专题十九：解三角形的实际应用解答题（解析版）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

专题十九：解三角形的实际应用解答题（解析版） 1．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为该地的纬度值， 为此时太阳直射纬 度，那么这三个量之间的关系是 90      ，当地夏半年  取正值，冬半年  取负 值．已知某地区的纬度数约为北纬35.5 ，根据地理知识，太阳直射北回归线（约北纬 23.5） 时，称为夏至日，此时物体的影子最短；太阳直射南回归线（约南纬 23.5）时，称为冬至 日，此时物体的影子最长．该地区某学校计划在一幢高 12 米的旧教学楼的北面建一幢高 20 米的新教学楼． （1）要使新楼一层正午的太阳全年不被旧楼遮挡，两楼间的距离 BC 不应小于多少米？ （2）要在两楼的楼顶连接网线，则网线的长度 AD 不应小于多少？（精确到米） 参考数据： tan31 0.6,tan78 4.7    ， 29 5.3 ． 【答案】（1）不应少于 20 米；（2）长度 AD 不应小于 22 米． 【详解】 （1）由题意可知 35.5 , 23.5      ， 则  90 35.5 23.5 31          ， 则在直角三角形 ABC 中， 12, 31AB ACB      ， 所以 tan AB BC   ，所以 12 20tan31 0.6 ABBC    ， 所以两楼之间的距离不应少于 20 米； （2）在直角三角形 ABC 中， 12, 20AB BC  ， 则 2 212 20 4 34AC    ，且 3 34sin 34ACB  ， 在三角形 ABC 中，因为 90ACD ACB     ， 所以，由余弦定理可得 cos sinACD ACB   ， 2 2 2 2 cos 464AD AC CD AC CD ACD       ， 所以 4 29 21.2AD   ， 所以网线的长度 AD 不应小于 22 米． 2．如图所示，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线 航行.当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的南偏西 75°方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里. 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处，此时两船相距 10 2 海里.乙船每小时航行多少海里？ 【答案】30 2 . 【详解】 解：连接 A1B2，如下简图， 由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10 2 ，A1A2＝ 20 60 ×30 2 ＝10 2 ＝A2B2， 又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2 是等边三角形， 故∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 1 2 10 2A B  ， 在△A1B2B1 中，由余弦定理得 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 12 cos45B B A B A B A B A B       2 2 210 2 20 2 10 2 20 2002        ， 故 1 2 10 2B B  (海里)，时间为 20 1 60 3  （小时） 因此乙船的速度大小为 10 2 30 21 3  (海里/小时). 3．为积极响应国家对垃圾分类处理的号召，增强市民的环保意识，加快城市生态文明的建 设，某市决定在 A，B，C 三个社区进行垃圾分类回收试点，现准备建造一座垃圾处理站 D， 集中处理三个社区的湿垃圾．如图，已知 7AB BC  千米， 1BD  千米， 2 3ADB   ， 1cos 7ABC  ． （1）求垃圾处理站 D 与社区 A 之间的距离； （2）假设有大、小两种运输车，负责在各社区和垃圾处理站之间运输湿垃圾，车在运输期 间都是直线行驶，每辆大车的行车费用为每千米 a 元，每辆小车的行车费用为每千米 a 元 （ 0 1  ）． 现有两种运输湿垃圾的方案 方案一：用一辆大车运输，从 D 出发，依次经 A，B，C，再由 C 返回到 D； 方案二：用三辆小车运输，均从 D 出发.分别到 A，B，C，再各自原路返回到 D． 请从行车费用的角度比较哪种方案更合算，并说明理由． 【答案】（1）2 千米；（2）当 2 7 5   时，方案一，方案二一样合算；当 2 70 5    时，方案二合算；当 2 7 15    时，方案一合算. 【详解】 （1）在 ABD△ 中， 2 2 2 2 cosAB BD AD BD AD ADB      ， 即 2 27 1 6 0AD AD AD AD       ，解得 2AD  ． 