生的排列中的一种，共有 7 7 3 3 7 6 5 4 840A A      ，②正确； 女生不能站在两端，先让两名男生站两端，共有 2 5 4 5 12 120 1440A A    ，③正确； 3名女生中任何两名不能排在一起，先排男生，将女生插空，共有 4 3 4 5 24 60 1440A A    ，④正确. 故答案为：②③④ 29．（2021·山东济宁市·高三二模）已知 2( )nx x  的展开式中各项的二项式系数的和为 128，则这个展开式中 3x 项的系数是______． 【答案】84 【分析】 利用给定条件求出幂指数 n，再求出二项展开式通项即可得解. 【详解】 依题意， 2 128n  ，解得 n=7， 2( )nx x  的展开式的通项为 7 7 2 1 7 7 2( ) ( 2) ( , 7)r r r r r r rT C x C x r N rx            ， 由7 2r 3  得 2r = ，所以所求展开式中 3x 项的系数是 2 2 7 7 6( 2) 4 842 1C     . 故答案为：84 30．（2021·全国高三其他模拟）若    4 2 11 1ax ax       N 的展开式中含 2x 项的系数为 8，则该展开式中 的常数项为______． 【答案】 23 【分析】 先利用二项展开式的通项公式求出实数 a 的值，再求常数项． 【详解】 因为      4 4 4 2 2 1 11 1 1 1ax ax axx x          ， 展开式中含 2x 项的系数为 2 2 0 4 4 4 8C a C a  ， 整理得 4 26 8 0a a   ，解得 2 2a  或 2 4a  ． ∵ aN ， ∴ 2a  ， ∴展开式中的常数项为 4 2 2 4 4 2 1 6 4 23C C      ． 故答案为：-23 31．（2021·黑龙江大庆市·高二期中（理））文学社中甲、乙、丙、丁、戊、己这 六名即将毕业的高三成员从左到右站成一排拍照留念，其中甲不站在队伍的两端，乙、丙两人不相邻，丁 必须站在戊的左面（丁、戊两人可以相邻，也可以不相邻），则满足条件的不同站队方式的站法数为 __________．(用数字作答) 【答案】168 【分析】 利用正难则反的策略，先弱化甲不站在队伍的两端，先排甲、丁、戊、己，然后不相邻插空，再减去甲站 在队伍的两端的情况，即可得到结果. 【详解】 先排甲、丁、戊、己，且丁必须站在戊的左面，共 4 4 2 2 A A 种排法， 然后再排乙、丙，且两人不相邻，共 2 5A 种排法， 此时共 4 24 52 2 240A AA   种排法， 当甲站在队伍的两端时，共 3 1 23 2 42 2 72AC AA    种排法， ∴满足条件的不同站队方式的站法数为 240 72 168  种排法 故答案为：168 【点睛】 方法点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问 题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在” 问题——“分类法”. 32．（2021·浙江高三其他模拟）已知随机变量 X 的分布列如表所示： b a X a 1 2 P 1 3 b a b a 则  D X 的最大值是___________. 【答案】107 156 【分析】 根据随机变量的每个取值对应的概率之和为 1，可解出b ，再求出  E X ，  2E X ，进而求出  D X ，结 合二次函数的知识求解即可. 【详解】 由题知 1 13 b a b a     ，解得 1 3b  ， 则   1 2 42 13 3 3 3 aE X a a a       ，   2 2 2 1 4 54 33 3 3 3 3 a aE X a a a        ， 从而       2222 25 4 13 23 13 3 3 9 3 3 a aD X E X E X a a a                  213 3 107 9 26 156a       ，， 1 1,3 3a      ， 所以当 3 26a  时，  D X 取得最大值，最大值为107 156 . 故答案为：107 156 . 【点睛】 方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量 X 的期望、方差，求  ,aX b a b R  的期望与方差，利用期望和方差的性质 （    E aX b aE X b   ，    2D aX b a D X  ）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列 的期望和方差公式进行计算. 33．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三其他模拟（理））甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一 次投篮命中的概率为 3 5 ，乙同学一次投篮命中的概率为 1 2 ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人 各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________. 【答案】 4 5 【分析】 利用“至少有一人命中的”的对立事件求其概率. 【详解】 “至少有一人命中的”的对立事件是“两人都没有命中”，两人都没有命中的概率 2 1 1 5 2 5P    ，所以“至少有 一人命中的”概率 1 41 5 5P = - = . 故答案为： 4 5 34．（2021·山东临沂市·高三二模）随机变量 X 的分布列如下表： X 1 2 3 p a b c 其中 a ，b ， c 成等差数列，若   5 2E X  ，则  D X  ______． 【答案】 5 12 【分析】 根据等差中项性质可得 1 3b  ，再根据期望分别得到 1 1 7, ,12 3 12a b c   ，代入方差公式，即可得答案； 【详解】  a ，b ， c 成等差数列， 2b a c  ，  11 3 1 3a b c b b       ，则 1 3a d  ， 1 3c d  ， 1 1 1 5 11 2 33 3 3 2 4d d d                    ， 1 1 7, ,12 3 12a b c    ， 2 2 25 1 5 1 1 5 7( ) 1 22 12 2 3 2 2 12D X                         5 12  ， 故答案为： 5 12 . 【点睛】 本题考查离散型随机变量的方差，求解时注意概率和为 1 和等差中项性质的运用. 35．（2021·全国高三其他模拟）丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状 纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知 一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布  20,9N ，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜， 整理后发现长度在 23cm 以上（含 23 cm）的白玉香丝瓜有320 根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有______根．（结 果保留整数，若  2,X N   ，则   0.6827P X        ，  2 2 0.9545P X        ，  3 3 0.9973P X        ） 【答案】2017 【分析】 由题意知平均值 20  ，标准差 3  ，设此次摘下的白玉香丝瓜约有 m 根，解方程 1 0.6827 3202 2 m     ， 即得解. 【详解】 解：由题意知平均值 20  ，标准差 3  ， 17 ,23u u     ， 设此次摘下的白玉香丝瓜约有 m 根，则长度在 17,23 的有 0.6827m 根，长度在 20,23 的有 0.6827 2 m 根， 长度在 20cm 以上的有 2 m 根， 所以 1 0.6827 3202 2 m     ， 得 2017m  ． 故答案为：2017 36．（2021·辽宁丹东市·高三二模）一个袋子里装有大小相同的 2 个白球和 2 个黑球，从中任取 2 个球，其 中含有白球个数为 X ，则 X 的方差  D X  ______． 【答案】 1 3 【分析】 根据题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望后再求方差. 【详解】 根据题意，摸得白球的个数 X 可能取的值为 0，1，2. 