人教版数学八年级下册第19章《一次函数》实际应用常考题专练（四）

八年级下册第 19 章《一次函数》实际应用 常考题专练（四） 1．如图（1）所示，在 A，B 两地间有一车站 C，甲汽车从 A 地出发经 C 站匀速驶往 B 地， 乙汽车从 B 地出发经 C 站匀速驶往 A 地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离 C 站的路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系的图象． （1）填空：a＝ km，b＝ h，AB 两地的距离为 km； （2）求线段 PM、MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式（自变量取值范围不用写）； （3）求行驶时间 x 满足什么条件时，甲、乙两车距离车站 C 的路程之和最小？ 2．书籍是人类进步的台阶．为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一 种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中 l1，l2 分别表示使用租书卡和会员卡时每 本书的租金 y（元）与租书时间 x（天）之间的关系． （1）直接写出用租书卡和会员卡时每本书的租金 y（元）与租书时间 x（天）之间的函 数关系式； （2）小红准备租某本名著 50 天，选择哪种租书方式比较合算？小明准备花费 90 元租书， 选择哪种租书方式比较合算？ 3．元旦期间，小黄自驾游去了离家 156 千米的黄石矿博园，右图是小黄离家的距离 y（千 米）与汽车行驶时间 x（小时）之间的函数图象． （1）求小黄出发 0.5 小时时，离家的距离； （2）求出 AB 段的图象的函数解析式； （3）小黄出发 1.5 小时时，离目的地还有多少千米？ 4．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中，路程随时间变 化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）． 求： （1）分别写出轮船和快艇行驶路程随时间变化的函数表达式． （2）经过多长时间，快艇和轮船相距 20 千米？ 5．甲乙两地相距 400 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地的路程 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数关系，折线 BCD 表示 轿车离甲地的路程 y（千米）与 x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题： （1）求线段 CD 对应的函数关系式； （2）在轿车追上货车后到达乙地前，何时轿车在货车前 30 千米． 6．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设慢 车行驶的时间为 x（h），两车之间的距离为 y（km），图中的折线表示 y 与 x 之间的关 系．根据图象回答： （1）甲、乙两地之间的距离为 千米． （2）两车同时出发后 小时相遇． （3）线段 CD 表示的实际意义是 ． （4）慢车和快车的速度分别为多少 km/h？（写出计算过程） 7．甲乙两人同时登同一座山，甲乙两人距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函 数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙在提速前登山的速度是 米/分钟，乙在 A 地提速时距地面的高度 b 为 米； （2）若乙提速后，乙比甲提前了 9 分钟到达山顶，请求出乙提速后 y 和 x 之间的函数关 系式； （3）在（2）的条件下，登山多长时间时，乙追上了甲，此时甲距 C 地的高度为多少米？ 8．甲、乙两人参加从 A 地到 B 地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程 y（米）与时间 x （分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1） 先到达终点（填“甲”或“乙”）；甲的速度是 米/分钟； （2）甲与乙何时相遇？ （3）在甲、乙相遇之前，何时甲与乙相距 250 米？ 9．为深入推进“健康沈阳”建设，倡导全民参与健身，我市举行“健康沈阳，重阳登高” 活动，广大市民踊跃参加．