所以垃圾处理站 D 与小区 A 之间的距离为 2 千米． （2）在 ABD△ 中，由 sin sin120 AD AB ABD   可得 2sin120 21sin 77 ABD    ， 所以 2 21 2 7cos 1 sin 1 49 7ABD ABD       ， 可得：   cos cos cos cos sin sin 1 2 7 4 3 21 2 7 7 7 7 7 7 CBD ABC ABD ABC ABD ABC ABD                 在 BCD△ 中 2 2 2 2 72 cos 1 7 2 1 7 47DC BD BC BD BC DBC             ， 2DC  ， 方案一费用：      1 2 7 7 2 4 2 7y a DA AB BC CD a a          ， 方案二费用：    2 2 2 2 1 2 10y a DA DB DC a a         ， 当 1 2y y 时，此时 2 7 5   ，方案一，方案二一样合算； 当 1 2y y 时，此时 2 70 5    ，方案二合算； 当 1 2y y 时，此时 2 7 15    ，方案一合算. 综上可知，当 2 7 5   时，方案一，方案二一样合算；当 2 70 5    时，方案二合 算；当 2 7 15    时，方案一合算. 4．某市规划一个平面示意图为如图的五边形 ABCDE 的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA， AE 为赛道(不考虑宽度)，BD，BE 为赛道内的两条服务通道， 2 3BCD BAE     ， 8km, 2 3kmDE BC CD   . （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道 BE 的长度； ① 2 3CDE   ；② 3cos 5DBE  （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道 BAE 最长(即 BA+AE 最大) 【答案】（1） 10BE  ；（2）当 AB AE 时，折线段赛道 BAE 最长. 【详解】 （1）①当 2 3CDE   时， 在 BCD△ 中，由余弦定理得： 2 2 2 2BD BC CD BC   cos 36CD BCD   ， 6BD ∴ . BC CD ， 6CBD CDB     ， 又 2 3CDE   ， 2BDE   ， 在 Rt BDE 中， 2 2 36 64 10BE BD DE     . ②当 3cos 5DBE  ， 由 6BD  ， 8DE  ，在 BDE 中，利用余弦定理可得 2 2 2 2 cosDE BD BE BD BE DBE     , 解得 10BE  或 14 5BE   （舍）. （2）在 BAE 中， 2 3  BAE ， 10BE  . 由余弦定理得 2 2 2 2 cosBE AB AE AB AE    BAE ， 即 2 2100 AB AE AB AE    ， 故 2 100AB AE   2 2 AB AEAB AE       ， 从而  23 1004 AB AE  ，即 20 3 3AB AE  ， 当且仅当 AB AE 时，等号成立， 即设计为 AB AE 时，折线段赛道 BAE 最长. 5．如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸 l，河岸 l 边有一烟囱 (AB 不计 B 离河岸的距离 ) ，河的另一侧是以 O 为圆心，半径为 12 米的扇形区域 OCD，且 OB 的连线 恰好与河岸 l 垂直，设 OB 与圆弧的交点为 .E 经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在 点 C，点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45， 30°，和 60. （1）求烟囱 AB 的高度； （2）如果要在 CE 间修一条直路，求 CE 的长. 【答案】（1） 6 3 米；（2） 4 3 米. 【详解】 （1）设 AB 的高度为 .h 在 CAB△ 中， 45ACB   ，有CB h . 在 OAB 中，因为 30 , 60AOB AEB      ，可得 33 , 3OB h EB h  . 由题意得 33 123OE h h   ，解得 6 3h  . （2）由（1）知，在 OBC 中 18, 12, 6 3OB OC CB   ，由余弦定理得 5cos 6COB  ， 所以在 OCE△ 中， 2 2 2 2 cosCE OC OE OC OE COB      ，得 CE= 4 3 . 答：AB 的高为 6 3 米，CE 的长为 4 3 米. 6．微型无人机航空摄影测量系统具有运行成本低、执行任务灵活等优点，正逐渐成为航空 摄影测量系统的有益补充.为了测量一高层地标建筑 AB 的高度，无人机在空中适当高度的 水平平面 DEC 内测得相关数据如下：在 D 位置测得顶端 A 的仰角和底端 B 的俯角分别为 60 、 45 ，建筑上的点 C 的方位角为 98 ；在 E 位置测得 A 的仰角和 B 的俯角分别为 45 、30 ， 建筑上的点 C 的方位角为 68 .D、E 间相距 220 米.求建筑 AB 的高度. （说明：本题中将建筑 AB 看作与地面所在水平平面垂直于底端 B 的线段.方位角是水平面 内从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的角.） 