高中数学人教A版必修5第一章1.2应用举例-高度、角度问题课件

正余弦定理的运用举例 ——高度、角度问题 1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的 建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测 量飞机下方山顶的海拔高度呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题. 2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问 题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向， 保持一定的航速和航向呢？ 【自主预习】 1.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的 夹角,目标视线在水平线_____时叫仰角,目标视线在水 平线_____时叫俯角,如图所示. 上方 下方 2.方位角和方向角 (1)方位角:从_____方向_______转到目标方向线所成 的角.如图(1)目标A的方位角为135°. (2)方向角:从_____方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平角.如图(2),北偏东30°,南偏东45°. 正北 顺时针 指定 【即时小测】 一树干高15米,被台风吹断并歪倒,折断部分(长5米)与 残存树干成120°角,树干折断处距离地面的高度是 ________米.(不求近似值) 【解析】作示意图,如图所示,由题意得 AB=10,BC=5,∠ABC=120°,由余弦定理 得AC2=102+52-2×10×5×cos120°=175, 所以AC= 设B到AC的距离为h,则 AC·h= AB·BC·sinB,所以 所以h= 答案: 5 7， 1 2 1 2 1 1 35 7h 10 5 2 2 2      ， 5 21 . 7 5 21 7 1.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的 高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到 山顶的俯角为30°,经过1 min后又看到山顶的俯角为 75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据: ≈1.732) A.11.4 km B.6.6 km C.6.5 km D.5.6 km 求距离 练习.如图,一栋建筑物AB的高为 m,在该建 筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点 M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是 15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通 信塔CD的高为 (  ) 二 求角度 1.(2016·福州高一检测)岛A观察站发现在其东南方向 有一艘可疑船只,正以每小时10海里的速度向东南方向 航行(如图所示),观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡 航的海监船前往检查.接到通知后,海监船测得可疑船 只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处,随即以每 小时 海里的速度前往拦截. (1)问:海监船接到通知时,距离岛A多少 海里? (2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只, 求它的航行方向及其航行的时间. 10 3 2.(1)根据题意得∠BAC=45°,∠ABC=75°,BC=10, 所以∠ACB=180°-75°-45°=60°. 在△ABC中,由 得 答:海监船接到通知时,距离岛 海里. AB BC sin ACB sin BAC    310BCsin ACB 10sin 60 2AB 5 6. sin BAC sin 45 2 2         A5 6 (2)设海监船航行时间为t小时,则BD= CD=10t, 又因为∠BCD=180°-∠ACB=180°-60°=120°, 所以BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°, 所以300t2=100+100t2-2×10×10t· 所以2t2-t-1=0, 解得t=1或t=- (舍去). 10 3t, 1( ), 2  1 2 所以CD=10,所以BC=CD, 所以∠CBD= (180°-120°)=30°, 所以∠ABD=75°+30°=105°. 答:海监船沿方位角105°航行,航行时间为1个小时. (或答:海监船沿南偏东75°方向航行,航行时间为1个 小时.) 1 2 测量角度问题的基本思路 (1)测量角度问题关键是在弄清楚题意的基础上,画出 表示实际问题的图形,在图形中标出相关的角和距离. (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形,然后 将解得的结果转化为实际问题的解. 【拓展延伸】解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题. (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角 和距离,借助正弦定理或余弦定理解决问题. (3)把数学问题还原到实际问题中去. 【练习】如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其 正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等 待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相 距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直 线CB前往B处救援,则cosθ的值为 __________. 【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°, 由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800, 所以BC= 由正弦定理得, 所以sin∠ACB= 20 7， AB BC sin ACB sin BAC  ＝ ， AB 21sin BAC , BC 7  ＝ 由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB= 由θ=∠ACB+30°,cosθ=cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°= 故cosθ的值为 答案: 2 7 . 7 21 . 14 21 . 14 21 14 练习.某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处 有一走私船,正沿东偏南15°的方向以12海里/小时的速 度向我岸行驶,巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线 追击,问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船,并指 出巡逻艇的航行方向. 测量角度问题的基本思路 (1)测量角度问题关键是在弄清楚题意的基础上,画出 表示实际问题的图形,在图形中标出相关的角和距离. (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形,然后 将解得的结果转化为实际问题的解. 测量距离、角度问题的基本思路 (1)测量角度问题关键是在弄清楚题意的基础上,画出 表示实际问题的图形,在图形中标出相关的角和距离. (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形,然后 将解得的结果转化为实际问题的解. (3)要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的 背景资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化. 三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。黑 发不知勤学早，白首方悔读书迟。 ——颜真卿