甲乙两人同时登山，2 分钟后乙开始提速，且提速后乙登高速 度是甲登山速度的 3 倍，甲、乙两人距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函 数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山的速度是每分钟 米，乙在 A 地提速时距地面的高度 b 为 米， 乙在距地面高度为 300 米时对应的时间 t 是 分钟； （2）请分别求出线段 AB、CD 所对应的函数关系式（需写出自变量的取值范围）； （3）登山 分时，甲、乙两人距地面的高度差为 70 米？ 10．甲、乙两辆汽车沿同一公路从 A 地出发前往路程为 100 千米的 B 地，乙车比甲车晚出发 15 分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用 y1、y2（千米）表示，它们与甲车行驶的时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）分别求出 y1、y2 关于 x 的函数解析式并写出定义域； （2）乙车行驶多长时间追上甲车？ 参考答案 1．解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h， a＝60×（7﹣5）＝120， b＝7﹣5＝2， AB 两地的距离是：300+120＝420， 故答案为：120，2，420； （2）设线段 PM 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式是 y＝kx+b， ，得 ， 即线段 PM 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式是 y＝﹣60x+300； 设线段 MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式是 y＝mx+n， ，得 ， 即线段 MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式是 y＝60x﹣300； （3）设 DE 对应的函数解析式为 y＝cx+d， ，得 ， 即 DE 对应的函数解析式为 y＝﹣60x+120， 设 EF 对应的函数解析式为 y＝ex+f， ，得 ， 即 EF 对应的函数解析式为 y＝60x﹣120， 设甲、乙两车距离车站 C 的路程之和为 skm， 当 0≤x≤2 时， s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420， 则当 x＝2 时，s 取得最小值，此时 s＝180， 当 2＜x≤5 时， s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180， 当 5≤x≤7 时， s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420， 则当 x＝5 时，s 取得最小值，此时 s＝180， 由上可得， 行驶时间 x 满足 2≤x≤5 时，甲、乙两车距离车站 C 的路程之和最小． 2．解：（1）设直线 l1 对应的函数解析式为 y＝kx， 200k＝60， 解得 k＝0.3， 即直线 l1 对应的函数解析式为 y＝0.3x， 设直线 l2 对应的函数解析式为 y＝ax+b， ， 解得 ， 即直线 l2 对应的函数解析式为 y＝0.2x+20， 由上可得，用租书卡时每本书的租金 y（元）与租书时间 x（天）之间的函数关系式是 y ＝0.3x，用会员卡时每本书的租金 y（元）与租书时间 x（天）之间的函数关系式是 y＝ 0.2x+20； （2）当 x＝50 时，租书卡的租金为 0.3×50＝15（元），会员卡的租金为 0.2×50+20＝ 30（元）， ∵15＜30， ∴小红准备租某本名著 50 天，选择租书卡租书方式比较合算； 当 y＝90 时，租书卡可以租用 90÷0.3＝300（天），会员卡可以租用（90﹣20）÷0.2 ＝350（天）， ∵300＜350， ∴小明准备花费 90 元租书，选择会员卡租书方式比较合算． 3．解：（1）设 OA 段图象的函数表达式为 y＝kx． ∵当 x＝0.8 时，y＝48， ∴0.8k＝48， ∴k＝60． ∴y＝60x（0≤x≤0.8）， ∴当 x＝0.5 时，y＝60×0.5＝30． 故小黄出发 0.5 小时时，离家 30 千米； （2）设 AB 段图象的函数表达式为 y＝k′x+b． ∵A（0.8，48），B（2，156）在 AB 上， ， 解得 ， ∴y＝90x﹣24（0.8≤x≤2）； （3）∵当 x＝1.5 时，y＝90×1.5﹣24＝111， ∴156﹣111＝45． 故小黄出发 1.5 小时时，离目的地还有 45 千米． 4．