§3 弧 度 制
1.角度制和弧度制
导思
1.什么是弧度制?1弧度是如何规定的?
2.角度制与弧度制是如何进行换算的?
3.弧长公式及扇形的面积公式是什么?
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制,规定1度的角等
于周角的
弧度制
在单位圆中,________的弧所对的圆心角称为1弧度角,单位符
号用rad表示,读作_____.以弧度作为单位来度量角的单位制
叫作弧度制
1
360
长度为1
2.角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
【思考】
“弧度”与“度”互化过程中,其“正负”变化吗?
提示:不变.
3.弧度数与弧度制的作用
【思考】
弧度制与角度制相比,有哪些好处?
提示:弧度制使得角和实数建立了一一对应关系.角的集合可以写作(0,π),而
不能写作(0°,180°).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度的角的大小与其所在的圆的半径的大小有关. ( )
(2)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度. ( )
(3)弧度数为2的角所在圆的半径为1,则其所对的弧长为2. ( )
提示:(1)×.1弧度的角的大小与圆的大小无关,只要弧长等于半径,则弧所对的
圆心角就是1弧度的角.
(2)√.由角度与弧度的互化可知其正确.
(3)√.由弧长公式得弧长为2×1=2.
2.圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是 ( )
A. cm2 B. cm2 C.π cm2 D.3π cm2
【解析】选B.根据扇形面积公式,得S= × ×62= (cm2).
2
3
2
1
2 12
3
2
3.(教材二次开发:习题改编)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成
的角的弧度数是( )
【解析】选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A,B不正确,又
因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的 .即为- ×2π=- .
A. B. C. D.
3 6 3 6
1
6 3
1
6
类型一 角度与弧度的互化(数学抽象)
【题组训练】
1.将下列角度与弧度进行互化.
(1) π;(2) π;(3)-157°30′;(4)-15°.
2.设α=510°,β=
(1)将角α用弧度表示出来,并指出它的终边所在的象限.
(2)将角β用角度表示出来,并指出它的终边所在的象限.
5
12
7
6
－
11 .
6
【解析】1.(1) π= ×180°=75°;
(2)- π=- ×180°=-210°;
(3)-157°30′=-157.5°=-157.5× rad=- π rad;
(4)-15°=-15× rad=- rad.
2.(1)因为1°= rad,
所以α=510°=510× rad= rad=2π+
所以角α的终边在第二象限.
5
12
5
12
7
6
7
6
180
7
8
180
12
180
180
17
6
5 .
6
(2)β= =-330°.
360°-330°=30°,所以角β的终边在第一象限.
11 11 180 )
6 6
－ － （
【解题策略】
角度与弧度互化的策略
(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°= rad和1 rad= 进行换
算.
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=α· ;
n°=n· rad.
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略
不写;
180
180)
（
180)
（
180
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要
求,不必把π写成小数;
③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
【补偿训练】
(1)把112°30′化成弧度.
(2)把 化为角度.
【解析】(1)112°30′=112.5°=
=
(2) =-105°.
7
12
－
225( )
2
225 5 .
2 180 8
＝
7 7 180( )
12 12
－ ＝－
类型二 用弧度表示角及其范围(逻辑推理)
【典例】1.若θ角的终边与 的终边相同,则在[0,2π]内终边与 角的终
边相同的角是________.
2.图中阴影部分表示的角度的集合为________(包括边界).
【思路导引】用终边相同角表示并计算,注意范围.
4
8
5
【解析】1.由已知θ=2kπ+ (k∈Z).
所以 (k∈Z).
由 ≤2π,得
因为k∈Z,所以k=0,1,2,3.
所以 依次为
答案:
8
5
k 2
4 2 5
k 20
2 5
4 16k .
5 5
4
2 9 7 19 .
5 10 5 10
， ， ，
2 9 7 19
5 10 5 10
， ， ，
2.第一象限阴影部分可表示为 第三象限阴影部分
可表示为 所以整个阴影部分可表示为
答案:
{ | 2k 2k ,k Z},
6
7{ | (2k 1) 2k ,k Z},
6
7{ | 2k 2k ,k Z} { | (2k 1) 2k ,k Z}
6 6
{ | n n ,n Z}.
6
{ | n n ,n Z}
6
【解题策略】
1.用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用.
(2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当地赋值.
2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点
(1)引入弧度制后,角与实数建立了一一对应关系.
(2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和
弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同.
(3)“角度”与“弧度”可以按照“180° =π rad”这一等量关系进行相互
转化.
【跟踪训练】
1.集合 所表示的角的范围(用阴影表示)是
( )
{ | k k k Z}
4 2
，
【解析】选C.当k=2m,m∈Z时,2mπ+ ≤α≤2mπ+ ,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z
时,2mπ+ ≤α≤2mπ+ ,m∈Z.
4
2
5
4
3
2
2.用弧度制表示:(1)终边在x轴上的角的集合.
(2)终边在y轴上的角的集合.
(3)终边在坐标轴上的角的集合.
【解析】(1)终边在x轴上的角的集合
S1={β|β=kπ,k∈Z}.
(2)终边在y轴上的角的集合
(3)终边在坐标轴上的角的集合
2S { | k ,k Z}.
2
3
kS { | ,k Z}.
2
类型三 弧长公式与面积公式的应用(数学建模、数学运算)
角度1 求弧长
【典例】已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径长为6,求 的长.
【思路导引】化角度制为弧度制,应用公式.
【解析】因为α=120°= π,r=6,所以 的长l= π×6=4π.
AB
2
3 AB
2
3
【变式探究】
已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是________.
【解析】由已知圆的半径为r= ,故所求的弧长为l=αr= .
答案:
1
sin 1
2
sin 1
2
sin 1
角度2 求圆心角
【典例】已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,求扇形圆心角的弧度数.
【思路导引】设出弧长与半径,列方程求解.
【解析】设扇形的弧长为l,所在圆的半径为r,
由题意得 消去l并整理得,
r2-3r+2=0,
解得r=1或r=2.
当r=1时,l=4,圆心角|α|= =4;
当r=2时,l=2,圆心角|α|= =1.
故扇形的圆心角为1弧度或4弧度.
2r 6
1 r 2
2
＋ ＝ ，
＝ ，
l
l
4
r 1
＝l
2
r 2
＝l
角度3 求面积的最值
【典例】已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使
扇形的面积最大?最大面积是多少?
【思路导引】用r表示弧长l,根据扇形的面积公式,构造面积S与半径r的二次函
数,求最值.
【解析】设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,则l+2r=40,所以
l=40-2r.
所以S= lr= ×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100.
所以当半径r=10 cm时,扇形的面积最大,最大值为100 cm2,此时|θ|=
rad=2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad,半径为10 cm时,扇形的面积最大为100 cm2.
1
2
1
2
40 2 10
r 10
－＝l
【解题策略】
(1)三个公式:|α|= ,l=|α|r,S= lr= |α|r2.要根据已知量、未知量之
间的关系,适当选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知
哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程
(组)求解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
用函数知识求最值,一般多利用二次函数的最值求解.
r
l 1
2
1
2
【补偿训练】
1.若两个圆心角相同的扇形,半径之比为a,则面积之比为多少呢?
【解析】设 =a.则 =a2,可得面积之比为a2.1
2
r
r
2
1
1
22
2
1 | | rS 2
1S | | r
2
2.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4,则这两个扇形的周长之比为
________.
【解析】方法一:设两个扇形的圆心角的弧度数为α,半径分别为r,R(其中
r
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