专练 12 概率统计解答题 （30 题）（新高考）
1．（2020·湖北武汉市·武钢三中高二期中）有人收集了某 10 年中某城市居民年收入与某种商品的销售额的相关数
据：
第 n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年收入/亿元 23 28 39 43 49 51 53 56 58 60
商品销售额/万元 14 18 21 26 29 32 35 38 42 45
参考公式：
1
2
1
ˆ , ˆ ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b y bx a
x x
，
参考数据：
10 10
1 1
460, 300, 0.79i i
i i
x y b
（1）建立商品年销售额 y 与居民年收入 x 之间的回归方程；
（2）通过建立的商品年销售额 y 与居民年收入 x 之间的回归方程，估计居民年收入为 65 亿元时，此商品的年销售
额．
【答案】（1） ˆ 0.79 6.34y x ；（2） 45.01（万元）．
【详解】（1）由题意 ˆˆ46, 30, 30 0.79 46 6.34x y a y bx
商品年销售额 y 与居民年收入 x 之间的回归方程为 ˆ 0.79 6.34y x
（2）当 65x 时，根据回归方程估计商品的年销售额 0.79 65 6.34 45.01y
2．（2020·全国高二课时练习）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了 n 名学生进行调查，将调查得
到的学生日均课余读书时间分成[0,10) ，[10,20) ，[20,30) ，[30,40) ，[40,50) ，[50,60]六组，绘制成如图所示
的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于 40 分钟的
学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人.
（1）求 p 和 n 的值；
（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95%以上的把握认为“读书之星”与
性别有关？
非读书之星 读书之星 总计
男
女 10 55
总计
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
2
0P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） 0.01p ， 100n ；（2）列联表答案见解析，没有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.
【详解】（1） (0.005 0.018 0.020 0.022 0.025) 10 1p ，解得： 0.01p ，
所以 10
0. 101 0n .
（2）因为 100n ，所以“读书之星”有100 0.25 25 ，
从而 2×2 列联表如下图所示：
非读书之星 读书之星 总计
男 30 15 45
女 45 10 55
总计 75 25 100
将 2×2 列联表中的数据代入公式计算得
2
2 100 (30 10 15 45) 3.03045 55 75 25K
，
因为3.030 3.841 ，所以没有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.
3．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三其他模拟（理））2021 年 4 月 23 日我校高三学生参加了高考体检，为
了解我校高三学生中男生的体重 y (单位：kg )与身高 x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了 7 位
我校男生的数据，得到如下表格：
序号 1 2 3 4 5 6 7
身高 x ( cm ) 166 180 174 183 178 173 185
体重 y ( kg ) 57 67 59 75 71 62 78
根据表中数据计算得到 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ ˆ1.15y x a .
（1）求 a ；
（2）已知
2
2 1
2
1
ˆ
1
n
i i
i
n
i
i
y y
R
y y
，且当 2 0.9R 时，回归方程的拟合效果非常好；当 20.8 0.9R 时，回归方
程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.( 2R 的结果保留到小数点后
两位)
参考数据：
7 2
1
ˆ 52.36i i
i
y y
.
【答案】（1） 136.55 ；（2）该线性回归方程的拟合效果是良好的，理由见解析.
【详解】（1）由题中数据可得： 166+180+174+183+178+173+185 =1777x ，
57+67+59+75+71+62+78 7 =67y
所以 1.15 67 1.15 177 136.55a y x .
（2）
7 2 2 2 2 2 2 2
1
( 10) 0 ( 8) 8 4 ( 5) 11 407i
i
y y
所以 2 52.361 0.87 0.9407R
所以该线性回归方程的拟合效果是良好的
4．（2021·河南郑州市·高三三模（理））手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模
块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从
流水线上随机抽取 100 件手机芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图 1)：
产品的性能指数在[50，70)的称为 A 类芯片，在[70，90)的称为 B 类芯片，在[90，110]的称为 C 类芯片，以这 100
件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率.
（1）在该流水线上任意抽取 3 件手机芯片，求 C 类芯片不少于 2 件的概率；
（2）该公司为了解年营销费用 x(单位：万元)对年销售量 y(单位：万件)的影响，对近 5 年的年营销费用 ix ；和年
销售量 iy (i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图如图 2 所示.
（i）利用散点图判断， y a bx 和 4y c x (其中 c，d 为大于 0 的常数)哪一个更适合作为年营销费用和年销售量
的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；
（ii）对数据作出如下处理：令 lniu x ， lniv y ，得到相关统计量的值如下表：
5
1
i
i
x
5
1
i
i
y
5
2
1
i
i
x
5
1
i i
i
x y
5
1
i
i
u
5
1
i
i
v
5
2
1
i
i
u
5
1
i i
i
u v
150 725 5500 15750 16 25 56 82.4
根据（i）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（iii）由所求的回归方程估计，当年营销费用为 100 万元时，年销量 y(万件)的预报值.(参考数据： 3.4 30e )
参考公式：对于一组数据 1 1,u v ， 2 2,u v ，…， ,n nu v ，其回归直线 v u 的斜率和截距最小二乘估计
分别为
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
u u v v u v nuv
u u u nu
， v u .
【答案】（1） 44
125
；（2）（i）用 dy c x 更适合；（ii） 1
2ˆ 30y x ；（iii）预报值为 300 万件.
【详解】（1）由频率分布直方图，A､B､C 类芯片所占频率分别为 0.15，0.45，0.4，取出 C 类芯片的概率为 2
5
，
设“抽出 C 类芯片不少于 2 件”为事件 A， 3 2 2
3
2 2 3 44( ) ( ) ( ) .5 5 5 125P A C
（2）（i）由散点图可见明显不是线性，则用 dy c x 更适合；
（ii）由表中数据可得 16 253.2, 55 5u v ，
5
1
5 222
1
5 82.4 5 3.2 5 2.4 0.556 5 3.2 4.85
i i
i
i
i
u v uv
u u
， 5 0.5 3.2 3.4 ，
则 3.4 0.5v u ，则
1
3.4 2ˆln 3.4 0.5ln lny x e x
因为 3.4 30e ，所以 1
2ˆ 30 .y x
（iii）当 100x ， ˆ 30 100=300y .所以年销售量的预报值为 300 万件.
5．（2021·山东临沂市·高三二模）2021 年是“十四五”规划开局之年，也是建党 100 周年．为了传承红色基因，某
学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取 100 人的成绩作为样本，得到成绩的
频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分 x（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于 75 分的学生中随机抽取 7 人查看他们的答题情况，再从这
7 人中随机抽取 3 人进行调查分析，求这 3 人中至少有 1 人成绩在 85,95 内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布 2,N ，已知样本数据的方差为 121，用平均分 x 作为 的近似值，用样本标
准差 s 作为 的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60 分及以上为及格）．
参考数据： 0.6827P ≤ ， 2 2 0.9545P ≤ ， 3 3 0.9973P ．
【答案】（1） 0.035a ；平均分为 71 分；（2） 5
7
；（3） 0.84135．
【详解】（1）由频率分布直方图可得， 0.005 0.25 2 0.01 10 1a ，
解得 0.035a ．
这组样本数据的平均数为
50 0.05 60 0.25 70 0.35 80 0.25 90 0.1 71 ．
所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为 71 分；
（2）自频率分布直方图可知，成绩在 75,85 ， 85,95 内的频率分别为 0.25，0.1．
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的 7 人，成绩在 75,85 内的有 5 人，成绩在 85,95 内的有 2 人．
记事件 A 这 3 人至少有 1 人成绩在 85,95 内
则
2 1 1 2
5 5 5 2
3
7
5
7
C C C CP A C
；
（3）由题意知，样本方差 2 121s ，故 2 11s ，
所以竞赛成绩 2~ 71,11Y N
该校竞赛的及格率 160 1 1 60 82 0.84135
2
P P Y P Y ．
6．（2021·河南高三其他模拟（文））某企业有甲､乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100 次生产该产品
所用时间的频数分布表如下：
所用的时间(单位：天) 10 11 12 13
甲生产线的频数 10 20 10 10
乙生产线的频数 5 20 20 5
假设订单 A 约定交货时间为 11 天，订单 B 约定交货时间为 12 天(将频率视为概率，当天完成即可交货).