【答案】  220 1 3 m 【详解】 由 AB  平面 DEC 知： 90ACD ACE BCD BCE         ， 在 Rt ADC ， Rt AEC 中， ADC 60   ， 45AEC   ， 3 3DC AC  ， EC AC ， 在 DEC 中， 98 68 30DCE      ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 2 21 3 32 cos 23 3 2DE DC EC DC EC DCE AC AC AC           ， 化简得： 2 21 3DE AC ， 3AC DE  ， 在 Rt BDC 中， 45CDB   ， 则 3 3 33 3BC DC AC DE DE     ，即 BC DE ，  3 220 1 3AB AC BC DE DE m       . 即建筑 AB 的高度为  220 1 3 m . 7．如图，在离地面高 400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15 ，山脚 A 处的俯角 为 45 ，已知 60BAC   ，求山的高度 BC . 【答案】 600m 【详解】 解：由题意可知 45AMD   ，则 2 400 2AM MD  , 又 60CAB   ,所以 180 60 45 75MAC    o o o o , 180 75 60 45ACM    o o o o , 在 MAC△ 中，由正弦定理得 sin sin AC MA AMC ACM   ,即 400 2 sin60 sin 45 AC o o 解得： 3400 2 2 400 3 2 2 AC    , 则 3sin60 =400 3 =6002BC AC  o ，即山的高度为 600m . 8．如图， AB 是底部不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点．某学习小组准备了三 种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度)、量角器（可测量平面角度）． （1）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度 AB 的方法，并给 出测量报告； 注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符 号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式． （2）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算 结果与该建筑物实际高度有误差，请你针对误差情况进行说明． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【详解】 （1）选用测角仪和米尺，如图所示， ①选择一条水平基线 HG （如图），，使 , ,H G B 三点共线； ②在 ,H G 两点用测角仪测得 A 的仰角分别为 ,  ，用米尺测量得CD a ，没得测角仪 的高为 h ． ③经计算建筑物 sin sin sin( ) aAB h     （或者写成 tan tan tan tan a h     ）． （2）①测量工具问题； ②两次测量时位置的间距差； ③用身高代替测角仪的高度． 9．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”， 健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C-A 为某区的一条健康步道，AB、 AC 为线段， BC 是以 BC 为直径的半圆，AB= 2 3 km，AC=4km， 6BAC   ． （1）求 BC 的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道 A-D-C （B，D 在 AC 两侧），其中 AD，CD 为线段. 若 3ADC   ，求新建的健康步道 A-D-C 的 路程最多可比原有健康步道 A-B-C 的路程增加多少长度？（精确到0.01km ） 【答案】（1） (km)；（2）1.39(km). 【详解】 解：（1）联结 BC ，在△ABC 中，由余弦定理可得， 2 2 32 cos 16 12 2 4 2 3 22BC AC AB AC AB BAC             ， 所以 BC = 1 2 12      ，即 BC 的长度为 (km)； （2）记 AD=a，CD=b，则在△ACD 中，由余弦定理可得： 2 2 2 cos 163a b ab    ，即 2 2 16a b ab   ， 从而 2 2 1( ) 16 6 3 23a b ab a b       ， 所以 21 ( ) 164 a b  ， 8a b  ，当且仅当 4a b  时，等号成立； 新建健康步道 A D C  的最长路程为 8(km)，又8 2 3 1.39   (km)， 故新建的健康步道 A-D-C 的路程最多可比原有健康步道 A-B-C 的路程增加 1.39(km)． 10．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为 iA（ 1,2,3,4i  ）， 1 2 30A A  米， 2 1 4 120A A A   ，D 为对角线 2 4A A 和 1 3A A 的交点．他以 2A 、 4A 为圆心分 别画圆弧，一段弧与 1 2A A 相交于 1A 、另一段弧与 3 4A A 相交于 3A ，这两段弧恰与 2 4A A 均相 交于 D ．设 1 2A A D   ． （1）若两段圆弧组成“甬路” L （宽度忽略不计），求 L 的长（结果精确到1米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为 1S ，其余区域的面积为 2S ．