人教版数学七年级第三章《一元一次方程》应用题分类：数轴类专项练（四）

第三章《一元一次方程》应用题分类： 数轴类专项练（四） 1．如图，已知点 A，B 是数轴上原点 O 两侧的两点，其中点 A 在负半轴上，点 B 在正半轴上， AO＝2，OB＝10．动点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度向右运动，到达点 B 后立 即返回，速度不变；动点 Q 从点 O 出发以每秒 1 个单位长度的速度向右运动，当点 Q 到 达点 B 时，动点 P，Q 停止运动．设 P，Q 两点同时出发，运动时间为 t 秒． （1）当点 P 从点 A 向点 B 运动时，点 P 在数轴上对应的数为 ．当点 P 从点 B 返 回向点 O 运动时，点 P 在数轴上对应的数为 （以用含 t 的代数式表示） （2）当 t 为何值时，点 P，Q 第一次重合？ （3）当 t 为何值时，点 P，Q 之间的距离为 3 个单位？ 2．如图，已知 A、B、C 是数轴上三点，点 O 为原点，点 C 表示的数为 6，BC＝4，AB＝12． （1）写出数轴上点 A、B 表示的数； （2）动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，沿数轴向右匀速运动．点 P 的速度是每秒 6 个单 位长度，点 Q 的速度是每秒 3 个单位长度，点 M 为 AP 的中点，点 N 在线段 CQ 上，且 CN ＝ CQ，设运动时间为 t（t＞0）秒． ①求数轴上点 M、N 表示的数（用含 t 的式子表示）； ②当 M、B、N 三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求 t 的值． 3．如图，A、B 两点在数轴上对应的数分别为﹣20、24，C 点在 A、B 之间，在 A、B、C 三点 处各放一个挡板，M、N 两个小球分别从 A、B 两处出发，相对而行，碰到挡板后则向反方 向运动，一直如此下去（当 M 小球第二次碰到 C 挡板时，两球均停止运动）． （1）若两个小球的运动速度相同，当 N 小球第一次碰到 C 挡板时，M 小球刚好第二次碰 到 C 挡板，求 C 点所对应的数． （2）在（1）的条件下，若 M、N 小球的运动速度分别为 3 个单位/秒、2 个单位/秒，则 M 小球前三次碰到挡板的时间依次为 a、b、c 秒钟．设两个球的运动时间为 t 秒钟． ①请直接写出下列时间段内 M 小球所对应的数（用含 t 的代数式表示）． 当 0≤t≤a 时，M 小球对应的数为 ． 当 a＜t≤b 时，M 小球对应的数为 ． 当 b＜t≤c 时，M 小球对应的数为 ． ②当 M、N 两个小球的距离等于 42 时，求 t 的值． （3）移走 A、B、C 三处的挡板，M、N 两点以（2）中的速度运动，与此同时，R 点从原 点出发，以 5 个单位/秒的速度向数轴负方向运动，P 是 AN 的中点，Q 是 MR 的中点，求 证：PQ 的长度为定值，并求出该值为多少？ 4．如图 1，已知数轴上有三点 A、B、C，AB＝BC，点 C 对应的数是 200，且 BC＝300． （1）求 A 对应的数； （2）若动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发向左运动，同时动点 R 从 A 点出发向右运动， 当点 Q、R 相遇时，点 P、Q、R 即停止运动，已知点 P、Q、R 的速度分别为每秒 10 个单 位长度、5 个单位长度、2 个单位长度，M 为线段 PR 的中点，N 为线段 RQ 的中点，问多 少秒时恰好满足 MR＝4RN？ （3）若点 E、D 对应的数分别为﹣800、0，动点 K、L 分别从 E、D 两点同时出发向左运 动，点 K、L 的速度分别为每秒 10 个单位长度、5 个单位长度，点 G 为线段 KL 的中点， 问：点 L 在从点 D 运动到点 A 的过程中， LC﹣AG 的值是否发生变化？