§9 三角函数的简单应用
导思 1.回顾函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的性质有哪些?
2.应用三角函数模型解决实际问题的一般方法是什么?
解三角函数应用问题的基本步骤
【思考】在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,A,b与函数的最值有何关系?
提示:A,b与函数的最大值ymax,最小值ymin关系如下:
(1)ymax=A+b,ymin=-A+b;
(2)A= max min max miny y y y,b .2 2
－ ＋＝
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=3sin x-1的最大值为3. ( )
(2)直线x=π是函数y=sin x的一条对称轴. ( )
(3)函数y=sin(πx-4)的周期为2. ( )
提示:(1)×.最大值应该是3-1=2.
(2)×.x= +kπ(k∈Z),是y=sin x的对称轴.
(3)√.T= =2.
2
2
2.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)
的图像如图所示,则当t= 秒时,电流强度是 ( )
A.-5安 B.5安
C.5 安 D.10安
(A 0, 0,0 )2
1
100
3
【解析】选A.由图像知A=10,
所以ω= =100π,所以I=10sin(100πt+φ).
为五点中的第二个点,
所以100π× +φ= .
所以φ= ,所以I=10sin
当t= 秒时,I=-5安.
T 4 1 1 ,2 300 300 100
＝ ＝
2
T
1( ,10)300
1
300 2
6
(100 t ),6
＋
1
100
3.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中f(t)为血压,t为时
间,则此人每分钟心跳的次数为________.
【解析】因为T= ,所以f= =80.
答案:80
2 1
160 80
＝ 1
T
类型一 三角函数在物理中的应用(数学建模)
【题组训练】
1.如图所示为一简谐振动的图像,则下列判断正确的是 ( )
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度不为零
2.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220 来
表示,求:
(1)开始时的电压.
(2)电压值重复出现一次的时间间隔.
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
3sin(100 t )6
＋
【解析】1.选B.由图像可知,该质点的振动周期是2(0.7-0.3)=0.8(s),故A不
正确;质点在最大位移处的速度为0,在平衡位置处的加速度为0,故C,D错误,振
幅为5 cm,故选B.
2.(1)当t=0时,E=220 ,即开始时的电压为110 V.
(2)T= (s),即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V,
当100πt+ ,即t= (s)时第一次获得最大值.
3sin 110 36
3
2 1
100 50
＝
3
6 2
＝ 1
300
【解题策略】
三角函数模型在物理中的应用
(1)应用广泛:三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流、机
械波等具有周期现象的方面.
(2)物理术语数学化:解决三角函数模型在物理中的应用问题时,要注意将条件
中的物理术语与数学知识的联系、转化,如频率、平衡位置、波峰等.
(3)利用数学知识解决问题后要将求出的数据回归其物理意义,以解决实际问
题.
类型二 三角函数在实际生活中的应用(数学建模)
【典例】1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=
3sin +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
( x )6
2.据市场调查,某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数
f(x)=Asin(ωx+φ)+7 来表示(x为月份),已知3月份达到最高
价9万元,7月份价格最低,为5万元,则国庆节期间的价格约为( )
A.4.2万元 B.5.6万元 C.7万元D.8.4万元
【思路导引】1.由题干图知k-3=2,可解得k,则k+3就是最大值.
2.先利用函数的最大值A+7可求得A,然后根据7-3为 求出ω;再解方程求出φ,
即可求出f(x),进而预测价格.
(A 0, 0,| | )2
＞ ＞ ＜
T
2
【解析】1.选C.不妨设水深的最大值为M,由题意结合函数图像可得3+k=M,①
k-3=2,②
解得M=8.
2.选D.由题意得函数f(x)图像的最高点为(3,9),相邻的最低点为(7,5),则
A=
所以T=8,又因为T= ,所以ω= ,
所以f(x)=2sin +7,
把点(3,9)代入上式,得sin =1,
因为|φ|< ,所以φ=- ,
则f(x)=2sin +7,
所以当x=10时,f(10)=2sin +7= +7≈8.4.
9 5 T2, 7 3,2 2
2
4
( x )4
3( )4
2
4
( x )4 4
( 10 )4 4
2
【变式探究】
典例2条件不变,问:
在一年内商品价格不低于8万元的时间有多长?
【解析】由f(x)=2sin +7≥8易知有6个月的时间满足条件,故在一年内
商品价格不低于8万元的时间有6个月.
( x )4 4
－
【解题策略】 1.对三角函数应用的理解
三角函数是基本的初等函数之一,是反映周期变化现象的重要函数模型,在
数学和其他领域具有重要作用,命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周
期性现象的模型为载体,考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实
际问题的能力.
2.三角函数的应用在生产生活中的求解框图
【跟踪训练】某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,
水深与时间数据如表:
根据上述数据描出曲线,如图所示,经拟合,该曲线可近似地看做函数y=
Asin ωt+b的图像.
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
(1)试根据以上数据,求函数解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的,如果
某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m,那么该船何时能进入港口?在港口
能待多久?
【解析】(1)从拟合曲线可知,函数y=Asin ωt+b在一个周期内由最大变到最小
需9-3=6(h),此为半个周期,所以函数的最小正周期为12 h,因此 =12,得ω= .
因为当t=0时y=10,所以b=10.
因为ymax=13,所以A=13-10=3.
所求函数的解析式为y=3sin t+10(0≤t≤24).
2
6
6
(2)由于船的吃水深度为7 m,船底与海底的距离不少于4.5 m,故在船舶航行时
水深y应不小于7+4.5=11.5(m),所以当y≥11.5时就可以进港.
令y=3sin t+10≥11.5,得sin t≥ ,所以 +2kπ≤ t≤ +2kπ(k∈
Z),所以1+12k≤t≤5+12k(k∈Z).
取k=0,则1≤t≤5;取k=1,则13≤t≤17;
取k=2,则25≤t≤29(不合题意).
因此,该船可以在凌晨1点进港,5点出港或在13点进港,17点出港,每次可以在港
口停留4小时.
6
6
1
2 6
6
5
6
1.函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可以是 ( )
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=
C.f(x)=xcos x
D.f(x)=x·
cos x
x
3(x ) (x )2 2
－ －
【解析】选C.观察图像知,函数为奇函数,排除D;又函数在x=0处有定义,排除B;
令x= =0,A不合适.,f ( )2 2
2.弹簧振子以O点为平衡位置,在B,C间做简谐振动,B,C相距20 cm,某时刻振子
处在B点,经0.5 s振子首次到达C点,则振子在5秒内通过的路程及5 s末相对平
衡位置的位移大小分别为________cm,________cm.
【解析】振幅A=10,T=0.5×2=1,每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过
200 cm;经过5个周期仍回到初始位置B,位移为10 cm.
答案:200 10
3.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)(其中0
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