（1）为最大可能在约定时间交货，判断订单 A 和订单 B 应如何选择各自的生产线(订单 ,A B 互不影响)；
（2）已知甲､乙生产线每次的生产成本均为 3 万元，若生产时间超过 11 天，生产成本将每天增加 5000 元，求这 100
次生产产品分别在甲､乙两条生产线的平均成本.
【答案】（1）订单 A 选择甲生产线，订单 B 选择乙生产线；（2）甲生产线的平均成本为 3.3 万元，乙生产线的平
均成本为 3.3 万元.
【详解】（1）频率分布表如下：
所用的时间(单位：天) 10 11 12 13
甲生产线的频率 0.2 0.4 0.2 0.2
乙生产线的频率 0.1 0.4 0.4 0.1
设 1 2,A A 分别表示订单 A 选择甲､乙生产线在约定时间交货； 1 2,B B 分别表示订单 B 选择甲､乙生产线在约定时间交
货.
则 1 0.2 0.4 0.6P A
2 0.1 0.4 0.5P A ，
1 0.2 0.4 0.2 0.8P B ，
2 0.1 0.4 0.4 0.9P B ，
所以订单 A 选择甲生产线，订单 B 选择乙生产线.
（2）记 X 为甲生产线的生产成本的取值，Y 为甲生产线的生产成本的取值，
由题意可得， X 可能取的值为 3 ，3.5 ， 4 ；Y 可能取的值为 3 ，3.5 ， 4 ；
由（1）可知 3 0.6P X ， 3.5 0.2P X ， 4 0.2P X ，
3 0.5P Y ， 3.5 0.4P Y ， 4 0.1P Y ，
甲生产线的平均成本为 3 0.6 3.5 0.2 4 0.2 3.3E X 万元，
乙生产线的平均成本为 3 0.5 3.5 0.4 4 0.1 3.3E Y 万元.
7．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））为了解企业职工对工会工作满意度情况之间的关系，某企业工会按
性别采用分层抽样的方法，从全体企业职工中抽取容量为 200 的样本进行调查．被抽中的职工分别对工会工作进行
评分，满分为 100 分，调查结果显示：最低分为 40 分，最高分为 90 分．随后，企业工会将男、女职工的评分结果
按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男职工评分结果的频数分布表
分数区间 频数
[40,50) 3
[50,60) 3
[60,70) 16
[70,80) 38
[80,90] 20
为了便于研究，工会将职工对工会工作的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[40,50) [50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90]
满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意
（1）求 m 的值；
（2）为进一步改善工会工作，让职工满意，从评分在[40,60) 的男职工中随机抽取 2 人进行座谈，记这 2 人中对
工会工作满意度“一般”的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望；
（3）以调查结果的频率估计概率，从该企业所有职工中随机抽取一名职工，求其对工会工作“比较满意”的概率．
【答案】（1） 0.015m ；（2）分布列见解析，1；（3） 1
5 .
【详解】（1）因为 (0.005 0.020 0.040 0.020) 10 1m ，
所以 0.015m ．
（2）依题意，随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2．
则
0 2
3 3
2
6
1( 0) 5
C CP X C
，
1 1
3 3
2
6
3( 1) 5
C CP X C
，
2 0
3 3
2
6
1( 2) 5
C CP X C
．
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P
1
5 3
5
1
5
故 X 的数学期望 1 3 1( ) 0 1 2 15 5 5E X ．
（3）设事件 M {随机抽取一名职工，对工会工作服务“比较满意”}．
因为样本人数 200 人，其中男职工共有 80 人，
所以样本中女职工共有 120 人．
由频率分布直方图可知，
女职工对工会工作服务“比较满意”的人数共有：120 0.020 10 24 人．
由频数分布表，可知男职工对工会工作“比较满意”的共有 16 人，
所以随机抽取一名职工，对工会工作“比较满意”的概率为 24 16 1( ) 200 5P M ．
8．（2021·全国高三其他模拟）为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年
新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：
年份编号 x 1 2 3 4 5
年份 2016 2017 2018 2019 2020
新能源汽车充电站数量 y /个 37 104 147 196 226
（1）已知可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；
（2）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 2024 年该市新能源汽车充电站的数量．
参考数据：
5
1
710i
i
y
，
5
1
2600i i
i
x y
， 5 2
1
149.8i
i
y y
， 10 3.16 ．
参考公式：相关系数
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
，
回归方程 ˆˆ ˆy bx a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， ˆˆa y bx ．
【答案】（1）答案见解析；（2） ˆ 47 1y x ；预测 2024 年该市新能源汽车充电站的数量为 424 个．
【详解】（1）由已知数据得
1 1 2 3 4 5 35x ， 1 710 1425y ，
2 2 2 2
1
5
2 1 0 1 2 10i
i
x x
，
5 5
1 1
5 2600 5 3 142 470i i i i
i i
x x y y x y xy
，
所以 470 0.993.16 149.89r
．
因为 y 与 x 的相关系数近似为 0.9，接近 1，
说明 y 与 x 的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
（2）由（1）得
5
1
2
1
5
470ˆ 4710
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
，
ˆˆ 142 47 3 1a y bx ，
放所求线性回归方程为 ˆ 47 1y x ．
将 2024 年对应的年份编号 9x 代人回归方程得 ˆ 47 9 1 424y ，
故预测 2024 年该市新能源汽车充电站的数量为 424 个．
9．（2021·山东济南市·高三一模）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名
考生的数据，统计如下表：
数学成绩 x 46 65 79 89 99 109 110 116 123 134 140
物理成绩 y 50 54 60 63 66 68 0 70 73 76 80
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩 y 与数学
成绩 x 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立 y 关于 x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理
考试可能取得的成绩；
（2）已知参加该次考试的10000 名考生的物理成绩服从正态分布 2( , )N ，用剔除异常数据后的样本平均值作为
的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为 的估计值，估计物理成绩不低于 75分的人数Y 的期望.
附：参考数据：
11
1
i
i
x
11
1
i
i
y
11
1
i i
i
x y
11
2
1
i
i
x
11 2
1
i
i
y y
2586
8326
1110 660 68586 120426 4770 0.31
上表中的 x ；表示样本中第 i 名考生的数学成绩， y ；表示样本中第i 名考生的物理成绩，
11
1
1
11 i
i
y y
.参考公式：
①对于一组数据： 1 2, , , nu u u ，其方差： 22 2 2
1 1
1 1n n
i i
i i
s u u u un n
.②对于一组数据
1 1 2 2, , , , , ,n nu v u v u v ，其回归直线 ˆˆ ˆv a bu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1
22
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v nuv
b
u nu
，
ˆˆa v bu .③若随机变量 服从 2,N ，则 ( ) 0.683P ， 2 2 0. 55( ) 9P ，
3 3 0. 97( ) 9P .