对于条件（1）中的 L ，当 1 1 3 2 0.12SL A A S   时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由． 【答案】（1）36米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析． 【详解】 （1）根据题设条件，可得在△ 1 2 4A A A 中， 2 4 1 22A A A A ． 由正弦定理，得 2 4 1 2 2 1 4 1 4 2sin sin A A A A A A A A A A   ，即 1 4 2 1 2 3sin sin2 3 4A A A    ． 所以 1 4 2 3arcsin 4A A A  ，所以 3arcsin3 4    ， 所以 1 22 60L A A      360 arcsin3 4        36米． 答：甬路 L 的长约为 36米． （2）由（1）得 60L  ，在△ 1 2A A D 中，由余弦定理，得 2 1 22 1800 18030 30 2 30 30 ccos 0 osA D         ， 所以 1 30 2 2cosA D   ， 故 1 3A A  60 2 2cos ，所以 1 3 L A A  2 2cos   ， 2 1 12 002 930S     ， 2 914 30 30 00(2s )sin 90 n0 i2S          ， 故 1 2 2sin S S     ， 当 3arcsin3 4    时， 0.1181 0.122sin2 2cos        ． 所以此人的设计是“用心”的． 11．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 AOB 进行改造．如图 所示，平行四边形 OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 P 在围墙 AB 弧上，点 M 和点 N 分别在道路 OA 和道路 OB 上，且 90OA  米， π 3AOB  ，设 POB   ． （1）当 π 6   时，求停车场的面积（精确到 0.1平方米）； （2）写出停车场面积S 关于 的函数关系式，并求当 为何值时，停车场面积S 取得最大 值． 【答案】（1） 2338.3平方米；（2） 2700 3sin(2 ) 1350 36S    ，当 π 6   时， 停车场面积S 取得最大值. 【详解】 解：（1）在 OPN 中， 2π 3ONP  ， π 6PON OPN    ， 由正弦定理得 sin sin ON OP OPN ONP   ， 即 π 2πsin sin6 3 ON OP ，即 30 3ON  则停车场面积 π2 sin 90 30 3 sin 1350 3 2338.36OPNS S OP ON          （平方米）， 即停车场面积约为 2338.3平方米． （2）在 OPN 中， 2π 3ONP  ， π 3OPN    ． 由正弦定理得 sin sin ON OP OPN ONP   ， 即 2ππ sinsin 33 ON OP      ，即 π60 3sin( )3ON   ． 则停车场面积 π2 sin 5400 3 sin sin( )3OPNS S OP ON         ， 即 π5400 3 sin sin( )3S    ，其中 π0 3   ． π5400 3 sin sin( )3S    3 15400 3sin ( cos sin )2 2     3 1 12700 3( sin 2 cos2 )2 2 2     2700 3 sin(2 ) 1350 36    ． 因为 π0 3   ，所以 π π 5π26 6 6    ， 则当 π2 6 2    ，即 π 6   时，停车场面积S 取得最大值． 所以当 π 6   时，停车场面积S 取得最大值． 12．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔 CD 和 EF .张明在只有量角器(可以测量 从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件 下，为了计算塔 CD 的高度，他在点 A 测得点 D 的仰角为 30 ， 75CAB  o ，又选择了 相距 100 米的 B 点，测得 60ABC   . （1）请你根据张明的测量数据求出塔 CD 高度； （2）在完成（1）的任务后，张明测得 90BAE   ，并且又选择性地测量了两个角的大 小(设为 ､  ).据此，他计算出了两塔顶之间的距离 DF . 请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可) ②他是如何用 ,  表示出 DF 的？(写出过程和结论) 【答案】（1）50 2 米；（2）答案见解析. 【详解】 解：（1）在 ABC 中， 180 45ACB CAB CBA        ， 由正弦定理，有 sin sin AC AB CBA ACB   ， 所以， 100 sin 60 50 6sin 45AC     米. tanCD AC DAC  50 6 tan30 50 2   米. （2）由（1）知 100 2AD  米. ①测得 ABF   ， DAF   . ②由已知， AB EF ， AB AE ， AE EF E  . 所以， AB  平面 AEF ，得 AB AF . 