若不变，求其值．若 变化，请说明理由． 5．数轴上 A、B 两点对应的数分别是﹣4、12，线段 CE 在数轴上运动，点 C 在点 E 的左边， 且 CE＝8，点 F 是 AE 的中点． （1）如图 1，当线段 CE 运动到点 C、E 均在 A、B 之间时，若 CF＝1，则 AB＝ ， AC＝ ，BE＝ ； （2）当线段 CE 运动到点 A 在 C、E 之间时，求 BE 与 CF 的数量关系； （3）当点 C 运动到数轴上表示数﹣14 的位置时，动点 P 从点 E 出发，以每秒 3 个单位长 度的速度向右运动，抵达 B 后，立即以同样速度返回，同时点 Q 从 A 出发，以每秒 1 个 单位长度的速度向终点 B 运动，设它们运动的时间为 t 秒（t≤16），求 t 为何值时，P、 Q 两点间的距离为 1 个单位长度． 6．阅读理解：若 A、B、C 为数轴上三点，若点 C 到 A 的距离是点 C 到 B 的距离 2 倍，我们 就称点 C 是【A，B】的好点． 例如，如图 1，点 A 表示的数为﹣1，点 B 表示的数为 2．表示 1 的点 C 到点 A 的距离是 2， 到点 B 的距离是 1，那么点 C 是【A，B】的好点． 又如，表示 0 的点 D 到点 A 的距离是 1，到点 B 的距离是 2．那么点 D 就不是【A，B】的 好点，但点 D 是【B，A】的好点： 知识运用： （1）如图 1，点 B 是【D，C】的好点吗？ （填是或不是）； （2）如图 2，A、B 为数轴上两点，点 A 所表示的数为﹣40，点 B 所表示的数为 20．现有 一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A 停止当 t 为何 值时，P、A 和 B 中恰有一个点为其余两点的好点？ 7．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单 位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点 A、B 是数轴上的点，请参照图并思考， 完成下列各题． （1）如果点 A 表示数﹣5，将点 A 向右移动 6 个单位长度，那么终点 B 表示的数是 ， A、B 两点间的距离是 ； （2）如果点 A 表示数 a，将 A 点向左移动 10 个单位长度，再向右移动 70 个单位长度， 终点 B 表示的数是 50，那么 a＝ ；A、B 两点中间的点表示的数为 ； （3）在（2）的条件下，若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动， 同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度运动，请问：当它们运动 多少时间时，两只蚂蚁间的距离为 10 个单位长度？ 8．如图：点 O 为原点，A、B 为数轴上两点，A、B 两点间的距离为 20，且点 A 到点 O 的距 离是点 B 到点 O 的距离的 3 倍． （1）A、B 对应的数分别是 、 ． （2）若点 A、B 分别以 4 个单位/秒和 3 个单位/秒的速度同时相向而行，则几秒后 A、B 相距 1 个单位长度？ （3）若点 P 从 A 出发以每秒 5 个单位长度在数轴上由 A 到 B 做匀速运动．当 P 到达点 B 时，立即返回．仍然以每秒 5 个单位长度的速度运动到点 A 即停止运动，设运动时间为 t （单位：秒），求点 P 是 AB 的中点时 t 的值． （4）若点 A、B 以（2）中的速度向右运动，同时点 P 从原点 O 以 5 个单位/秒的速度也 向右运动，是否存在常数 m，使得 6AP+3OB﹣mOP 的值与 t 的取值无关，若存在请求出 m 的值以及这个定值，若不存在，请说明理由．