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分式
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计 24 分 ）
1. 下列说法：①2x−1
3x = 5
x
是分式方程；②x = 2 或 x =− 2 是分式方程 x+2
x2−4 = 0 的解；③分
式方程 5
1−x = 1
x
转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘 x(1 − x)；④解分式方程时一
定会出现增根，其中正确的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2. 对于分式 2−x
x2−4x+4
，下列四位同学说法错误的是（ ）
甲：分子、分母的公因式为 x − 2
乙：当 x ≠ 2 时，原分式有意义
丙：当 x =− 1 时，原式=− 3
丁：当 x = 0 时，原式= 1
2
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3. 如果把分式 2y
x+y
中的 x 和 y 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值( )
A.扩大为原来的 4 倍 B.扩大为原来的 2 倍
C.缩小为原来的1
2
倍 D.不变
4. 下列分式是最简分式的是（ ）
A.x2−1
4x−4 B.x2−2x−3
x2−4x−5
C. 2−x
2x−1 D. 3x
3x−6
5. 若非零实数 x、y 满足：x − y = 2011xy，则分式1
x − 1
y
的值为（ ）
A.2011 B.2012 C.− 2011 D.− 2012
6. 解分式方程 2
x−2 − 4x
x2−4 = 2
x+2
，分下列四步，其中开始出现错误的一步是（ ）
A.确定方程两边分式的最简公分母是 x − 2 x + 2
B.方程两边都乘 x − 2 x + 2 ，得整式方程 2 x + 2 − 4x = 2 x − 2
C.解这个整式方程，得 x = 2
D.原方程的解为 x = 2
7. 已知 x 为实数，且 3
x2+3x − (x2 + 3x) = 2，则x2 + 3x 的值为（ ）
A.1 B.1 或− 3 C.− 3 D.− 1 或 3
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8. 若关于 x 的分式方程 x
x−3 + 1 = m
x−3
有增根，则 m 的值是( )
A.2 B.3 C.− 3 D.1
二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计 21 分 ）
9. 计算：( − 3)0 + ( 1
2 )−1＝________．
10. 函数 y = x+5
x−3
中自变量 x 的取值范围是________．
11. 若分式 3
a+2
无意义，且 b−4
b2+1 = 0，那么a
b =________．
12. 化简：x2+y2+2xy−4
x+y−2 =________．
13. 分式 1
3x2y2， 1
4xy3的最简公分母是________．
14. 若1
a + 1
b = 3，则 a+b
2a−ab+2b
的值为________.
15. 若 4x−1
x+2 x−1 = M
x+2 + x
x−1
，则整式 M =________．
三、 解答题 （本题共计 14 小题 ，每题 10 分 ，共计 140 分 ）
16. （1）约分 2a(a−1)
8ab2(1−a)
；
（2）通分 2
4−9m2 和 3
9m2−12m+4
．
17. 在分式 2x+1
x2−4x+4
中，x 取何值时：
分式有意义？分式无意义？分式值为 0？分式值为正？分式值为负？
18. 计算与化简：
(1)6a3b ⋅ −3b
2a2； (2) − 2xy−2 −4；
(3) x2−2xy+y2
x2+x
⋅ x+1
x2−y2； (4) 3a
a2−b2 + 1
a+b.
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19. 解下列分式方程：
(1) 1
x+1 + 2
x−1 = 4
x2−1
； (2) 9x−7
3x−2 + 4x−5
2−3x = 1.
20. 已知关于 x 的分式方程x−a
x−1 + 3x−1
1−x = 3a 无解，求 a 的值.
21. 如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了．若该题化简的结
果为 1
x+3
．
(1)求被墨水污染的部分；
(2)原分式的值等于1
7
吗？为什么？
22. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个
分式为“和谐分式”．
(1)下列分式中，________是和谐分式（填写序号即可）；
① x−1
x2+1
；② a−2b
a2−b2；③ x+y
x2−y2；④a2−b2
(a+b)2．
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(2)若 a 为正整数，且 x−1
x2+ax+4
为“和谐分式”，a =________.