【答案】（1） ˆ 0.31 35y x ，物理成绩为 69.1；（2）1585 .
【详解】（1）设根据剔除后数据建立的 y 关于 x 的回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a ，
剔除异常数据后的数学平均分为1110 110 10010
，
剔除异常数据后的物理平均分为 660 0 6610
，
则 2 2
68586 110 0 10 66 100 2586ˆ 0.31120426 110 10 100 8326b
，
则 ˆ 66 0.31 100 35a ，
所以所求回归直线方程为 ˆ 0.31 35y x .
又物理缺考考生的数学成绩为110，
所以估计其可能取得的物理成绩为 ˆ 0.31 110 35 69.1y .
（2）由题意知 66 ，
因为
211 11 22 2
1 1
66011 4770 11 4437011i i
i i
y y y y
，
所以 21 44370 66 81 910
，
所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布 266,9N ，
则物理成绩不低于 75分的概率为1 0.683 0.15852
，
由题意可知 ~ 10000,0.1585Y B ，
所以物理成绩不低于 75分的人数Y 的期望
10000 0.1585 1585EY .
10．（2021·辽宁高三其他模拟）第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务
工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成
绩满分100分，现随机抽取了80 名候选者的面试成绩分五组，第一组 45,55 ，第二组 55,65 ，第三组 65,75 ，
第四组 75,85 ，第五组 85,95 ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数
列，第一组和第五组的频率相同.
（1）求 ,a b 的值，并估计这80 名候选者面试成绩平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数
（中位数精确到 0.1）；
（2）已知抽取的80 名候选人中，男生和女生各 40 人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有10人，女生希
望参加张家口赛区志愿服务的人数有 20 人，补全下面 2 2 列联表，问是否有95%的把握认为希望参加张家口赛区
志愿者服务的候选人与性别有关？
男生 女生 总计
希望去张家口赛区 10 20
不希望去张家口赛区
总计 40 40
（3）冰球项目的场地服务需要 5 名志愿者，有 4 名男生和 3 名女生通过该项志愿服务的选拔，需要通过抽签的方
式决定最终的人选，现将5 张写有“中签”和 2 张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的
人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 E X .
参考数据及公式：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bc
a b c d a c b d
， n a b c d .
2
0P k 0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1） 0.005a ， 0.025b ，69.5，69.4；（2）表格见解析，有95%的把握认为希望参加张家口赛区志
愿者服务的候选人与性别有关；（3）分布列见解析， 20
7 .
【详解】（1）由题意可知： 20 10 0.45b a ， (2 0.065) 10 1a b
解得 0.005a ， 0.025b ，
所以平均值等于50 0.05 60 0.25 70 0.45 80 0.2 90 0.05 69.5
中位数等于 0.2 62565 10 69.40.45 9
（2）补全 2 2 列联表：
男生 女生 总计
希望去张家口赛区 10 20 30
不希望去张家口赛区 30 20 50
总计 40 40 80
2
2 80 (10 20 20 30) 5.333 3.84140 40 30 50
，
所以有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关.
（3） X 可能取值为 2,3,4
2 3
4 3
5
7
2( 2) 7
C CP X C
，
3 2
4 3
5
7
4( 3) 7
C CP X C
，
4 1
4 3
5
7
1( 4) 7
C CP X C
，
所以 X 的分布列为：
X 2 3 4
P 2
7
4
7
1
7
所以数学期望 2 4 1 20( ) 2 3 47 7 7 7E X .
11．（2021·全国高三其他模拟）有一种鸡叫五黑鸡，相比于其他鸡，五黑鸡的肉质更好，营养价值更高，随着人
们收入的不断增加，对鸡肉的要求更高了，所以五黑鸡有很大的售卖优势，某养殖户购进一批五黑鸡鸡苗，养殖一
段时间以后准备将该批五黑鸡分批出售，销售后，经统计得到如下数据：
喂养时间/天 160 170 180 190 200 210 220
喂养时间代码 x 1 2 3 4 5 6 7
每只平均售价 y /
元
82 86 92 102 106 112 120
（1）根据表中数据可知可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程．
（2）若喂养天数不超过 180 天的五黑鸡称为小五黑鸡，超过 180 天的称为大五黑鸡，在购买五黑鸡的人中随机调
查了 100 人，得到如下不完整的 2 2 列联表：
购买小五黑鸡 购买大五黑鸡 合计
年轻人 15 35
非年轻人 55
合计 100
补全 2 2 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为购买的五黑鸡的大小与购买者的年龄有关？
（3）在第（2）问的条件下，以频率估计概率，以样本估计总体，为了进一步了解购买者的需求，从所有购买该批
五黑鸡的人中任选 3 人，记购买大五黑鸡的年轻人的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望．
参考公式：回归直线 y a bx 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， a y bx ；
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
2P K k 0.11 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） 45 520
7 7y x ；（2）列联表见解析；有；（3）分布列见解析，数学期望为 3
5
．
【详解】（1）由表中数据得， 1 1 2 3 4 5 6 7 47x ，
1 82 86 92 102 106 112 120 1007y ，
∴ 7 2
1
9 4 1 0 1 4 9 28i
i
x x
，
∴
7
1
3 18 2 14 1 8 0 2 1 6 2 12 3 20 180i i
i
x x y y
，
∴
7
1
7 2
1
180 45
28 7
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
，
∴ 45 520100 47 7a y bx ，
∴ y 关于 x 线性回归方程为 45 520
7 7y x ．
（2）补全的 2 2 列联表如下：
购买小五黑鸡 购买大五黑鸡 合计
年轻人 15 20 35
非年轻人 10 55 65
合计 25 75 100
2
2 100 15 55 10 20 9.158 7.87935 65 25 75K
，
故有 99.5%的把握认为购买的五黑鸡的大小与购买者的年龄有关．
（3）依题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
从所有购买该批五黑鸡的人中任选 1 人，选到购买大五黑鸡的年轻人的概率为 1
5
．
∴
34 640 5 125P X
，
2
1
3
4 1 481 C 5 5 125P X
，
2
2
3
4 1 122 C 5 5 125P X
，
3
3
3
1 13 C 5 125P X
，
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 64
125
48
125
12
125
1
125
解法一 数学期望 64 48 12 1 30 1 2 3125 125 125 125 5E X ．
解法二 易知 13, 5X B
: ，得 1 33 5 5E X ．
12．（2021·辽宁丹东市·高三二模）中药藿香产业化种植已经成为某贫困山区农民脱贫攻坚的重要产业之一，藿香
在环境温度为 15~28℃时生长旺盛，环境温度高于 28℃或低于 15℃时生长缓慢或停止．藿香的株高 y（单位：cm ）
与生长期内环境温度15 x （单位：℃）中的 x 有关，现收集了 13 组藿香生长期内环境温度中的 ix 和株高 iy（ 1i ，
2，…，13）观测数据，得到如图所示的 ,i ix y 散点图．
根据散点图判断，可以利用模型 y a b x 或 dy c x
建立 y 关于 x 的回归方程，令 s x ， 1t x
，统计处
理得到一些数据： ,i is y 的线性相关系数 1 0.8858r ， ,i it y 的线性相关系数 2 0.9953r ． 10.15x ，
109.94y ， 3.04s ， 0.16t ，
13
1
13 13.94i i
i
s y sy
，
13
1
13 2.10i i
i
t y ty
，
13
2 2
1
13 11.67i
i
s s
，
13
2 2
1
13 0.21i
i
t t
，
13
2 2
1
13 21.22i
i
y y
．用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为 y 关于 x 的回归
方程，并求这种模型的回归方程，由此预测这种中药藿香在生长期内的环境温度为 20℃时的株高（株高精确到 1）．
附：对于一组数据 i i,u v （ 1i ，2，3，…， n ），其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v nuv
u nu
， ˆˆ v u ．
【答案】 dy c x
适宜作为 y 与 x 的回归方程模型； 10ˆ 111.54y x
；预测这种中药藿香在生长期内的环境温度
为 20℃时的株高为110cm ．
【详解】因为 1 0.8858r ， 2 0.9953r ，所以 1 2 1r r ，所以 dy c x
适宜作为 y 与 x 的回归方程模型．
因为
13
1
13
2 2
1
13 2.1ˆ 100.2113
i
i
i
i
ty ty
d
t t
， ˆˆ 109.94 10 0.16 111.54c y dt ．
所以 y 关于 x 的回归方程为 10ˆ 111.54y x
．
当 20x = 时， 10ˆ 111.54 111.04 11120y
因此预测这种中药藿香在生长期内的环境温度为 20℃时的株高为111cm ．
13．（2021·陕西高三其他模拟（理））核酸检测也就是病毒 DNA 和 RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验
方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒
核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备 12 份试验
用血液标本，其中 2 份阳性，10 份阴性，从标本中随机取出 n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本
中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标
本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为 a 元，记检测的总费用为 X 元.