计算 0 2 2 2 2 4 1( 0) 6 C CP X C    ， 1 1 2 2 2 4 4( 1) 6 C CP X C    ， 2 0 2 2 2 4 1( 2) 6 C CP X C    . 所以随机变量 X 的数学期望为： 1 4 1( ) 0 1 2 16 6 6E X        ， 所以随机变量 X 的方差为： 2 2 21 4 1 1( ) (0 1) (1 1) (2 1)6 6 6 3D X           . 故答案为： 1 3 . 四、双空题 37．（2021·浙江高二期末）每年高三毕业前夕，学校会组织大家拍一张全年级长卷照片，每个班拍一张班级 合照．某班在排队形时，有甲乙丙等 7 个男生站在最后一排，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种 不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有______种不同的排法．（用数 字作答） 【答案】1440 960 【分析】 利用捆绑法可解决甲乙两人必须相邻的排法数求解；结合捆绑法和插空法可求得甲乙相邻，但与丙不相邻 的排法数求解问题. 【详解】 若甲乙必须相邻，采用捆绑法可得排法种数为： 2 6 2 6 1440A A  种； 若甲乙两人相邻，但与丙不相邻，采用插空法可得排法种数为： 2 4 2 2 4 5 960A A A  种. 故答案为：1440；960. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）平均分组问题先选好人后，平均分了 n 组，则除以 n nA ； （5）定序问题采取“缩倍法”. 38．（2021·浙江高二期末）（1）若 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有_______ 种（用数字作答）． （2）有 3 男 2 女共 5 名学生被分派去 A，B，C 三个公司实习，每个公司至少 1 人，且 A 公司只要女生， 共有__________种不同的分派方法（用数字作答） 【答案】72 34 【分析】 （1）相邻用捆绑法，不相邻用插空法即可求解； （2）分类讨论 A 公司只分到一名女生和两名女生求解． 【详解】 （1）先从 3 人中任选 2 人作为一个整体并排列有 2 3 6A  种，然后在剩下三把椅子中插空并排列有 2 4 12A  种，所以有且仅有两人相邻的坐法有 6 12 72  种； （2）若 A 公司只分到一名女生则有  1 1 2 2 4 42 28 C C C 种； 若 A 公司只分到 2 名女生则有 2 1 2 32 6 C C 种； 所以共有 34 种不同的分派方法． 故答案为：72，34． 39．（2021·浙江高三其他模拟）小明购买了甲、乙两种某品牌的水笔笔芯各 2 支，同一品牌的放在一个盒子 中，他每次随机从任一盒中取 1 支笔芯使用，若甲种笔芯使用完后，乙种笔芯还剩余 支，则  1P   ______，  E   ______. 【答案】 1 3 2 3 【分析】 1  表示甲种笔芯使用完后，乙种笔芯还剩余 1 支，然后可求出  1P   ，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，求出对应的概率即可. 【详解】 把 4 支笔芯排成一行，由题， 1  表示甲种笔芯使用完后，乙种笔芯还剩余 1 支， 所以第 3 个位置是甲种笔芯，第 4 个位置是乙种笔芯，另外 2 支笔芯任意放置在其余 2 个位置， 所以   1 1 2 2 2 2 4 4 11 3 C C AP A     ； 由题可知，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，   1 3 2 3 4 4 10 2 C AP A     ，   2 2 2 2 4 4 12 6 A AP A     ， 所以   1 1 1 20 1 22 3 6 3E         故答案为： 1 3 ， 2 3 40．（2021·天津高三三模）设甲､乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 .假定甲､乙两位 同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前 到校的天数，则随机变量 X 的数学期望为___________；设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，则事件 M 发生的概率为___________. 【答案】2 20 243 【分析】 由题设知 2(3, )3X B ，根据二项分布的期望公式求期望，应用独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求 M 为事件的概率. 【详解】 由题意知： {0,1,2,3}X  ，且服从 2(3, )3X B ， ∴ 2( ) 3 23E X np    . 甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2 的基本事件有{甲 3 天乙 1 天， 甲 2 天乙 0 天}，又 0 3 0 3 1 2 1( 0) ( ) ( )3 3 27P X C   ， 1 2 1 3 1 2 6( 1) ( ) ( )3 3 27P X C   ， 2 1 2 3 1 2 12( 2) ( ) ( )3 3 27P X C   ， 3 0 3 3 1 2 8( 3) ( ) ( )3 3 27P X C   ， ∴ 8 6 12 1 20 27 27 27 27 243P      . 故答案为：2， 20 243 . 【点睛】 关键点点睛：由题设确定 X 服从 2(3, )3B 的二项分布，进而求期望，求 X 各可能值的概率，结合独立事件 乘法公式及互斥事件的加法公式求概率. 41．（2021·天津高三三模）某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束. 根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 1 2 ，两人和棋的概率是 1 6 ，则乙战胜甲的概率是 ______；甲乙两人比赛 2 局，每局胜方记 3 分，负方记 0 分，和棋双方各记 1 分，则甲得分不少于．．．2 分的 概率是______. 【答案】 1 3 7 9 【分析】 由互斥事件的概率计算，即可求得乙战胜甲的概率，设甲得分不少于 2 分为事件 A ，则事件 A 表示乙胜或 甲负且甲乙和，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 1 2 ，两人和棋的概率是 1 6 ， 则乙战胜甲的概率是 1 1 11 2 6 3    ； 由甲乙两人比赛 2 局，每局胜方记 3 分，负方记 0 分，和棋双方各记 1 分， 设甲得分不少于 2 分为事件 A ，则事件 A 表示乙胜或甲负且甲乙和， 可得 1 2 1 1 1 1 2( ) 3 3 3 6 9P A C      , 所以甲得分不少于 2 分的概率是 2 7( ) 1 ( ) 1 9 9P A P A     . 故答案为： 1 3 ； 7 9 . 42．（2021·天津高三其他模拟）2021 年是中国共产党成立 100 周年.现有 A，B 两队参加建党 100 周年知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢 1 分，答错得 0 分；A 队中每人答对的概率 均为 1 3 ，B 队中 3 人答对的概率分别为 2 3 ， 2 3 ， 1 3 ，且各答题人答题正确与否互不影响，设 A 队总得分为 随机变量 X，则 X 的数学期望为___________.若事件 M 表示“A 队共得 2 分”，事件 N 表示“B 队共得 1 分”， 则 ( )P MN  ___________. 【答案】1 2 27 【分析】 先由题中条件，得到 X 服从二项分布，由二项分布的期望公式，即可得出期望； 利用 n 次独立重复试验的概率计算公式求出 ( )P M ，利用相互独立事件概率乘法公式求出 ( )P N ，由此相互 独立事件概率乘法公式能求出 ( )P MN ． 【详解】 由题意，可得， 13, 3X B     ，所有 X 的数学期望为   13 13E X   因为事件 M 表示“ A 队得 2 分”，事件 N 表示“ B 队得 1 分”， 所以 2 2 3 1( ) 3 2 9 2 3P M C        ， 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3P N           ， 2 1 2( ) ( ) ( ) 9 3 27P MN P M P N     ． 故答案为：1； 2 27 五、解答题 43．