解：（1）设轮船行驶路程随时间变化的函数表达式是 y＝kx， ∵点（8，160）在函数 y＝kx 的图象上， ∴160＝8k，解得 k＝20， 即轮船行驶路程随时间变化的函数表达式是 y＝20x； 设快艇行驶路程随时间变化的函数表达式是 y＝ax+b， ∵点（2，0），（6，160）在函数 y＝ax+b 的图象上， ∴ ，解得 ， 即快艇行驶路程随时间变化的函数表达式是 y＝40x﹣80； （2）当 20x＝20 时，得 x＝1， 令|20x﹣（40x﹣80）|＝20， 解得，x1＝3，x2＝5， 当 x＝6 时，轮船行驶的路程为 20×6＝120， ∵160﹣120＞20， ∴令 20x＝160﹣20，解得 x＝7， 即当 x＝7 时，快艇和轮船相距 20 千米， 由上可得，经过 1 小时、3 小时、5 小时或 7 小时时，快艇和轮船相距 20 千米． 5．解：（1）设线段 CD 对应的函数表达式为 y＝kx+b． 将 C（2，100）、D（4.5，400）代入 y＝kx+b 中，得 解方程组得 所以线段 CD 所对应的函数表达式为 y＝120x﹣140（2≤x≤4.5）． （2）根据题意得，120x﹣140﹣80x＝30，解得 ． 答：当 x＝ 时，轿车在货车前 30 千米． 6．解：（1）由图象可得， 甲、乙两地之间的距离为 900 千米， 故答案为：900； （2）由图象可得， 两车同时出发后 4 小时相遇， 故答案为：4； （3）线段 CD 表示的实际意义是快车到达乙地后，慢车继续行驶到甲地， 故答案为：快车到达乙地后，慢车继续行驶到甲地； （4）慢车的速度为：900÷12＝75（km/h）， 快车的速度为：900÷4﹣75＝225﹣75＝150（km/h）， 即慢车和快车的速度分别为 75km/h、150km/h． 7．解：（1）由图象可得乙一分钟走了 15 米， 则乙在提速前登山的速度是 15 米/分钟，2 分钟走了 30 米， ∴b＝30， 故答案为：15，30； （2）由图象可得：t＝20﹣9＝11 分， 设 AB 解析式为：y＝kx+b， 解得： ∴线段 AB 解析式为：y＝30x﹣30（2≤x≤11）； （3）∵C（0，100），D（20，300） ∴线段 CD 的解析式：y＝10x+100（0≤x≤20）， 由 ∴ ∴经过 6.5 分钟后，乙追上甲，此时甲距 C 地的高度＝165﹣100＝65 米． 8．解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要 20 分钟，乙跑完全程需要 16 分钟，所以乙先 到达终点； 甲的速度＝ ＝250 米/分钟． 故答案为：乙；250． （2）设甲跑的路程 y（米）与时间 x（分钟）之间的函数关系式为 y＝kx， 根据图象，可得 y＝ x＝250x， 设甲乙相遇后（即 10＜x＜16 ），乙跑的路程 y（米）与时间 x（分钟）之间的 函数关 系式为：y＝kx+b． 根据图象，可得 ， 解得 ， ∴y＝500x﹣3000， 联立两直线的解析式 ， 解得 ， 答：甲与乙在 12 分钟时相遇； （3）设此时起跑了 x 分钟， 根据题意得 或 250x＝3000﹣250， 解得 x＝5 或 x＝11． 答：在甲、乙相遇之前，5 分钟或 11 分钟时甲与乙相距 250 米． 9．解：（1）由题意可得， 甲登山的速度是每分钟（300﹣100）÷20＝10（米）， 乙在 A 地提速时距地面的高度 b＝（15÷1）×2＝30， 乙在距地面高度为 300 米时对应的时间 t＝2+（300﹣30）÷（10×3）＝11， 故答案为：10，30，11； （2）由（1）可得，点 A 的坐标为（2，30），点 B 的坐标为（11，300）， 设线段 AB 对应的函数解析式为 y＝kx+a， ， 解得 ， 即线段 AB 对应的函数解析式为 y＝30x﹣30（2≤x≤11）； 设线段 CD 所对应的函数关系式是 y＝mx+n， ∵点 C 的坐标为（0，100），点 D 的坐标为（20，300）， ∴ ， 解得 ， 即线段 CD 所对应的函数关系式是 y＝10x+100（0≤x≤20）； （3）登山前 2 分钟，甲乙两人的最近距离是 100+10×2﹣30＝90（米）， 当 2≤x≤11 时，|（30x﹣30）﹣（10x+100）|＝70， 解得 x1＝3，x2＝10， 当 11＜x≤20 时，令 10x+100＝300﹣70 解得 x＝13， 由上可得， 登山 3、10 或 13 分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为 70 米， 故答案为：3、10 或 13． 10．解：（1）设 y1 关于 x 的函数解析为 y1＝kx， 120k＝100，得 k＝ ， 即 y1 关于 x 的函数解析为 y1＝ x（0≤x≤120）， 设 y2 关于 x 的函数解析为 y2＝ax+b， ，得 ， 即 y2 关于 x 的函数解析为 y2＝ x﹣20（15≤x≤90）； （2）令 x＝ x﹣20，得 x＝40， 40﹣15＝25（分钟）， 即乙车行驶 25 分钟追上甲车．