（1）当 3n 时，求 X 的分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）比较 3n 与 4n 两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想 100 份标本中有 2 份阳性，98 份阴性时， 5n 和 10n 两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证
明）.
【答案】(1)分布列见解析；104
11
a ；(2)(ⅰ) 3n 的方案更好一些；(ⅱ) 10n 的方案更好一些.
【详解】(1)当 n=3 时，共分 4 组，当 2 份阳性在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 3 次，共检测 7 次，
若 2 份阳性各在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 6 次，共检测 10 次，
检测的总费用 X 的所有可能值为 7a，10a，任意检测有 3 3 3 3
12 9 6 3C C C C 种等可能结果，2 份阳性在一组有 1 1 3 3 3
4 10 9 6 3A C C C C
种等可能结果，
1 1 3 3 3
4 10 9 6 3
3 3 3 3
12 9 6 3
2( 7 ) 11
A C C C CP X a C C C C
， 9( 10 ) 1 ( 7 ) 11P X a P X a ，
所以检测的总费用 X 的分布列为：
X 7a 10a
P 2
11
9
11
X 的数学期望 2 9 104( ) 7 1011 11 11
aE X a a ；
(2)(ⅰ)当 n=4 时，共分 3 组，当 2 份阳性在一组，共检测 7 次，若 2 份阳性各在一组，共检测 11 次，
检测的总费用Y 的所有可能值为 7a，11a，任意检测有 4 4 4
12 8 4C C C 种等可能结果，2 份阳性在一组有 1 2 4 4
3 10 8 4A C C C 种等
可能结果，
1 2 4 4
3 10 8 4
4 4 4
12 8 4
3( 7 ) 11
A C C CP Y a C C C
， 8( 11 ) 1 ( 7 ) 11P Y a P Y a ，
所以检测的总费用Y 的分布列为：
Y 7a 11a
P 3
11
8
11
Y 的数学期望 3 8 109 104( ) 7 1111 11 11 11
a aE Y a a
所以 3n 的方案更好一些；
(ⅱ) 3n 时检测总次数比 n=4 时的少， 10n 时检测总次数比 5n 时的少，猜想 10n 的方案更好一些.
14．（2021·河南安阳市·高三一模（理））乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励
学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班
报名学生进行选拔，选取 3 名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技.
（Ⅰ）若高三（1）班共有 6 名男生和 4 名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三（1）班选拔的校内终极
赛参赛选手均为男生的概率.
（Ⅱ）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手 A，B，C 对抗，甲、乙、丙获胜的概
率分别为 2
3
， p ，1 p ，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记 为在这次对抗中高三（1）班 3 名选手获胜
的人数， 1
120P .
（ⅰ）求 p ；
（ⅱ）求随机变量 的分布列与数学期望 E .
【答案】（Ⅰ） 1
6
；（Ⅱ）（ⅰ） 1
2
；（ⅱ）分布列见解析， 5
3 .
【详解】（Ⅰ）设“高三（1）班选拔的参数选手均为男生”为事件 A ，则
3
6
3
10
1
6
C
CP A ；
（Ⅱ）（ⅰ）由题意 2 1 10 1 1 1 1 13 3 12p pP p p
，解得 1
2p ；
（ⅱ）随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，
所以 1
120P ，
2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3P ，
2 1 1 2 1 1 1 1 1 52 3 2 2 3 2 2 3 2 2 12P ，
2 1 1 13 3 2 2 6P ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
P 1
12
1
3
5
12
1
6
所以 的数学期望 1 1 5 1 50 1 2 312 3 12 6 3E .
15．（2021·山西太原市·高三一模（文））某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，
决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游
部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽
取的 100 位游客的满意度调查表.
满意度
老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
（1）由表中的数据分析，老年人､中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取 2 人征集改造
建议，求这 2 人中有老年人的概率.
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
【答案】（1）老年人更倾向于选择报团游；（2） 2
5
；（3）建议他选择报团游.
【详解】（1）由表中数据可得老年人､中年人和青年人选择报团游的频率分别为：
1 2 3
15 5 30 3 22 11, ,18 6 40 4 42 21P P P ，
∵ 1 2 3P P P ，
∴老年人更倾向于选择报团游.
（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有 1 人，记为 a ，中年人有 2 人，记为 ,b c ，青年人有 2
人，记为 ,d e ，
从中随机先取 2 人，基本事件共 10 个，分别为：
, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，
其中这 2 人中有老年人包含的基本事件有 4 个，分别为：
, , , , , , ,a b a c a d a e ，
∴这 2 人中有老年人的概率为 4 2
10 5P .
（3）根据表中的数据，得到：
报团游的满意率为 4
12 18 15 45
15 30 22 67P
，
自助游的满意率为 5
1 4 6 1
3 10 20 3P
，
∵ 4 5P P ，∴建议他选择报团游.
16．（2021·湖北高三其他模拟）现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对
空导弹的命中率约为 20%，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的
概率也不尽相同.在一次演习中，红方的甲､乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为 1
3
和
1
4
，两名飞行员各携带 4 枚空对空导弹.
（1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相
互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？
（2）蓝方机群共有 8 架战机，若甲､乙共同攻击(战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙
不同时攻击同一架战机).
①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为 X，求 X 的分布列；
②若实施两轮攻击(用完携带的导弹)，记命中蓝方战机数为 Y，求 Y 的数学期望 E(Y).
【答案】（1） 65
81
；（2）①分布列答案见解析；② 7
3 .
【详解】设甲､乙两名飞行员发射的第 i 枚导弹命中对方战机分别为事件 ,i iA B ，则 1
3iP A ， 1
4iP B .