（2021·浙江高二期末）已知 ( ) (2 3)nf x x  展开式的二项式系数和为 512，且 2 0 1 2( )2 3 1 1) 1) ( ( ( )n n nx a a x a x a x       L ． （1）求 2a 的值； （2）求 1 2 3 na a a a    的值； （3）求 (20) 20f  被 6 整除的余数． 【答案】(1) 144 ，（2）2，（3）5 【分析】 （1）根据二项式定理，由 ( ) (2 3)nf x x  展开式的二项式系数和为 512，可求出 9n  ，再将 9n  代入 (2 3)nx  中，变形可得 9[2( 1) 1]x   ，则 2a 为其展开式中 2( 1)x  的系数，由二项式定理可得答案； （2）由（1）的结论，用赋值法，在 9 9 2 0 1 2 9(2 3 1 1 1) ( ) ( ) ( )x a a x a x a x       L 中令 1x  ，可 求得 0a 的值，令 2x  ，可得 0 1 2 na a a a    的值，从而可得答案； （3）根据题意，可得 9(20) 20 37 20f    ，变形可得 9(20) 20 (36 1) 20f     ，由二项式定理展开式 可得 0 9 1 8 2 7 8 9 9 9 9(20) 20 36 36 36 36 19f C C C C      ，进而由整除的性质分析可得答案 【详解】 解：（1）因为 ( ) (2 3)nf x x  展开式的二项式系数和为 512， 所以 2 512n  ，解得 9n  ， 因为 9 9(2 3) [2( 1) 1]x x    ，所以 7 2 2 7 9 2 ( 1) 144a C    ， （2）在 9 9 2 0 1 2 9(2 3 1 1 1) ( ) ( ) ( )x a a x a x a x       L 中，令 1x  ，则 9 0 (2 1 3) 1a      ， 令 2x  ，可得 0 1 2 0 1 2 9 9 (2 2 3) 1na a a a a a a a              ， 所以 1 2 0 1 2 9 03 1 ( 1) 2na a a a a a aa a             （3） 9(20) 20 (36 1) 20f     0 9 1 8 2 7 8 9 9 9 9 9 936 36 36 36 20C C C C C      ， 0 9 1 8 2 7 8 9 9 9 936 36 36 36 19C C C C     ， 因为（ 0 9 1 8 2 7 8 9 9 9 936 36 36 36C C C C   ）能被 6 整除，而 19 ( 4) 6 5     ，即 19 被 6 整除余数为 5， 所以 (20) 20f  被 6 整除的余数为 5 【点睛】 易错点睛：此题考查二项定理的运用，易错点为在（3）中，对 19 求余数，根据 19 ( 4) 6 5     ，即 19 被 6 整除余数为 5，考查计算能力，属于中档题 44．（2021·江苏高二期中）已知 ( ) (2 3)nf x x  展开式的二项式系数和为 512，且 2 0 1 2(2 3) ( 1) ( 1) ( 1)n n nx a a x a x a x         （1）求 1 2 3 na a a a    的值； （2）求 (20) 20f  被 6 整除的余数. 【答案】（1）2（2）5 【分析】 (1)由题意利用二项式系数的性质，求得 n 的值，再分别令 x=1, x=2，可得要求式子的值. (2)把 9(36 1) 20  按照二项式定理展开，可得它除以 6 的余数. 【详解】 （1）因为 ( ) (2 3)nf x x  展开式的二项式系数和为 2 512n  ， 所以 9n  ， 故 9( ) (2 3)f x x  .   2 0 1 2(2 3) 1 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ,nn n nx x a a x a x a x              令 1x  ，可得 9 0 (2 1 3) 1a      ， 令 2x  ，可得 0 1 2 3 1na a a a a     ， 即 1 2 31 1na a a a      ， 1 2 3 2na aa a    . （2） 9(20) 20 (40 3) 20 (36 1) 20nf        0 9 1 8 2 7 2 8 8 9 9 9 9 9 9 936 36 1 36 1 36 1 1 20C C C C C             显然，展开式除了最后 2 项外，其余各项都能被 6 整除, 故展开式被 6 整出的余数，即 91 20 19   被 6 整除的余数为 5. 45．（2021·天津高三其他模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS) 和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新 毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳歌、气促和呼吸困难等在较严重病例中， 感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新 冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 2 3 ， 1 ,2 现已进入药物临床试用阶段．每 个试用组由 4 位该病毒的感染者组成．其中 2 人试用甲种抗病毒药物，2 人试用乙种抗病毒药物．如果试用 组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”． （1））求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）观察 3 个试用组，用 表示这 3 个试用机组“甲类组”的个数，求 的分布列和数学期望． 【答案】（1） 4 9 ；（2）分布列见解析；期望为 4 3 ． 【分析】 （1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即 可求解. （2）首先判断随机变量 服从二项分布，再求其分布列和均值. 【详解】 解（1）设 iA 表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数i 人”， 0,1,2i  ， iB 表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有 i 人”， 0,1,2i  依题意有     1 2 1 2 42 3 3 9, 2 2 4 3 3 9, P A P A            0 1 1 1 1 2 2 4, 1 1 12 2 2 2, P B P B        所求的概率为      0 1 0 2 1 2 1 4 1 4 1 4 4 4 9 4 9 2 9 9 P P B A P B A P B A          （2） 的可能值为 0,1,2,3，且 43, 9B        0 3 0 3 4 4 1250 19 9 729P C              ，   2 1 3 4 4 1001 19 9 243P C               ，   2 2 3 4 4 802 19 9 243P C               ，   3 0 3 3 4 4 643 19 9 729P C               ，  的分布列为  0 1 2 3 p 125 729 100 243 80 243 64 729 数学期望   125 100 80 64 40 1 2 3729 243 243 729 3E           ． 46．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核 酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性.2020 年抗疫期间，某社区拟对其中 850 户 4 口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈 阳性的概率都是  0 1p p  ．