《密铺》教学设计
教学目标
(一)教学知识点：
1.了解平面图形的密铺的含义.
2.掌握哪些平面图形可以密铺，密铺的理由及简单的密铺设计.
(二)能力训练要求：
1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力.
2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用
这几种图形进行简单的密铺设计.
(三)情感与价值观要求：
平面图形的密铺是体现电冰箱在现实生活中应用的一个方面；也是开发、培养学生创造性思
维的一个重要渠道。
教学重点：三角形、四边形和正六边形可以密铺。
教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以密铺的条件。
教学过程：
一.巧设情景问题，引入课题
我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成
美丽的图案.(展示各种地板图片)这些地板漂亮吗？这种用形状、大小完全相同的一种或几种
平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.
这节课我们来探索平面图形的密铺.
二.讲授新课
平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝
隙，又不重叠.那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来
做一做：
(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？
(2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，
并与同伴交流.
(3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角
有什么关系？
(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么
关系？
(学生动手制作、教师强调：大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪
出的每种图形一定是全等形.)
(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)
1．用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为 180°，所以，用 6 个
这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.
从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有 6 个角，这 6 个角分别是这种三角形
的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为 360°.
2．用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处的四个
角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为 360°，所以它们的和为 360°.
3．从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地
密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为 360°.
通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那
么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议：
(1)正六边形能否密铺？简述你的理由.
(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.
(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？
(学生分析、讨论、归纳)
小节：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是
360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是 60°，正四边形的每个内角都是 90°，正六
边形的每个内角都是 120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是 360°，而其他的正多边形
的每个内角的倍数都不是 360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边
形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角
未必都相等.
三.课堂练习：(一)课本 P114 随堂练习
1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所
示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说理由.
2.利用习题 3.7 第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个
可以密铺的“基本单位”图形.
答案：可以密铺.
(二)试一试：同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验.答案：
可以密铺
四．.课时小结
本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，
并且探索出正多边形密铺的条件.即：
一种正多边形的一个内角的倍数是否是 360°.
五.课后作业
课本 P115 习题 4.13 1、2、3
六．课后探索
探索用两种正多边形镶嵌平面的条件.
过程：让学生先从简单的两种正多边形开始探索.
(1)正三角形与正方形
正方形的每个内角是 90°，正三角形的每个内角是 60°，对于某个拼结点处，设有 x 个 60°
角，有 y 个 90°角，则：
60x+90y=360
即：2x+3y=12
又 x、y 是正整数
解得：x=3,y=2
即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接.(如下图)
(2)正三角形与正六边形
正三角形的每个内角是 60°，正六边形的每个内角是 120°，对于某个拼结点处，设有 x 个
60°角，有 y 个 120°角，即：
60x+120y=360°
即 x+2y=6
x、y 是正整数
解得：
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如
下图.
(3)正三角形和正十二边形
与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形
由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.
结论：
由 n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
(1)n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是 360°;
(2)n 个正多边形的边长相等，或其中一个或 n 个正多边形的边长是另一个或 n 个正多边形
的边长的整数倍
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