（1）设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件 M，则 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4M A A A A A A A A A A ，
所以 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4( )P M P A A A A A A A A A A
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4P A P A A P A A A P A A A A
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A
1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 65
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
.
（2）① 0,1,2,3,4X ，则
2 22 3 1( 0) 3 4 4P X
，
2 2
1 1
2 2
1 2 3 2 1 3 5( 1) 3 3 4 3 4 4 12P X C C
，
2 2 2 2
1 1
2 2
1 3 2 1 1 2 1 3 37( 2) 3 4 3 4 3 3 4 4 144P X C C
，
2 2
1 1
2 2
1 1 3 1 1 2 5( 3) 3 4 4 4 3 3 72P X C C
，
2 21 1 1( 4) 3 4 144P X
，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1
4
5
12
37
144
5
72
1
144
②记两轮攻击中甲命中战机数为 1Y ，则 1
1~ 4, 3Y B
，乙命中战机数为 2Y ，则 2
1~ 4, 4Y B
，
所以 1 2
4 4 7( ) 3 4 3E Y E Y E Y .
17．（2021·安徽黄山市·高三二模（文））2021 年 3 月 5 日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出
了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市
工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的
人数如表．
月收入（单位百
元）
15,25 25,35 35,45 45,55 55,65 65,75
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 1 2 3 5 3 4
（1）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 99%的把握认为“月收入以 55 百元为分
界点”对延迟退休政策的态度有差异；
月收入高于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样从月收入在 25,35 和 65,75 的被调查人中选取 6 人进行跟踪调查，并随机给其中 3 人发放
奖励，求获得奖励的 3 人中至少有 1 人收入在 65,75 的概率．
（参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ）
2P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）表格见解析，没有；（2） 4
5 .
【详解】
（1）2×2 列联表如下：
月收入高于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计
赞成 7 11 18
不赞成 3 29 32
合计 10 40 50
∴ 2
2 50 7 29 3 11 6.27 6.63510 40 32 18K
，
所以没有 99%的把握认为“月收入以 55 百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．
（2）按照分层抽样方法可知，月收入在 25,35 的抽 4 人，记为 , , ,a b c d ，月收入在 65,75 的抽 2 人，记为 ,A B ，
则从 6 人中任取 3 人的所有情况为：
, ,A B a 、 , ,A B b 、 , ,A B c 、 , ,A B d 、 , ,A a b 、 , ,A a c 、 , ,A a d 、
, ,A b c 、 , ,A b d 、 , ,A c d 、 , ,B a b 、 , ,B a c 、 , ,B a d 、 , ,B b c 、
, ,B b d 、 , ,B c d 、 , ,a b c 、 , ,a b d 、 , ,a c d 、 , ,b c d ，共 20 种，
其中至少有一人月收入在 65,75 的情况有 16 种，
所以 3 人中至少有 1 人月收入在 65,75 的概率为 16 4
20 5= ．
18．（2021·全国高三月考（文））某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 (g)y 与尺寸
(mm)x 之间近似满足关系式 by c x （b，c 为大于 0 的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
,9 7
e e
内时为优等品.现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下：
尺寸 (mm)x 38 48 58 68 78 88
质量 (g)y 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 y
x 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
（1）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 2 件，求恰好取到 1 件优等品的概率；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
6
1
ln lni i
i
x y
6
1
ln i
i
x
6
1
ln i
i
y
6 2
1
ln i
i
x
75.3 24.6 18.3 101.4
根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程；
附：对于样本 ( , )( 1,2, ,6)i iv u i ，其回归直线 u b v a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
ˆ ˆˆ, , 2.7183
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
v v u u v u nv u
b a u bv e
v v v nv
【答案】（1） 3
5
；（2） 1
2y ex .
【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间 ,9 7
e e
内，即 (0.302,0.388)y
x
则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，记作：A、B、C；
3 件为非优等品，记作：a、b、c.
从抽取的 6 件合格产品中任选 2 件产品，
列出事件如下： AB AC BC ab ac bc Aa Ba Ca Ab Bb Cb Ac Bc Cc
记：从抽取的 6 件合格产品中再任选 2 件，恰好取到 1 件优等品为事件 A，
则： 3( ) 5P A
（2）解：对 ( , 0)by c x b c 两边取自然对数得： ln ln lny c b x ，
令 ln , lni i i iv x u y ，得 u b v a ，且 lna c e，根据所给统计量及最小二乘估计公式有，
1
2
2 2
1
75.3 24.6 18.3 6 0.27 1ˆ
101.4 24.6 6 0.54 2
n
i
i
n
i
i
iv u nvu
b
v nv
，
1ˆˆ 18.3 24.6 6 12
a u bv ，得 ˆ ˆln 1 a c ，故 ˆc e ，
所以 y 关于 x 的回归方程为 1
2y ex .
19．（2021·全国高三其他模拟）《讲课中国行动（2019—2030 年）》包括 15 个专项行动，其中全民健身行动提出
鼓励公众每周进行 3 次以上、每次 30 分钟以上中等强度运动，或者累计 150 分钟中等强度 75 分钟高强度身体活动.
日常生活中要尽量多动，达到每天 6 千步～10 千步的身体活动量.某高校从该校教职工中随机抽取了若干名，统计
他们的人均步行数（均在 2 千步～14 千步之间），得到的数据如下表：
日均步行数/千步 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12
12,14
人数 12 24 a 24 b 9
频率 0.08 0.16 0.4 0.16 c 0.06
（1）求 a ，b ， c 的值；
（2）“每天运动一小时，健康工作五十年”，学校为了鼓励教职工积极参与锻炼，决定对日均步行数不低于 m 千步
的教职工进行奖励，为了使全校 30%的教职工得到奖励，试估计 m 的值；
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，从该校得到奖励的教职工中随机收取 3 人，设这 3 人中日均步行数
不低于 10 千步的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1） 60a ， 21b ， 0.14c ；（2） 8.75m ；（3）分布列见解析， 2 .
【详解】（1）由题意得： 12
0.08 0.4
a ，解得： 60a ； 1 0.08 0.16 0.4 0.16 0.06 0.14c ；则
12
0.08 0.14
b b
c
，解得： 21b .
（2）日均步行数在 10,14 内的频率为： 0.14 0.06 0.2 ，
日均步行数在 8,14 内的频率为 0.16 0.14 0.06 0.36 ，
则 0.1610 0.14 0.06 0.32m ，解得： 8.75m .
当 8.75m 时，全校30% 的教职工能够得到奖励.
（3）由题意知：该校得到奖励的教职工在全校教职工中所占的比例为 0.3，
日均步行数不低于10千步的教职工在得到奖励的教职工所占的比例为 0.14 0.06 2
0.3 3
， 23, 3X B ，
31 10 3 27P X
，
2
1
3
2 1 21 3 3 9P X C
，
2
2
3
2 1 42 3 3 9P X C
，
32 83 3 27P X
，
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1
27
2
9
4
9
8
27
数学期望 23 23E X .