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检 测方式有三种选择： 方式一：逐个检测； 方式二：将每个 4 口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测； 方式三：将每个 4 口之家 4 个检测样本混合在一起检测； 其中，若混合样本 1 次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本 1 次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测． （1）假设某 4 口之家中有 2 个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过 3 次检测能把这个家庭阳性样本全部检 测出来的概率； （2）若 0.01p  ，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中 850 户 4 口之家进行核酸检测次数的数学 期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）． （附： 20.99 0.98 ， 30.99 0.97 ， 40.99 0.96 ．） 【答案】（1） 1 3 ；（2）答案见解析． 【分析】 （1）根据题意，结合古典概型计算公式进行求解即可； （2）分别求出三种检测方式下检测次数的数学期望，根据数学期望进行建议说明，最后根据每个人核酸检 测呈阳性概率很小时，人数众多的群体等方面进行简述其实际意义即可. 【详解】 （1）记恰好经过 3 次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件 A ， 则   1 1 2 2 2 2 4 4 1 3 C C AP A A   ． （2）当 0.01P  时，每个人核酸检测呈阴性的概率为 0.99． 若选择方式一，该社区对其中 850 户 4 口之家需进行 1 3400X  次核酸检测． 若选择方式二，记每个 4 口之家检测次数为 2 ，则 2 可能取值为 2，4，6，其分布列为 2 2 4 6 P 40.99  1 2 2 2 1 0.99 0.99C    221 0.99    24 1 2 2 2 2 2 22 0.99 4 1 0.99 0.99 6 1 0.99 6 4 0.99 2.08E C              ． 故该社区对其中 1000 户 4 口之家进行核酸检测总次数期望 2 2850 1768EX E  次． 若选择方式三进行核酸检测，记每个 4 口之家检测次数为 3 ，则 3 可能取值为 1，5．其分布列为 3 1 5 P 40.99 41 0.99 故选择方式三每个 4 口之家检测次数的期望为  4 4 4 3 1 0.99 5 1 0.99 5 4 0.99 1.16E         故该社区对其中 1000 户 4 口之家进行核酸检测总次数期望为 3 850 1.16 986EX    次． 显然 3 2 1EX EX EX  由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数 期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测 成本． 47．（2021·全国高三其他模拟（理））《健康中国行动(2019—2030 年)》包括 15 个专项行动，其中全民健身 行动提出鼓励公众每周进行 3 次以上､每次 30 分钟以上中等强度运动，或者累计 150 分钟中等强度或 75 分 钟高强度身体活动，日常生活中要尽量多动，达到每天 6 千步~10 千步的身体活动量，某高校从该校教职工 中随机抽取了若干名，统计他们的日均步行数(均在 2 千步~14 千步之间)，得到的数据如下表： 日均步行数/千步  2,4  4,6  6,8  8,10  10,12  12,14 人数 12 24 a 24 b 9 频率 0.08 0.16 0.4 0.16 c 0.06 （1）求 a ，b ， c 的值； （2）“每天运动一小时，健康工作五十年”，学校为了鼓励教职工积极参与锻炼，决定对日均步行数不低于 m 千步的教职工进行奖励，为了使全校 30%的教职工得到奖励，试估计 m 的值； （3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，从该校得到奖励的教职工中随机抽取 3 人，设这 3 人中日 均步行数不低于 10 千步的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 【答案】（1） 60a  ， 21b  ， 0.14c  ；（2） 8.75m  ；（3）分布列答案见解析，数学期望： 2 . 【分析】 （1）根据频率分布表可直接求出 a ，b ， c ； （2）先求出日均步行数在 10,14 内的频率和日均步行数在 8,14 内的频率，进而根据题意列方程求解； （3）先求出日均步行数不低于 10 千步的教职工在得到奖励的教职工中所占的比例，得到 23, 3X B     ， 然后求 X 的分布列和数学期望即可. 【详解】 解：（1）由题可得， 12 0.08 0.4 a ，解得 60a  . 1 0.08 0.16 0.4 0.16 0.06 0.14c        . 易知 12 0.08 0.14 b b c   ，∴ 21b  . （2）由题意知，日均步行数在 10,14 内的频率为 0.14 0.06 0.2  ， 日均步行数在 8,14 内的频率为 0.16 0.14 0.06 0.36   ， 则  0.1610 0.14 0.06 0.32m     ， 解得 8.75m  . 所以当 8.75m  时，全校 30%的教职工能够得到奖励. （3）由题意知该校得到奖励的教职工在全校教职工中所占的比例为 0.3，所以日均步行数不低于 10 千步的 教职工在得到奖励的教职工中所占的比例为 0.14 0.06 2 0.3 3   ， 所以 23, 3X B     ，   3 3 2 1C 3 3 k k kP X k             ， 0,1,2,3k  ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 数学期望 23 23EX    . 【点睛】 思路点睛：频率分布表中利用比例相等问题，总体频率为 1 可求得参数值，求随机变量的分布列时可先确 定随机变量的取值，然后求得其概率（本题中确定 23, 3X B     ，由二项分布的概率公式计算概率），得分 布列，再由期望公式（二项分布的期望公式）计算出期望． 48．（2021·山东济宁市·高三二模）甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定 先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，各局比赛相互 独立． （1）求甲获胜的概率； （2）设比赛结束时甲和乙共进行了 X 局比赛，求随机变景 X 的分布列及数学期望． 【答案】（1） 64 81 ；（2）分布列见解析，数学期望为107 27 ． 【分析】 （1）根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且甲获胜的概率进而求得甲获胜的概率； （2）随机变量 X 的取值为 3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望. 【详解】 （1）由题意知，比赛三局且甲获胜的概率 3 1 2 8 3 27P      ， 比赛四局且甲获胜的概率为 2 2 2 3 2 1 2 8 3 3 3 27P C        ， 比赛五局且甲获胜的概率为 2 2 2 3 4 2 1 2 16 3 3 3 81P C              ， 所以甲获胜的概率为 1 2 3 8 8 16 64 27 27 81 81P P P P       ． （2）随机变量 X 的取值为 3，4，5， 则   3 32 1 13 3 3 3P X              ，   2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 8 2 104 3 3 3 3 3 3 27 27 27P X C C                   ，   2 2 2 4 2 1 85 3 3 27P X C              ， 所以随机变量 X 的分布列为 X 3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 所以   1 10 8 1073 4 53 27 27 27E X        ． 【点睛】 求随机变量 X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能的全部值； 2、求 X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望    ,E X D X ； 4、若随机变量 X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的 期望和方差的公式求解. 49．