23. 阅读材料：小华像这样解分式方程5
x = 7
x−2
解：移项，得：5
x − 7
x−2 = 0 通分，得：5(x−2)−7x
x(x−2) = 0
整理，得：2(x+5)
x(x−2) = 0 分子值取 0，得：x + 5＝0
即：x＝− 5 经检验：x＝− 5 是原分式方程的解．
（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是________；
（2）试用小华的方法解分式方程x−2
x+2 − 16
x2−4 = 1
24. 阅读下面的解题过程：
已知： x
x2+1 = 1
3
，求 x2
x4+1
的值．
解：由 x
x2+1 = 1
3
知 x ≠ 0，所以x2+1
x = 3，即 x + 1
x = 3．
所以x4+1
x2 = x2 + 1
x2 = (x + 1
x )2 − 2 = 32 − 2 = 7．
故 x2
x4+1
的值为1
7
．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知： x
x2−3x+1 = 1
5
，求 x2
x4+x2+1
的值．
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25. 阅读材料并解答以下问题，我们知道，假分数可以化为带分数．例如： 8
3 = 2 + 2
3 =
2 2
3
．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，
我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：
x−1
x+1
， x2
x−1
，这样的分式就是假分式； 3
x+1
，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可
以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
例如：x−1
x+1 = x+1 −2
x+1 = 1 − 2
x+1
；
x2
x−1 = x2−1+1
x−1 = x+1 x−1 −1
x−1 = x + 1 + 1
x−1.
(1)将分式x2−1
x+2
化为带分式；
(2)若分式2x2+1
x+1
的值为整数，求 x 的整数值；
(3)当 x =________时， 4x4+4x2+5
2x2+1
有最小值，求出这个最小值．
26. （1）计算：(a + 2)( a2 − 2a + 4)＝________．(2x + y)(4x2 − 2xy + y2)＝________． 26.
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含 a、b 的
字母表示：________；
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是________
A．(a + 3)(a2 − 3a + 9)B．(2m + n)(2m2 + 2mn + n2)
C．(4 − x)(16 + 4x − x2) D．(m − n)(m2 + 2mn + n2)
（4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式 m3+n3
m2−mn+n2 ÷ m2−n2
m2−2mn+n2．
27. 小明在计算1
2 × 1
3 = 1
6
，1
3 × 1
4 = 1
12
，1
4 × 1
5 = 1
20
，⋯ 时发现1
6 = 1
2 − 1
3
， 1
12 = 1
3 − 1
4
， 1
20 = 1
4 − 1
5
，⋯
(1)用式子表示这一变化规律________；
(2)计算 1
1×2 + 1
2×3 + 1
3×4 + ⋯ + 1
(n−1)n
；
(3)解方程： 2
(x+1)(x+3) + 2
(x+3)(x+5) + 2
(x+5)(x+7) + … + 2
(x+2017)(x+2019) = 2017
x+2019 .
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28. 阅读下列材料：关于 x 的方程：x + 1
x = c + 1
c
的解是x1 = c，x2 = 1
c
；
x − 1
x = c − 1
c(可变形为 x + −1
x = c + −1
c )的解为x1 = c，x2 = −1
c
；
x + 2
x = c + 2
c
的解为x1 = c ，x2 = 2
c
；
x + 3
x = c + 3
c
的解为x1 = c，x2 = 3
c
；…
(1)①方程 x + 1
x = 2 + 1
2
的解为________，方程 x − 1 + 1
x−1 = 2 + 1
2
的解为________.
(2)请观察上述方程与解的特征，比较关于 x 的方程 x + m
x = c + m
c m ≠ 0 与它们的关系，
猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．
(3)由上述的观察，比较，猜想，验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其
倒数的倍数和，方程右边的形式与左边完全相同，只要把其中的一个未知数换成某个
常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关于 x 的方程 x + 2
x−1 = a +
2
a−1 a ≠ 1 .
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29. 甲、乙两地相距 360 千米，一辆贩毒车从甲地往乙地接头取货，警方截取情报后，
立即组织干警从甲地出发，前往乙地缉拿这伙犯罪分子，结果警车与贩毒车同时到达，
将犯罪分子一网打尽．已知贩毒车比警车早出发 1 小时 15 分，警车与贩毒车的速度比
为 4:3，求贩毒车和警车的速度．
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