20．（2021·全国高三其他模拟（理））近年来，随着我国教育体制改革的深人，学校社团如雨后春笋蓬勃发展，
社团活动作为学生课外活动的重要组成部分，在促进学生身心健康和全面发展､丰富校园文化方面发挥着积极的作
用，某校为了解该校学生参加社团活动的情况，随机调查了该校 40 名学生一学期参加社团活动的次数，将所得数
据按照 4,8 ， 8,12 ， 12,16 ， 16,20 ， 20,24 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 a 的值；
（2）从样本中参加社团活动的次数在 4,12 的学生中任选 3 人，求这 3 人参加社团活动的次数都在 8,12 内的概
率；
（3）从样本中参加社团活动的次数在 16,24 的学生中采用分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 4
人，记这 4 人中参加社团活动的次数在 20,24 内的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
【答案】（1） 0.0375；（2） 1
6
；（3）分布列答案见解析，数学期望为1.
【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得 0.025 0.0875 0.075 0.025 4 1a ，
解得 0.0375a .
（2）由题意得，参加社团活动的次数在 4,8 内的学生共有 0.025 4 40 4 (人)，
参加社团活动的次数在 8,12 内的学生共有 0.0375 4 40 6 (人)，
则从参加社团活动的次数在 4,12 内的学生中任选 3 人，
这 3 人参加社团活动的次数都在 8,12 内的概率
3
6
3
10
C 1
C 6P .
（3）根据频率分布直方图，可得抽取的 8 名学生中，参加社团活动的次数在 16,20 内的有 6 人，在 20,24 内的
有 2 人，
所以 X 的所有可能取值为 0，1，2，
且
4
6
4
8
C 30 C 14P X ，
1 3
2 6
4
R
C C 41 C 7P X ，
2 2
2 6
4
8
C C 32 C 14P X .
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 3
14
4
7
3
14
所以 X 的数学期望 3 4 30 1 2 114 7 14E X .
21．（2021·新疆阿勒泰地区·布尔津县高级中学高三三模（理））实施乡村振兴战略，优先发展教育事业．教育既
承载着传播知识､塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决
落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局从 6 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分 3 批
次进行，每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从 6 人中随机抽选
（1）求 6 名优秀教师中的“甲”在这 3 批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（2）某接受支教学校需要 3 名教师完成一项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位
教师在一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师，且无论第三位教师能否完成任务，均不再指派教师．现
只有本校教师 A 与支教教师 B，C 三人可派，他们各自完成任务的概率分别为 1 2 3, ,p p p ，假设 3 2 1 1p p p ，
且三人能否完成任务相互独立．若教师 A 因个人原因要求第一个被派出，之后按某种指定顺序派人，试分析以怎
样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小．
【答案】（1） 4
9
；（2）按照先 A 后 B 再C 的顺序派出所需人数学期望最小．
【详解】（1）依题意，6 名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中被抽取到概率为
1
5
2
6
1
3
C
C
，
则三次抽取中“甲”恰有一次被抽取到的概率为
2
1
3
1 413 3 9
1
P C
（2）设 X 表示先 A 后 B 再C 完成任务所需人员数目，则
X
1 2 3
P
1p 1 21 p p 1 21 1p p
1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 3 1 1 2 3E X p p p p p p p p p
设Y 表示先 A 后C 再 B 完成任务所需人员数目，则
Y
1 2 3
P 1p 1 31 p p
1 31 1p p
1 1 3 1 3 1 3 1 32 1 3 1 1 2 3E Y p p p p p p p p p
又 1 3 21 0E Y E X p p p
故按照先 A 后 B 再C 的顺序派出所需人数学期望最小．
22．（2021·江苏南京市·高三三模）某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学 40 局接球训
练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得
到如图所示的频率分布直方图.
（1）同一组数据用该区间的中点值作代表，
①求该同学 40 局接球训练成绩的样本平均数 x ；
②若该同学的接球训练成绩 X 近似地服从正态分布 ,100N ，其中 近似为样本平均数 x ，求 54 64P X
的值；
（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛.一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80 分为获
胜，否则教练获胜.若有人获胜达3 局，则比赛结束，记比赛的局数为Y .以频率分布直方图中该同学获胜的频率作
为概率，求 E Y .
参考数据：若随机变量 2~ ,N ，则 0.6827P ， 2 2 0.9545P ，
3 3 0.9973P .
【答案】（1）① 74x ；② 54 64 0.1359P X ；（2） 483
128E Y .
【详解】（1）①由频率分布直方图可得 55 0.1 65 0.2 75 0.45 85 0.2 95 0.05 74x ；
②可知 74 ， 10 ，则54 2 ， 64 ，
所以， 2 254 64 2 2
P PP X P X
0.1359 ；
（2）由频率分布直方图可知，在一局中，该同学得分达到80 分的概率为 10.02 0.005 10 4
，
由题意可知，随机变量Y 的可能取值有 3 、 4 、 5 ，
3 31 3 73 4 4 16P Y
，
2 2
2 2
3 3
1 1 3 3 3 1 454 4 4 4 4 4 4 128P Y C C
，
2 2 2 2
2 2
4 4
1 1 3 3 3 1 275 4 4 4 4 4 4 128P Y C C
，
所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：
Y 3 4 5
P 7
16
45
128
27
128
因此， 7 45 27 4833 4 516 128 128 128E Y .
23．（2021·全国高三其他模拟）某小区物业从某供应商购进定量小包装果蔬，供本小区居民扫码自行购买，每份
成本 20 元，售价 25 元，若当天没有售出，供应商以每份 15 元回收．
（1）若某天物业购进 21 份，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 n（单位：份，nN ）的函数解析式．
（2）物业对 20 天该小区对这种小包装果蔬的日需求量（单位：份）进行统计，得到条形图如图：
①若这 20 天物业每天购进 21 份，求这 20 天的日平均利润；
②从日需求量为 20 与 21 的 6 天中任取 1 天、日需求量为 23 与 24 的 6 天中任取 1 天，若抽取的 2 天的日需求量之
和为 X ，求 X 的分布列与数学期望．
【答案】（1） 10 105, 21,
105, 21,
n ny n
nN ；（2）①101.5（元）；②分布列见解析；期望为 44 ．
【详解】（1）当 21n 时，日利润 25 20 21 105y ，
当 21n < 时，日利润 5 5 21 10 105y n n n ， nN ．
∴ y 关于 n 的函数解析式为 10 105, 21,
105, 21,
n ny n
nN ．
（2）①由（1）知，日利润为 75 元的天数为 1，日利润为 85 元的天数为 1，日利润为 95 元的天数为 2，日利润为
105 元的天数为 16，
这 20 天的日平均利润为 1 75 1 85 1 95 2 105 16 101.520
（元）．
②由题知，日需求量为 20 的天数为 2，日需求量为 21 的天数为 4，日需求量为 23 的天数为 4，日需求量为 24 的天
数为 2， X 的所有可能取值为 43，44，45，
且 4
1 1
2
1 1
6 6
C C 243 C C 9P X ，
1 1 1 1
2 2 4 4
1 1
6 6
C C C C 544 C C 9P X ，
1 1
4 2
1 1
6 6
245 9
C CP X C C
，
∴ X 的分布列为
X 43 44 45
P 2
9
5
9
2
9
∴ 2 5 243 44 45 449 9 9E X ．
24．（2021·全国高三其他模拟）春节是中国人的团圆节，2021年春节期间，某超市为了给“就地过年”的外来务工
人员营造温馨的新春佳节氛围，在 2 月11日至 2 月17 日期间举行购物抽奖活动，活动规定：凡是一次性购物满300
元的顾客就可以从装有8 个球(其中 3 个球上写有“牛转乾坤”，另 5 个球上写有“谢谢惠顾”，每个球除写的字不同外，
其他都相同)的抽奖箱中一次性摸出 3 个球，只有摸到“牛转乾坤”才能获奖，若 3 个球都是“牛转乾坤”，则获一等奖，
奖励 20 元；若有 2 个球是“牛转乾坤”，则获二等奖，奖励5 元；若只有1个球是“牛转乾坤”，则获三等奖，奖励 2
元.