（2021·浙江高二期末）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题，规则如下： ①每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分，答错任一 题减 2 分； ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或 等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局； ③每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为 3 1 1 1, , ,4 2 3 4 ，且各题回答正确与否相互之间没有影 响． （Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列． 【答案】（Ⅰ） 1 4 ；（Ⅱ）分布列见详解． 【分析】 （Ⅰ）当累计分数大于或等于 14 分时能进入下一轮，分类讨论利用独立事件乘法公式即可计算概率； （Ⅱ）列出随机变量ξ的可能取值，利用概率乘法公式得出各情况的概率即可求解分布列． 【详解】 设 A，B，C，D 分别为第一，二，三，四个问题．用 Mi(i＝1，2，3，4)表示甲同学第 i 个问题回答正确，用 Ni(i＝1，2，3，4)表示甲同学第 i 个问题回答错误，则 Mi 与 Ni 是对立事件(i＝1，2，3，4)．由题意得，P(M1) ＝ 3 4 ，P(M2)＝ 1 2 ，P(M3)＝ 1 3 ，P(M4)＝ 1 4 ， 所以 P(N1)＝ 1 4 ，P(N2)＝ 1 2 ，P(N3)＝ 2 3 ，P(N4)＝ 3 4 . （Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q， Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4， P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4) ＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4) ＝ 3 4 × 1 2 × 1 3 ＋ 1 4 × 1 2 × 1 3 × 1 4 ＋ 3 4 × 1 2 × 1 3 × 1 4 ＋ 3 4 × 1 2 × 2 3 × 1 4 ＋ 1 4 × 1 2 × 2 3 × 1 4 ＝ 1 4 . （Ⅱ）由题意，随机变量ξ的可能取值为 2，3，4.由于每题答题结果相互独立， 所以 P(ξ＝2)＝ 1 8 ， P(ξ＝3)＝ 3 4 × 1 2 × 1 3 ＋ 3 4 × 1 2 × 2 3 ＝ 3 8 ， P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝ 1 2 . 随机变量ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 1 8 3 8 1 2 【点睛】 思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何 种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公 式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 50．（2021·河南高三其他模拟（文））某企业有甲､乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100 次生产 该产品所用时间的频数分布表如下： 所用的时间(单位：天) 10 11 12 13 甲生产线的频数 10 20 10 10 乙生产线的频数 5 20 20 5 假设订单 A 约定交货时间为 11 天，订单 B 约定交货时间为 12 天(将频率视为概率，当天完成即可交货). （1）为最大可能在约定时间交货，判断订单 A 和订单 B 应如何选择各自的生产线(订单 ,A B 互不影响)； （2）已知甲､乙生产线每次的生产成本均为 3 万元，若生产时间超过 11 天，生产成本将每天增加 5000 元， 求这 100 次生产产品分别在甲､乙两条生产线的平均成本. 【答案】（1）订单 A 选择甲生产线，订单 B 选择乙生产线；（2）甲生产线的平均成本为 3.3 万元，乙生产线 的平均成本为 3.3 万元. 【分析】 （1）设 1 2,A A 分别表示订单 A 选择甲､乙生产线在约定时间交货； 1 2,B B 分别表示订单 B 选择甲､乙生产线 在约定时间交货；根据题中条件，分别求出其对应的概率，即可得出结果； （2）先记 X 为甲生产线的生产成本的取值，Y 为甲生产线的生产成本的取值，由题意，确定 X 与Y 的所 有可能取值，根据（1）分别求出不同取值对应的概率，再由离散型随机变量的期望的概念，直接计算，即 可得出结果. 【详解】 （1）频率分布表如下： 所用的时间(单位：天) 10 11 12 13 甲生产线的频率 0.2 0.4 0.2 0.2 乙生产线的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 设 1 2,A A 分别表示订单 A 选择甲､乙生产线在约定时间交货； 1 2,B B 分别表示订单 B 选择甲､乙生产线在约定 时间交货. 则  1 0.2 0.4 0.6P A     2 0.1 0.4 0.5P A    ，  1 0.2 0.4 0.2 0.8P B     ，  2 0.1 0.4 0.4 0.9P B     ， 所以订单 A 选择甲生产线，订单 B 选择乙生产线. （2）记 X 为甲生产线的生产成本的取值，Y 为甲生产线的生产成本的取值， 由题意可得， X 可能取的值为 3，3.5， 4 ；Y 可能取的值为3，3.5， 4 ； 由（1）可知  3 0.6P X   ，  3.5 0.2P X   ，  4 0.2P X   ，  3 0.5P Y   ，  3.5 0.4P Y   ，  4 0.1P Y   ， 甲生产线的平均成本为   3 0.6 3.5 0.2 4 0.2 3.3E X        万元， 乙生产线的平均成本为   3 0.5 3.5 0.4 4 0.1 3.3E Y        万元. 51．（2021·浙江高二期末）为了纪念中国古代数学家祖冲之，2011 年国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为国际数学节．某校数学文化节中，书吧推出“与 有缘”摸球兑奖活动．规则如下：一只不透明 的箱子里放着完全相同且分别标有编号的八个球（三个 3，一个 1，四个 4），从中一次性任意摸出 3 个球， 根据摸出的 3 个球的编号数字（数字无顺序）兑奖，设一、二、三等奖如下： 获奖等级 3 个球的编号数字 奖品 一等奖 3，1，4 280 元购书卡一张 二等奖 1，3，3 或 1，4，4 140 元购书卡一张 三等奖 3，3，3 或 4，4，4 70 元购书卡一张 其余情况视为无奖，每人只能一次摸球机会． （1）求摸奖者在一次摸球时恰好获得“280 元购书卡一张”的概率； （2）求摸奖者在一次摸奖中获得奖品金额 （单位：元）的分布列与期望． 【答案】（1） 3 14 ；（2）分布列见解析； 的期望为88.75 元． 【分析】 （1）由古典概型概率公式可得； （2）列出 的可能取值，利用分类与分步计数原理先求出各取值对应事件所包含的所有结果数，再利用古 典概型概率公式求概率，最后画分布列，求期望． 【详解】 （1）从 8 个球中一次性任意摸出 3 个球，共有 3 8 56n C  种等可能性的结果. 摸奖者在一次摸球时恰好获得“280 元购书卡一张” ，即 3 个球的编号数字为 3，1，4， 共有 1 1 1 3 1 4 12m C C C  种， 则摸奖者在一次摸球时恰好获得“280 元购书卡一张”的概率 12 3 56 14 mP n    ； （2） 0,70,140,280  ，   3280 14P    ；   1 2 1 2 1 3 1 4 3 8 9140 56 C C C CP C     ；   3 3 3 4 3 8 570 56 C CP C     ；   3 9 5 150 1 14 56 56 28P        ； 故 （单位：元）的分布列为：  0 70 140 280 P 15 28 5 56 9 56 3 14 摸奖者在一次摸奖中获得奖品金额 （单位：元）的期望 15 5 9 30 70 140 280 88.7528 56 56 14E          元． 【点睛】 离散型随机变量分布列的求解步骤： （1）明取值：明确随机变量的可能取值有哪些且每一个取值所表示的意义； （2）求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率.若某个取值概率不易求， 可借助概率和为 1，由 1 减去其他取值概率即可； （3）画表格：按规范要求形式写出分布列； （4）做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 52．