所以， tan 100tanAF AB    . 在 ADF 中，由余弦定理， DF  2 2 2 cosAD AF AD AF    2100 2 tan 2 2 tan cos     米. 13．某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域 ABCD 沿边界围成一 个封闭的留观区.经测量，边界 AB 与 AD 的长度都是 20 米， 60BAD   ， 120BCD   . （1）若 105ADC  o ，求 BC 的长（结果精确到米）； （2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）. 【答案】（1）16 米；（2） 63米. 【详解】 （1）连接 BD ，由题意 ABD△ 是等边三角形，所以 20BD  ， 又因为 105ADC  o ，所以 45BDC   ， 在 BCD△ 中， sin sin BC BD BDC C   ，得 220sin 45 20 62 16sin120 33 2 BDBC        （米）； （2）设 ADC   ，则 3BDC    ， 2 3CBD     ， 在 BCD△ 中， sin sin sin CD BC BD CBD BDC C     ， 所以 40 3 sin3 3BC      ， 40 3 2sin3 3DC       ， 所需板材的长度为   40 3 40 3 240 sin sin3 3 3 3f                  40 3 1 3 3 1 40 340 sin cos cos sin 40 sin3 2 2 2 2 3                . 答：当 2ADC   时，所需板材最长为 40 340 633   （米）. 14．如图所示，A ､ B 两处各有一个垃圾中转站，B 在 A 的正东方向 16 km 处， AB 的南面 为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在 AB 的北面 P 处建一个发电厂，利用 垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位： km )与它们每天集中的生活垃圾量 (单位：吨)成反比，现估测得 A ､ B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为 30 吨和 50 吨. （1）当 15kmAP  时，求 APB 的值； （2）发电厂尽量远离居民区，要求 PAB△ 的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站 的距离各为多少？ 【答案】（1） 5arccos 27 ；（2） 5 34PA  ， 3 34PB  . 【详解】 （1）根据条件可知： 30 50AP BP   ，所以 9BP km ， 所以 2 2 2 225 81 256 5cos 2 2 15 9 27 AP BP ABAPB AP BP          ，所以 5arccos 27APB  ； （2）以 AB 中点为坐标原点，垂直于 AB 方向为 y 轴，建立坐标系如图所示： 设  ,P x y ，    8,0 , 8,0A B ，因为 30 50AP BP   ，所以 5 3AP BP ， 所以    2 22 258 83x y x y     ，所以 2 216 544 1024 16 0x x y    ， 所以 2 234 64 0x x y    ，所以 2 217 225x y   ， 所以 P 的轨迹是圆心为 17,0 ，半径为15 的位于 x 轴上方的圆， 所以当 PAB△ 的面积最大时，此时 P 的坐标为 17,15 ， 所以   2 217 8 15 5 34AP      ，  2 217 8 15 3 34BP     . 15．小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的C 处，沿着与电视塔( AB )垂直的水平 马路CD 驾驶机动车行驶，以南偏西 60°的方向每小时 60 千米的速度开了 15 分钟以后，在 点 D 处望见电视塔的底端 B 在东北方向上，设沿途 E 处观察电视塔的仰角 AEB   ， 的最大值为 60°. （1）小明开车从 C 处出发到 D 处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值 60°， 约为多少分钟？(分钟保留两位小数) （2）求东方明珠塔 AB 的高度约为多少米.(保留两位小数) 【答案】（1） 4.75 分钟；（2） 4754.81米. 【详解】 （1）由题知，在 DBC△ 中， 30 , 135 , 15 , 15BCD DBC BDC CD         千米， 所以由正弦定理得， sin sin BC CD BDC DBC   ，所以  15 3 115sin15 sin135 2BC      ， 在直角 ABE△ 中， tan AB BE   ，因为 AB 不变，所以当 BE CD 时， BE 最小，此时 最大，故  15 3 33 2 4CE BC    ，所以  15 3 3 60 4.7560 4 CEt      分钟； （2）由（1）知当 BE CD 时， 最大为 60 ，此时 1 2BE BC ， 所以  15 3 33tan 60 4.754812 4AB BE BC       千米， 故东方明珠塔 AB 的高度约为 4754.81米.