（1）若一位顾客在此活动期间购物满 300 元并且参加抽奖，求这位顾客中奖的概率；
（2）经统计， 2 月11日有1400人次购物满300 元，其中有 280 人次没有参加抽奖，设参加一次抽奖所得奖金的
金额为 X 元，试求 X 的分布列，并求 2 月11日该超市发放奖金总金额的数学期望.
【答案】（1） 23
28
；（2）分布列见解析，数学期望为3100元.
【详解】（1）解法一：设一位顾客在此活动期间购物满 300 元参加抽奖且中奖为事件 A ，参加抽奖且中一等奖为
事件 1A ，参加抽奖且中二等奖为事件 2A ，参加抽奖且中三等奖为事件 3A ，则 1 2 3A A A A ，
3 2 1 1 2
3 3 5 3 5
1 2 3 1 2 3 3 3 3
8 8 8
23
28
C C C C CP A P A A A P A P A P A C C C
.
一位顾客在此活动期间购物满300 元参加抽奖且中奖的概率为 23
28 .
解法二：一位顾客在此活动期间购物满300元且参加抽奖，设中奖为事件 A ，则事件 A 的对立事件为 A ， A 为一
位顾客在此活动期间购物满300 元参加抽奖且没有中奖，即摸出的 3 个球都是“谢谢惠顾”，
3
5
3
8
231 1 28
CP A P A C
，
一位顾客在此活动期间购物满300 元参加抽奖且中奖的概率为 23
28
；
（2）依题意得： X 的所有可能取值为 0 ， 2 ， 5 ， 20 ，
3
5
3
8
50 28
CP X C
，
1 2
3 5
3
8
152 28
C CP X C
，
2 1
3 5
3
8
155 56
C CP X C
，
3
3
3
8
120 56
CP X C
，
X 的分布列为：
X 0 2 5 20
P 5
28
15
28
15
56
1
56
数学期望 5 15 15 1 1550 2 5 2028 28 56 56 56E X ，
2 月11日该超市发放奖金总金额的数学期望为 1551400 280 1120 310056E X 元.
25．（2021·黑龙江大庆市·高二期中（理））作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国 2020
－2021 年度棉花产量约 595 万吨，总需求量约 780 万吨，年度缺口约 185 万吨.其中，新疆棉产量 520 万吨，占国
内产量比重约 87%，占国内消费比重约 67%.新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，
做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求.评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土
壤环境不同的 A、B 两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从 A、
B 两地的棉花中各随机抽取 40 根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于 300mm 的为“长纤维”，其
余为“短纤维”）.
纤维长度 (0,100) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500]
A 地（根数） 4 9 2 17 8
B 地（根数） 2 1 2 20 15
（1）由以上统计数据，填写下面 2 2 列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为“纤维长度与土
壤环境有关系”( 2K 的观测值精确到 0.001) .
A 地 B 地 总计
长纤维
短纤维
总计
附：（1）
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
（2）临界值表；
2
0( )P K k
0．10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）现从抽取的 80 根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取 2 根做进一步研究，记Ｂ地“短纤维”的根数为ξ，求ξ的分布
列和数学期望.
（3）根据上述 B 地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将 B 地“长纤维”的频率视为概率，现从 B 地棉花（大量的棉
花）中任意抽取 3 根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
【答案】（1）表格见解析，可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”；（2）分
布列见解析， 1
2
；（3）分布列见解析， 21
8 .
【详解】（1）根据已知数据得到如下 2 2 列联表：
A 地 B 地 总计
长纤维 25 35 60
短纤维 15 5 20
计 40 40 80
根据 2 2 列联表中的数据，可得
2
2 80 (25 5 15 35) 6.66740 40 20 60K
，
因为 6.667 6.635 ，
所以可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”；
（2）由题意可知，抽取的 80 根棉花纤维中“短纤维”有 20 根，A 地 15 根，B 地 5 根，从中任意抽取 2 根做进一步
研究，则Ｂ地“短纤维”的根数 的可能取值为：0，1，2，
2
15
2
20
21( 0) 38
CP C
，
1 1
15 5
2
20
15( 1) 38
C CP C
，
2
5
2
20
1( 2) 19
CP C
，
故 的分布列为：
0 1 2
P 21
38
15
38
1
19
所以 21 15 1 1( ) 0 1 238 38 19 2E ；
（3）由表中数据可知，抽到的棉花为“长纤维”的概率为 35 7
40 8
，
依题意，将 B 地“长纤维”的频率视为概率，从 B 地棉花（大量的棉花）中任意抽取 3 根棉花，则抽取的“长纤维”的
根数 7~ 3, 8X B
，
所以
3
0
3
7 1( 0) 1 8 512P X C
，
2
1
3
7 7 21( 1) 18 8 512P X C
，
2
2
3
7 7 147( 2) 18 8 512P X C
，
3
3
3
7 343( 3) 8 512P X C
．
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
512
21
512
147
512
343
512
故 X 的期望为 7 213 8 8E X .
26．（2021·湖北高三月考）随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等
视频自媒体 APP，几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各
行各业办公室，对市民进行调研，发现约有 2
5
的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取
3 人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等．
（1）记 表示发过抖音视频的人数，求 的分布列；
（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发
过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发
过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过 *n nN 次，（其中 n 小于当次调查的总人数），在抽样结
束时，抽到的没发过抖音视频的人数为 ，求 的数学期望．
【答案】（1）答案见解析；（2） 3 3( ) 12 5
n
E
．
【详解】（1）由题意知 23,
5
B
，故 的所有可能为 0 ，1， 2 ， 3 ．
3
0
3
3 27( 0) C
5 125
P
，
2
1
3
2 3 54( 1) C
5 5 125
P
，
2
2
3
3 2 36( 2) C
5 5 125
P
，
3
3
3
2 8( 3) C
5 125
P
， 的分布列为
0 1 2 3
P 27
125
54
125
36
125
8
125
（2）依题意， 的所有可能的值是 0 ，1， 2 ，…， n ．
当 0 1k n ≤ ≤ 时， 2 3( )
5 5
k
P k
；
当 k n 时， 3( )
5
n
P k
，
22 2 3 2 3( ) 0 1 2
5 5 5 5 5
E
12 3 3( 1)
5 5 5
n n
n n
，①
2 33 2 3 2 3( ) 1 2
5 5 5 5 5
E
12 3 3( 1)
5 5 5
n n
n n
，②
由①-②，得
22 2 3 2 3( )
5 5 5 5 5
E
1 12 12 3 3 3
5 5 5 5 5
n n nnn n
，
2 3 3( )
5 5 5
n
E
2 3 3 315 5 5 5
n n
，
3 3( ) 12 5
n
E
．
27．（2021·陕西高三三模（理））甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙
三人先分别坐在圆桌的 A ， B ，C 三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按
逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，
如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率
分别为 2
3
， 1
3
， 1
2
且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到 2 场，
游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了 3 场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了 3 场后结束，记甲获胜的场数为 X ，求 X 的分布列与数学期望．
【答案】（1） 1
6
；（2）分布列见解析；期望为 155
144
．
【详解】（1）甲赢两场，分下面三种情况
①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜
概率为： 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1
2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 18
；
②第一场甲输，二三场均胜
概率为： 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 18
；
③第一场甲胜，第二场输，第三场胜
概率为： 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 18
；
由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了 3 场且甲晋级的概率为： 1 1 1 1
18 18 18 6
.