（2021·全国高三其他模拟）首次实施新高考的八省（市）于 2021 年 1 月 23 日统一举行了新高考适应性 考试，让考生熟悉考试、志愿填报和高校了解录取的流程及基本方法．在联考结束后，根据联考成绩，考 生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解 高三学生的联考情况，随机抽取了 100 名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段 50,70 ， 70,90 ，  90,110 ， 110,130 ， 130,150 分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，用样本估计总体，求该校学生联考数学成绩的平均值（同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表）； （2）该校准备给有机会冲击强基计划（联考数学成绩不低于 130 分）的学生进行培训，经调查，发现成绩 在 130140, 内的学生愿意参加培训的概率均为 1 2 ，成绩在 140,150 内的学生愿意参加培训的概率均为 2 3 ．已知样本中成绩在 130140, 与 140,150 内的学生人数之比为 2：1，若从样本中成绩不低于 130 分的 学生中随机抽取 2 人，设愿意参加培训的人数为 X ，求 X 的分布列和期望． 【答案】（1）99.6；（2）分布列见解析；期望为 10 9 ． 【分析】 （1）利用平均数的计算公式即可得解；（2）写出 X 的所有可能取值并分别求出相应的概率，即可得分布列 与期望． 【详解】 解：（1）由频率分布直方图可得该校学生联考数学成绩的平均值为 20×（60×0.004+80×0.013+100×0.016+120×0.014+140×0.003）=99.6． （2）依题意，样本中成绩在[130，150]内的人数为 6，则成绩在 130140, 内的人数为 4，在[140，150]内的 人数为 2， 则 X 的所有可能取值为 0，1，2，   2 22 1 1 2 4 4 2 2 2 2 2 6 6 6 C C C C1 1 1 1 530 C 2 C 2 3 C 3 270P X                   ，   22 1 1 2 1 14 4 2 2 2 22 2 2 6 6 6 1 1 1 1 2 1 2 671 2 2 3 2 3 3 3 135 C C C CP X C CC C C                        ，   2 22 1 1 2 4 4 2 2 2 2 2 6 6 6 C C C C1 1 2 2 832 C 2 C 2 3 C 3 270P X                   ． 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 53 270 67 135 83 270 所以   53 67 83 150 100 1 2270 135 270 135 9E X         ． 【点睛】 关键点点睛：此题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列，解题的关键是根据题意正 确的求出每个 X 对应的概率，考查计算能力，属于中档题 53．（2021·全国高三其他模拟（理））近年来，随着我国教育体制改革的深人，学校社团如雨后春笋蓬勃发 展，社团活动作为学生课外活动的重要组成部分，在促进学生身心健康和全面发展､丰富校园文化方面发挥 着积极的作用，某校为了解该校学生参加社团活动的情况，随机调查了该校 40 名学生一学期参加社团活动 的次数，将所得数据按照 4,8 ， 8,12 ， 12,16 ， 16,20 ， 20,24 进行分组，得到如图所示的频率分 布直方图. （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）从样本中参加社团活动的次数在 4,12 的学生中任选 3 人，求这 3 人参加社团活动的次数都在 8,12 内的概率； （3）从样本中参加社团活动的次数在 16,24 的学生中采用分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机 抽取 4 人，记这 4 人中参加社团活动的次数在 20,24 内的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 【答案】（1） 0.0375；（2） 1 6 ；（3）分布列答案见解析，数学期望为1. 【分析】 （1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 1 易求得 a 的值； （2）先分别求出参加社团活动次数在 4,8 ， 8,12 内的人数，再结合古典概型的概率计算公式求解即可； （3）先利用分层抽样的知识分别确定从 16,20 ， 20,24 内抽取的人数，然后求出 X 的所有可能取值及 其对应的概率，即可得 X 的分布列和数学期望. 【详解】 （1）由频率分布直方图的性质，可得 0.025 0.0875 0.075 0.025 4 1a      ， 解得 0.0375a  . （2）由题意得，参加社团活动的次数在 4,8 内的学生共有 0.025 4 40 4   (人)， 参加社团活动的次数在 8,12 内的学生共有 0.0375 4 40 6   (人)， 则从参加社团活动的次数在 4,12 内的学生中任选 3 人， 这 3 人参加社团活动的次数都在 8,12 内的概率 3 6 3 10 C 1 C 6P   . （3）根据频率分布直方图，可得抽取的 8 名学生中，参加社团活动的次数在 16,20 内的有 6 人，在 20,24 内的有 2 人， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2， 且   4 6 4 8 C 30 C 14P X    ，   1 3 2 6 4 R C C 41 C 7P X    ，   2 2 2 6 4 8 C C 32 C 14P X    . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 3 14 4 7 3 14 所以 X 的数学期望   3 4 30 1 2 114 7 14E X        . 【点睛】 随机变量的期望与方差的决策问题的求解策略： 1、求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的分布列，正确运 用期望、方差公式进行计算； 2、要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差的计算公式计算， 则更为简单； 3、在实际问题中，若两个随机变量 1 2,  ，有    1 2E E  或    1 2,E E  比较接近时，就用  1D  与  2D  来比较两个随机变量的稳定程度，即一般地期望最大（或最小）的方案最为最优方案，若各方案的 期望相同，则选择方差最小（最大）的方案作为最优方案. 54．（2021·全国高三其他模拟（理））在高中理科综合试卷中，多项选择题一般是给出 , , ,A B C D 四个选项， 其中全部选对的得 6分，选对但不全的得3分，有选错的得 0 分.在某次考试的理科综合试卷多项选择题第 20 ， 21题中，第 20 题有且只有 ,A B 两个选项符合要求，第 21题有且只有 , ,A B D 三个选项符合要求，甲､乙两 位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的. （1）若甲､乙两位同学每题均随机选取一项，求甲､乙两位同学合计得9分的概率； （2）若甲同学计划每题均随机选取两项，乙同学计划每题均随机选取一项，请根据你学过的概率知识判断 谁的方案更优. 【答案】（1） 3 8 ；（2）乙同学的方案更优. 【分析】 （1）记甲同学得3分为事件 1A ，得 6分为事件 1B ，乙同学得3分为事件 2A ，得 6分为事件 2B  1 1 2P A  ，  1 3 8P B  ，  2 1 2P A  ，  2 3 8P B   9 3 8 M P M 记甲、乙合计得 分为事件 ； （2）记甲同学两题合计得分为 X X 的所有可能取值为 0,3,6,9   50 12P X   ，   53 12P X   ，   16 12P X   ，   19 12P X     5 2E X  ；记乙同学两题合计得分为Y Y 的所有可能取值为 0 3,6,    10 8P Y   ，   13 2P Y   ，   36 8P Y     15 4E Y     E Y E X  乙同学的方 案更优. 