（其中 AP 表示 A、P 两点间的距离，OB 表 示 O、B 两点间的距离，OP 表示 O、P 两点间的距离）． 9．已知，如图所示，A、B、C 是数轴上的三点，点 C 对的数是 6，BC＝4，AB＝12． （1）写出 A、B 对应的数； （2）动点 P、Q 同时从 A、C 出发，分别以每秒 6 个单位，3 个单位速度沿数轴正方向运 动，M 是 AP 的中点，N 在 CQ 上且 CN＝ CQ，设运动时间为 t（t＞0）． ①求点 M、N 对应的数（含 t 的式）； ②x 为何值时 OM＝2BN． 10．如图，数轴上 A、B 两点分别位于原点两侧（点 A 在原点左侧，点 B 在原点右侧），AO ＝2BO，点 A 在数轴上对应数是﹣800．动点 P、Q 同时从原点出发分别向左、向右运动， 速度分别为 8 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒，同时，动点 R 也从点 A 出发向右运动， 速度为 2 个单位长度/秒．设运动时间为 t 秒． （1）填空： ①点 B 在数轴上对应的数是 ； ②点 P 在数轴上对应的数是 ；点 Q 在数轴上对应的数是 ；点 R 在数轴上 对应的数是 ；（用含 t 的代数式表示） （2）t 为何值时，动点 R 与动点 P 之间距离为 200 个单位长度？ （3）若点 M、N 分别为线段 PQ、RP 的中点，当 t≤100 秒时，2MN﹣MB 的值是否发生变化？ 若变化，请说明理由：若不变，求其值． 参考答案 1．解：（1）由题意知，点 P 在数轴上对应的数为：2t﹣2． 当点 P 从点 B 返回向点 O 运动时，点 P 在数轴上对应的数为：22﹣2t． 故答案是：2t﹣2；22﹣2t； （2）由题意，得 2t＝2+t， 解得 t＝2； （3）①当点 P 追上点 Q 后（点 P 未返回前），2t＝2+t+3． 解得 t＝5； ②当点 P 从点 B 返回，未与点 Q 相遇前， 2+t+3+2t﹣12＝12． 解得，t＝ ； ③点点 P 从 B 返回，并且与点 Q 相遇后， 2+t﹣3+2t﹣12＝12， 解得 t＝ 综上所述，当 t 的值是 5 或 或 时，点 P、Q 间的距离是 3 个单位． 2．解：（1）点 A 表示﹣10，点 B 表示 2； （2）①由题意得：AP＝6t，CQ＝3t， 如图 1 所示： 由 M 为 AP 中点， 得 AM＝ AP＝3t， 点 M 表示的数是﹣10+3t， ∵点 N 在 CQ 上，CN＝ CQ， ∴CN＝t， 点 N 表示的数是 6+t． ②由题意得，分三种情况： i）当点 M 在点 B 的左侧时，点 B 为 MN 中点： ∵MB＝12﹣3t，BN＝4+t， ∴12﹣3t＝4+t， 解得 t＝2； ii）当点 M 在点 B 的右侧，点 N 的左侧时，点 M 为 BN 中点： ∵MB＝﹣12+3t，MN＝16﹣2t， ∴﹣12+3t＝16﹣2t， 解得 t＝ ； iii）当点 M 在点 N 的右侧，点 N 为 BM 中点： ∵NB＝4+t，MN＝﹣16+2t， ∴4+t＝﹣16+2t， 解得 t＝20， 综上所述，当 t 为 2 秒或 秒或 20 秒时，M、B、N 三个点中的其中一个点是其他两点 构成的线段的中点． 3．解：（1）设 C 点表示的数为 c，根据题意得， 3（c+20）＝24﹣c， 解得，c＝﹣9， 故 C 表示的数为﹣9； （2）①根据题意得，a＝[﹣9﹣（﹣20）]÷3＝ ，则 b＝2a＝ ，c＝3a＝11， 当 0≤t≤a 时，M 小球对应的数为﹣20+3t， 当 a＜t≤b 时，M 小球对应的数为﹣20+3a﹣3（t﹣a）＝﹣20+6a﹣3t＝﹣20+22﹣3t＝2 ﹣3t． 