（2）依题意 X 的所有可能取值为 0 ，1， 2
由（1）知 1( 2) 6P X ，
当比赛进行了 3 场后结束，甲获胜的场数为 X 0 时，
分两种情况：
3 场比赛中甲参加了 1 场，输了,概率为： 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 16
3 场比赛中甲参加了 2 场，都输了，概率为： 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1
2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 36
3 场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到 3 场.
所以 1 1 13( 0) 16 36 144P X ，
故 13 1 107( 1) 1 ( 0) ( 2) 1 144 6 144P X P X P X ，
故 X 的分布列为
X 0 1 2
P 13
144
107
144
1
6
则 13 107 1 155( ) 0 1 2144 144 6 144E X ．
28．（2021·安徽高三月考（理））公元 1651 年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学
家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也
加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定
谁先赢 *1,k k k N 局，谁便赢得全部奖金 a 元.每局甲赢的概率为 0 1p p ，乙赢的概率为1 p ，且每场
比赛相互独立.在甲赢了 m m k 局，乙赢了 n n k 局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家
给出的答案是：如果出现无人先赢 k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖
金的概率之比 :P P甲 乙 分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢 k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的
概率之比 :P P甲 乙 分配奖金.若 4k ， 2m ， 1n ， 3
4p ，求 :P P甲 乙 .
（2）记事件 A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当 4k ， 2m ， 1n 时比赛继续进行下去甲赢得
全部奖金的概率 f p ，并判断当 4
5p 时，事件 A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概
率小于 0.05，则称该随机事件为小概率事件.
【答案】（1） 243:13 ；（2）答案见解析.
【详解】
（1）设比赛再继续进行 X 局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行 4 局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当 2X 时，甲以 4:1赢，所以 3 3 92 4 4 16P X ；
当 3X 时，甲以 4: 2 赢，所以 1
2
3 1 3 93 4 4 4 32P X C ；
当 4X 时，甲以 4:3赢，所以
2
2
3
1 3 3 274 4 4 4 256P X C
.
所以，甲赢的概率为 9 9 27 243
16 32 256 256
.
所以， : 243:13P P 甲 乙 ；
（2）设比赛继续进行Y 局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当 3Y 时，乙以 4: 2 赢， 33 1P Y p ；
当 4Y 时，乙以 4:3赢， 3 31
34 1 3 1P Y C p p p p ；
所以，乙赢得全部奖金的概率为 3 3 31 3 1 1 3 1P A p p p p p .
于是甲赢得全部奖金的概率 31 1 3 1f p p p .
求导， 3 2 23 1 1 3 3 1 1 12 1f p p p p p p .
因为 4 15 p ，所以 0f p ，所以 f p 在 4 ,15
上单调递增，
于是 min
4 608
5 625f p f .
故乙赢的概率为 608 171 0.0272 0.05625 625
，故事件 A 是小概率事件.
29．（2021·河南高三月考（理））为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健
康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一
体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其
中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），
在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中
者得 1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次踢球命中的概率为 1
2
，乙每次踢球命中的概率为 2
3
，
且各次踢球互不影响．
（1）经过 1 轮踢球，记甲的得分为 X ，求 X 的数学期望；
（2）若经过 n 轮踢球，用 ip 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 1p ， 2p ， 3p ；
②规定 0 0p ，且有 1 1i i ip Ap Bp ，请根据①中 1p ， 2p ， 3p 的值求出 A 、B ，并求出数列 np 的通项公式．
【答案】（1） 1
6
；（2）① 1
1
6p ， 2
7
36p ， 3
43
216p ；② 6 1
7 7A B ， ， 1 115 6n nP .
【详解】
（1）记一轮踢球，甲命中为事件 A ，乙命中为事件 B ， A ， B 相互独立．
由题意 1
2P A ， 2
3P B ，甲的得分 X 的可能取值为 1 ，0，1．
1 2 11 2 3 31 P AB P A P BP X
，
1 2 1 2 11 12 3 2 20 3P X P AB P AB P A P B P A P B
．
1 2 1121 3 6P X P AB P A P B
，
∴ X 的分布列为：
X 1 0 1
P 1
3
1
2
1
6
1 1 1 11 0 13 2 6 6E X ．
（2）①由（1） 1
1
6p ，
2 0 1 1 0 1p P X P X P X P X P X
1 1 1 1 1 7
2 6 6 2 6 36
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲 3 轮各得 1 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得 0 分；甲 3 轮
中有 1 轮得 1 分，2 轮各得 0 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得 1 分．
∴
3 2 2 2
2 1 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 43C C C6 6 2 6 2 6 3 216p
，
②∵规定 0 0p ，且有 1 1i i ip Ap Bp ，
∴ 1 2 0
2 3 1
6
7
1
7
Ap Ap Bp
p Ap Bp B
代入得： 1 1
6 1
7 7i iip p p ，
∴ 1 1
1
6i i i ip p p p ，∴数列 1n np p 是等比数列，
公比为 1
6q ，首项为 1 0
1
6p p ，∴ 1
1
6
n
n np p
．
∴
1
1 1 2 1 0
1 1 1 1 116 6 6 5 6
n n
n n n n n nP p p p p p p
．
30．（2021·辽宁高三月考）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻
落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第32 个
爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙
两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答
对1题)．若每次每组答对的题数之和为 3 的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是 3 的倍数，就
由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，
第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第 n 次由甲组答题的概率为 nP ，求 nP ；
(2)前 4 次答题中甲组恰好答题 2 次的概率为多少？
【答案】(1) 11 1 1( )2 3 2
n
nP ；(2) 100
243
．
【详解】(1)答对的题数之和为 3 的倍数分别为1 2 ， 2 4 ，1 5 ， 4 5 ，3 3 ， 6 6 ，3 6 ，
其概率为 5 2 2 1
36 3
，
则答对的题数之和不是 3 的倍数的概率为 2
3
，
第 ( 1)n 次由甲组答题，是第 n 次由甲组答题，第 ( 1)n 次继续由甲组答题的事件与第 n 次由乙组答题，第 ( 1)n
次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第 n 次由甲组答题，第 ( 1)n 次继续由甲组答题的概率为 1
3 nP ，
第 n 次由乙组答题，第 ( 1)n 次由甲组答题的概率为 2 (1 )3 nP ，
因此 *
1
1 2 1 2(1 ) (3 3 3 )3n n n nP P P P n N ，
则 1
1 1 1( )2 3 2n nP P
因为第一次由甲组开始，则 1 1P ，
所以 1{ }2nP 是首项为 1
2
，公比为 1
3
的等比数列，
所以 11 1 1( )2 2 3
n
nP ，
即 11 1 1( )2 3 2
n
nP
(2)由于第1次由甲组答题，则只要第 2 次、第3 次、第 4 次这 3 次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知 2
1
3P ，
3
5
9P ， 4
13
27P ，
所以所求概率 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4(1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )P PP P P P P P P P P P P
1 5 13 1 5 13 1 5 13 100(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )3 9 27 3 9 27 3 9 27 243
.
所以 100
243P ．
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