【详解】 （1）记甲同学得3分为事件 1A ，则   11 1 1 32 1 2 1 1 1 1 1 4 4 4 4 1 2 CC C CP A C C C C      ； 记甲同学得6分为事件 1B ，   11 32 1 1 1 4 4 1 3 3 2 4 8 CCP B C C      ； 记乙同学得3分为事件 2A ，乙同学得 6分为事件 2B ，同理可得：  2 1 2P A  ，  2 3 8P B  ； 记甲､乙合计得9分为事件 M ，则   1 3 3 1 3 2 8 8 2 8P M      . （2）记甲同学两题合计得分为 X ，其中第 20 题的得分为 1X ，第 21题的得分为 2X ， 由题可知： X 的所有可能取值为 0,3,6,9 ， 则       1 12 1 1 1 32 2 2 1 2 2 2 4 4 5 1 50 0 0 6 2 12 C CC C CP X P X P X C C           ；       22 1 1 32 2 2 1 2 2 2 4 4 5 1 53 0 3 6 2 12 CC C CP X P X P X C C           ；       1 12 1 32 1 2 2 2 4 4 1 1 16 6 0 6 2 12 C CCP X P X P X C C           ；       22 32 1 2 2 2 4 4 1 1 19 6 3 6 2 12 CCP X P X P X C C           ； 甲同学两题合计得分的数学期望   5 5 1 1 50 3 6 912 12 12 12 2E X          ； 记乙同学两题合计得分为Y ，其中第 20 题的得分为 1Y ，第 21题的得分为 2Y ， 由题可知：Y 的所有可能取值为 0 3,6, ， 且       1 1 2 1 1 2 1 1 4 4 1 1 10 0 0 2 4 8 C CP Y P Y P Y C C           ；           11 1 1 32 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 4 4 4 4 3 0 3 3 0 CC C CP Y P Y P Y P Y P Y C C C C              1 3 1 1 1 2 4 2 4 2      ；       11 32 1 2 1 1 4 4 1 3 36 3 3 2 4 8 CCP Y P Y P Y C C           ； 乙同学两题合计得分的数学期望   1 1 3 150 3 68 2 8 4E Y        ； 15 5 4 2  ，即    E Y E X ，乙同学的方案更有利于多得分，乙同学的方案更优. 【点睛】 关键点点睛：利用期望与方差解决决策型问题的关键是明晰离散型随机变量的均值与方差的意义.均值反映 了离散型随机变量取值的平均数，一般在均值相等的情形下，才考虑离散型随机变量的方差和标准差；方 差和标准差反应了离散型随机变量的取值偏离均值的程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中,越 稳定. 55．（2021·全国高三其他模拟）春节是中国人的团圆节， 2021年春节期间，某超市为了给“就地过年”的外 来务工人员营造温馨的新春佳节氛围，在 2 月11日至 2 月17 日期间举行购物抽奖活动，活动规定：凡是一 次性购物满300元的顾客就可以从装有8 个球(其中3个球上写有“牛转乾坤”，另5个球上写有“谢谢惠顾”， 每个球除写的字不同外，其他都相同)的抽奖箱中一次性摸出3个球，只有摸到“牛转乾坤”才能获奖，若3个 球都是“牛转乾坤”，则获一等奖，奖励 20 元；若有 2 个球是“牛转乾坤”，则获二等奖，奖励5元；若只有1 个球是“牛转乾坤”，则获三等奖，奖励 2 元. （1）若一位顾客在此活动期间购物满300元并且参加抽奖，求这位顾客中奖的概率； （2）经统计， 2 月11日有1400人次购物满300元，其中有 280 人次没有参加抽奖，设参加一次抽奖所得 奖金的金额为 X 元，试求 X 的分布列，并求 2 月11日该超市发放奖金总金额的数学期望. 【答案】（1） 23 28 ；（2）分布列见解析，数学期望为3100元. 【分析】 （1）解法一：分别计算出一位顾客中一二三等奖的概率，加和得到结果； 解法二：计算可得一位顾客未中奖的概率，由对立事件概率公式计算可得结果； （2）确定 X 所有可能取值后，计算可得每个取值对应概率，由此得到分布列，并计算得到  E X ，则发 放奖金的数学期望为   1400 280 E X  . 【详解】 （1）解法一：设一位顾客在此活动期间购物满300元参加抽奖且中奖为事件 A ，参加抽奖且中一等奖为事 件 1A ，参加抽奖且中二等奖为事件 2A ，参加抽奖且中三等奖为事件 3A ，则 1 2 3A A A A   ，           3 2 1 1 2 3 3 5 3 5 1 2 3 1 2 3 3 3 3 8 8 8 23 28 C C C C CP A P A A A P A P A P A C C C           . 一位顾客在此活动期间购物满300元参加抽奖且中奖的概率为 23 28 . 解法二：一位顾客在此活动期间购物满300元且参加抽奖，设中奖为事件 A ，则事件 A 的对立事件为 A ，A 为一位顾客在此活动期间购物满 300元参加抽奖且没有中奖，即摸出的3个球都是“谢谢惠顾”，     3 5 3 8 231 1 28 CP A P A C       ， 一位顾客在此活动期间购物满300元参加抽奖且中奖的概率为 23 28 ； （2）依题意得： X 的所有可能取值为 0 ， 2 ，5， 20 ，   3 5 3 8 50 28 CP X C     ，   1 2 3 5 3 8 152 28 C CP X C    ，   2 1 3 5 3 8 155 56 C CP X C    ，   3 3 3 8 120 56 CP X C    ， X 的分布列为： X 0 2 5 20 P 5 28 15 28 15 56 1 56 数学期望   5 15 15 1 1550 2 5 2028 28 56 56 56E X          ，  2 月11日该超市发放奖金总金额的数学期望为     1551400 280 1120 310056E X     元. 【点睛】 关键点点睛：本题求解发放奖金总金额的数学期望的关键是能够根据分布列计算求得一位顾客抽奖获得奖 金的数学期望，进而计算求得奖金总金额的数学期望. 56．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））为了解企业职工对工会工作满意度情况之间的关系，某企业工 会按性别采用分层抽样的方法，从全体企业职工中抽取容量为 200 的样本进行调查．被抽中的职工分别对 工会工作进行评分，满分为 100 分，调查结果显示：最低分为 40 分，最高分为 90 分．随后，企业工会将 男、女职工的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下： 男职工评分结果的频数分布表 分数区间 频数 [40,50) 3 [50,60) 3 [60,70) 16 [70,80) 38 [80,90] 20 为了便于研究，工会将职工对工会工作的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下： 分数 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] 满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 （1）求 m 的值； （2）为进一步改善工会工作，让职工满意，从评分在[40,60) 的男职工中随机抽取 2 人进行座谈，记这 2 人中对工会工作满意度“一般”的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望； （3）以调查结果的频率估计概率，从该企业所有职工中随机抽取一名职工，求其对工会工作“比较满意”的 概率． 【答案】（1） 0.015m  ；（2）分布列见解析，1；（3） 1 5 . 【分析】 （1）根据在频率直方图中所有小矩形的面积之和为 1 进行求解即可； （2）根据古典概型的计算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据古典概型的计算公式，结合频率直方图进行求解即可. 【详解】 解：（1）因为 (0.005 0.020 0.040 0.020) 10 1m      ， 所以 0.015m  ． （2）依题意，随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2． 