当 b＜t≤c 时，M 小球对应的数为﹣20+3（t﹣b）＝﹣20+3t﹣3b＝﹣20+3t﹣22＝3t﹣42， 故答案为：3t﹣20；2﹣3t；3t﹣42； ②根据题意得，N 从 B 到 C 的时间为：[24﹣（﹣9）]÷2＝ ＞11， ∴N 点从 B 点出发，还没到达 C 点，两球就已经停止了运动， 当 0≤t≤ 时，若 M、N 两个小球的距离等于 42，则（24﹣2t）﹣（3t ﹣20）＝42， 解得，t＝ ； 当 时，若 M、N 两个小球的距离等于 42，则（24﹣2t）﹣（2﹣3t）＝42， 解得，t＝20（舍）； 当 1 时，若 M、N 两个小球的距离等于 42，则（24﹣2t）﹣（3t﹣42）＝42， 解得，t＝ （舍）； 综上，t＝ ； （3）根据题意得，P 点表示的数为： ， Q 点表示的数为： ， ∴PQ＝|（2﹣t）﹣（﹣10﹣t）|＝|12|＝12， 故 PQ 的长度为定值，该值为 12． 4．解：（1）∵BC＝300，AB＝ AC， 所以 AC＝600， C 点对应 200， ∴A 点对应的数为：200﹣600＝﹣400； （2）设 x 秒时，Q 在 R 右边时，恰好满足 MR＝4RN， ∴MR＝（10+2）× ， RN＝ [600﹣（5+2）x]， ∴MR＝4RN， ∴（10+2）× ＝4× [600﹣（5+2）x]， 解得：x＝60； ∴60 秒时恰好满足 MR＝4RN； （3）解：设运动时间为 t 秒，则：LC＝200+5t，KL＝800+5t，GL＝400+2.5t，AL＝400 ﹣5t；AG＝GL﹣AL＝7.5t， LC﹣AG＝300 答：点 L 在从点 D 运动到点 A 的过程中， LC﹣AG 的值不变． 5．（1）∵数轴上 A、B 两点对应的数分别是﹣4、12， ∴AB＝16； ∵CE＝8，CF＝1， ∴EF＝7 ∵点 F 是 AE 的中点． ∴AF＝EF＝7 ∴AC＝AF﹣CF＝7﹣1＝6 BE＝AB﹣AE＝16﹣7×2＝2 故答案为：16，6，2； （2）∵点 F 是 AE 的中点 ∴AF＝EF 设 AF＝FE＝x，∴CF＝8﹣x ∴BE＝16﹣2x＝2（8﹣x） ∴BE＝2CF （3）①当 0＜t≤6 时，P 对应数：﹣6+3t，Q 对应数﹣4+t PQ＝|﹣4+t﹣（﹣6+3t）|＝|﹣2t+2| 依题意得：|﹣2t+2|＝1 解得：t＝ 或 ②当 6＜t≤12 时，P 对应数 12﹣3（t﹣6）＝30﹣3t，Q 对应数﹣4+t PQ＝|30﹣3t﹣（﹣4+t）|＝|﹣4t+34| 依题意得：|﹣4t+34|＝1 解得：t＝ 或 ∴t 为 秒， 秒， 秒， 秒时，两点距离是 1． 6．解：（1）∵BD＝2，BC＝1，BD＝2BC ∴点 B 是【D，C】的好点． 故答案为：是； （2）设点 P 表示的数为 x，分以下几种情况： ①P 为【A，B】的好点 由题意，得 x﹣（﹣40）＝2（20﹣x）， 解得 x＝0， t＝20÷2＝10（秒）； ②A 为【B，P】的好点 由题意，得 20﹣（﹣40）＝2[x﹣（﹣40）]， 解得 x＝﹣10， t＝[20﹣（﹣10）]÷2＝15（秒）； ③P 为【B，A】的好点 由题意，得 20﹣x＝2[x﹣（﹣40）]， 解得 x＝﹣20， t＝[20﹣（﹣20）]÷2＝20（秒）； ④A 为【P，B】的好点 由题意得 x﹣（﹣40）＝2[20﹣（﹣40）] 解得 x＝80（舍）． ⑤B 为【A，P】的好点 20﹣（﹣40）＝2（20﹣x） ∴x＝﹣10 t＝[20﹣（﹣10）]÷2＝15（秒）； 此种情况点 P 的位置与②中重合，即点 P 为 AB 中点． 综上可知，当 t 为 10 秒、15 秒或 20 秒，P、A 和 B 中恰有一个点为其余两点的好点． 7．解：（1）终点 B 表示的数是﹣5+6＝1，A、B 两点间的距离是 1﹣（﹣5）＝6； （2）依题意有 a﹣10+70＝50， 解得 a＝﹣10； A、B 两点中间的点表示的数为（﹣10+50）÷2＝20； （3）设当它们运动 x 秒时间时，两只蚂蚁间的距离为 10 个单位长度， 电子蚂蚁 Q 向左运动， 依题意有 6t﹣4t＝50﹣（﹣10）﹣10， 解得 t＝25； 或 6t﹣4t＝50﹣（﹣10）+10， 解得 t＝35； 电子蚂蚁 Q 向右运动， 依题意有 6t+4t＝50﹣（﹣10）﹣10， 解得 t＝5； 或 6t+4t＝50﹣（﹣10）+10， 解得 t＝7． 