则 0 2 3 3 2 6 1( 0) 5 C CP X C    ， 1 1 3 3 2 6 3( 1) 5 C CP X C    ， 2 0 3 3 2 6 1( 2) 5 C CP X C    ． 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 故 X 的数学期望 1 3 1( ) 0 1 2 15 5 5E X        ． （3）设事件 M  {随机抽取一名职工，对工会工作服务“比较满意”}． 因为样本人数 200 人，其中男职工共有 80 人， 所以样本中女职工共有 120 人． 由频率分布直方图可知， 女职工对工会工作服务“比较满意”的人数共有：120 0.020 10 24   人． 由频数分布表，可知男职工对工会工作“比较满意”的共有 16 人， 所以随机抽取一名职工，对工会工作“比较满意”的概率为 24 16 1( ) 200 5P M   ． 57．（2021·陕西高三其他模拟（理））核酸检测也就是病毒 DNA 和 RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的 检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是 否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试 验，预备 12 份试验用血液标本，其中 2 份阳性，10 份阴性，从标本中随机取出 n 份分为一组，将样本分成 若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一 检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为 a 元， 记检测的总费用为 X 元. （1）当 3n  时，求 X 的分布列和数学期望； （2）（ⅰ）比较 3n  与 4n  两种方案哪一个更好，说明理由； （ⅱ）试猜想 100 份标本中有 2 份阳性，98 份阴性时， 5n  和 10n  两种方案哪一个更好（只需给出结 论不必证明）. 【答案】(1)分布列见解析；104 11 a ；(2)(ⅰ) 3n  的方案更好一些；(ⅱ) 10n  的方案更好一些. 【分析】 (1)2 份阳性在一组，检测 7 次，各一组，检测 10 次，写出 X 的可能值，求出对应的概率即可得解； (2)(ⅰ)由(1)的思路求出检测总费用 Y 的数学期望并比较大小而得解； (ⅱ)对 5n  和 10n  的两种方案的检测次数的分析即可得解. 【详解】 (1)当 n=3 时，共分 4 组，当 2 份阳性在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 3 次，共检测 7 次， 若 2 份阳性各在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 6 次，共检测 10 次， 检测的总费用 X 的所有可能值为 7a，10a，任意检测有 3 3 3 3 12 9 6 3C C C C 种等可能结果，2 份阳性在一组有 1 1 3 3 3 4 10 9 6 3A C C C C 种等可能结果， 1 1 3 3 3 4 10 9 6 3 3 3 3 3 12 9 6 3 2( 7 ) 11 A C C C CP X a C C C C    ， 9( 10 ) 1 ( 7 ) 11P X a P X a     ， 所以检测的总费用 X 的分布列为： X 7a 10a P 2 11 9 11 X 的数学期望 2 9 104( ) 7 1011 11 11 aE X a a     ； (2)(ⅰ)当 n=4 时，共分 3 组，当 2 份阳性在一组，共检测 7 次，若 2 份阳性各在一组，共检测 11 次， 检测的总费用Y 的所有可能值为 7a，11a，任意检测有 4 4 4 12 8 4C C C 种等可能结果，2 份阳性在一组有 1 2 4 4 3 10 8 4A C C C 种等可能结果， 1 2 4 4 3 10 8 4 4 4 4 12 8 4 3( 7 ) 11 A C C CP Y a C C C    ， 8( 11 ) 1 ( 7 ) 11P Y a P Y a     ， 所以检测的总费用Y 的分布列为： Y 7a 11a P 3 11 8 11 Y 的数学期望 3 8 109 104( ) 7 1111 11 11 11 a aE Y a a      所以 3n  的方案更好一些； (ⅱ) 3n  时检测总次数比 n=4 时的少， 10n  时检测总次数比 5n  时的少，猜想 10n  的方案更好一些. 【点睛】 关键点睛：古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件数． 58．（2021·山东济南市·高三一模）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机 抽取11名考生的数据，统计如下表： 数学成绩 x 46 65 79 89 99 109 110 116 123 134 140 物理成绩 y 50 54 60 63 66 68 0 70 73 76 80 （1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩 y 与数学成绩 x 之间具有线性相关关系，请根据这10 组数据建立 y 关于 x 的回归直线方程，并估计缺考考生 如果参加物理考试可能取得的成绩； （2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布 2( , )N   ，用剔除异常数据后的样本平均 值作为  的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为 的估计值，估计物理成绩不低于 75分的人数Y 的期望. 附：参考数据： 11 1 i i x   11 1 i i y   11 1 i i i x y   11 2 1 i i x     11 2 1 i i y y   2586 8326 1110 660 68586 120426 4770 0.31 上表中的 x ；表示样本中第i 名考生的数学成绩， y ；表示样本中第i 名考生的物理成绩， 11 1 1 11 i i y y    .参 考公式：①对于一组数据： 1 2, , , nu u u ，其方差：  22 2 2 1 1 1 1n n i i i i s u u u un n       .②对于一组数据      1 1 2 2, , , , , ,n nu v u v u v ，其回归直线 ˆˆ ˆv a bu  的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 22 1 ˆ n i i i n i i u v nuv b u nu        ， ˆˆa v bu  .③若随机变量 服从  2,N   ，则 ( ) 0.683P          ， 2 2 0. 55( ) 9P          ， 3 3 0. 97( ) 9P          . 【答案】（1） ˆ 0.31 35y x  ，物理成绩为 69.1；（2）1585. 【分析】 （1）结合题中数据以及公式可得 ˆ 0.31 35y x  ，将 110 代入即可得结果； （2）先得考生的物理成绩服从正态分布  266,9N ，根据正态分布的概率特征不低于 75分的概率，进而得 期望. 【详解】 （1）设根据剔除后数据建立的 y 关于 x 的回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a  ， 剔除异常数据后的数学平均分为 1110 110 10010   ， 剔除异常数据后的物理平均分为 660 0 6610   ， 则 2 2 68586 110 0 10 66 100 2586ˆ 0.31120426 110 10 100 8326b          ， 则 ˆ 66 0.31 100 35a     ， 所以所求回归直线方程为 ˆ 0.31 35y x  . 又物理缺考考生的数学成绩为110， 所以估计其可能取得的物理成绩为 ˆ 0.31 110 35 69.1y     . （2）由题意知 66  ， 因为   211 11 22 2 1 1 66011 4770 11 4437011i i i i y y y y              ， 所以 21 44370 66 81 910       ， 所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布  266,9N ， 则物理成绩不低于 75分的概率为1 0.683 0.15852   ， 由题意可知  ~ 10000,0.1585Y B ， 所以物理成绩不低于 75分的人数Y 的期望 10000 0.1585 1585EY    .