故当它们运动 25 秒或 35 秒或 5 秒或 7 秒时间时，两只蚂蚁间的距离为 10 个单位长度． 故答案为：1，6；﹣10，20． 8．解：（1）设 BO＝x，则 AO＝3x， 由题意得：3x+x＝20 解得：x＝5 ∴OA＝15，OB＝5 ∴A、B 对应的数分别是﹣15、5 故答案为：﹣15；5． （2）设 x 秒后 A、B 相距 1 个单位长度 ①当点 A 在点 B 左侧时，4x+3x＝20﹣1 解得：x＝ ； ②当点 A 在点 B 右侧时，4x+3x＝20+1 解得：x＝3 答： 秒或 3 秒后 A、B 相距 1 个单位长度． （3）①当点 P 到达点 B 之前，点 P 位于 AB 中点时 AP＝10 ∴5t＝10 ∴t＝2； ②当点 P 到达点 B 之后，点 P 位于 AB 中点时 AB+BP＝20+10＝30 ∴5t＝30 ∴t＝6 答：点 P 是 AB 的中点时 t 的值为 2 或 6． （4）AP＝15+（5﹣4）t＝15+t，OP＝5t，OB＝5+3t 设 t 秒后 6AP+3OB﹣mOP 的值与 t 的取值无关， 则由题意得：6AP+3OB﹣mOP＝6（15+t）+3（5+3t）﹣m×5t ＝90+6t+15+9t﹣5mt ＝（6+9﹣5m）t+105 ＝（15﹣5m）t+105 ∵与 t 的取值无关 ∴15﹣5m＝0 ∴m＝3，此时定值为 105． 答：当 m＝3 时，6AP+3OB﹣mOP 的值与 t 的取值无关，定值为 105． 9．解：（1）∵C 表示的数为 6，BC＝4， ∴OB＝6﹣4＝2， ∴B 点表示 2． ∵AB＝12， ∴AO＝12﹣2＝10， ∴A 点表示﹣10． 故点 A 对应的数是﹣10，点 B 对应的数是 2； （2）①AP＝6t，CQ＝3t，如图 1 所示： ∵M 为 AP 的中点，N 在 CQ 上，且 CN＝ CQ， ∴AM＝ AP＝3t，CN＝ CQ＝t， ∵点 A 表示的数是﹣10，点 C 表示的数是 6， ∴点 M 表示的数是﹣10+3t，点 N 表示的数是 6+t； ②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN， ∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t， ∴﹣10+3t＝±（8+2t）， 当﹣10+3t＝8+2t 时，t＝18； 当﹣10+3t＝﹣（8+2t）时，t＝ ． ∴当 t＝18 或 t＝ 时，OM＝2BN． 10．解：（1）①∵AO＝2BO，点 A 在数轴上对应数是﹣800， ∴BO＝400， ∵点 B 在原点右侧， ∴点 B 在数轴上对应的数是 400； 故答案为：400； ②由题意得：OP＝8t，OQ＝4t，AR＝2t， ∴点 P 在数轴上对应的数是﹣8t；点 Q 在数轴上对应的数是 4t；OR＝800﹣2t，或 OR＝ 2t﹣800， ∴点 R 在数轴上对应的数是 2t﹣800 或 800﹣2t； 故答案为：﹣8t；4t；2t﹣800 或 800﹣2t； （2）①如图 1 所示：由题意得：2t+8t＝800﹣299，解得：t＝60； ②如图 2 所示：2t+8t＝800+200，解得：t＝100； 综上所述，t 为 60 秒或 100 秒时，动点 R 与动点 P 之间距离为 200 个单位长度； （3）t 秒后点 M 表示的数为 ＝﹣2t，点 N 表示的数为 ＝﹣400﹣ 3t， ∴MN＝|﹣2t﹣（﹣400﹣3t）|＝|t+400|＝t+400，MB＝400﹣（﹣2t）＝400+2t， ∴2MN﹣MB＝2（t+400）﹣（400+2t）＝400， ∴2MN﹣MB 为定值 400．