沪教版数学七年级第一学期9.6整式的除法（多项式除以单项式）

知识点 1 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法法则： m n m na a a   ( m 、 n 是正整数，且 m n ， 0a  ) 也就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减，其中底数 a 不等于零，是一个非常重 要的条件，因为若底数为零，则零的任何次幂都等于零，这样除数就为零了，而除数为零时， 式子无意义. 这里字母 a 可以表示一个具体的数字，也可以表示一个字母，还可以表示一个单项式或 多项式. 同底数幂的除法法则与同底数幂的乘法法则是互逆的关系，可利用它们之间的关系来验 证结果是否正确. 2. 零指数幂的意义 任何不等于零的数的零次幂为 1，即 0 1a  （ 0a  ） 要特别理解 0a 的意义， 0a 的意思是底数是 a 且指数相等的两个幂相除，即 01 m m m m a a aa    同样地，这里的 0a  ，即底数不为零.例如，若 0( 1) 1x   ，则必有 1 0x   的条件， 即 1x  . 3. 运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除； 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. 4. 计算时的几点注意 （1） m n m na a a   的条件： 0a  ， m 、 n 均为正整数，并且 m n . （2） 0 1a  的条件是 0a  ， 00 没意义. （3）运算时要注意符号，特别是当负号较多时. 例 1 计算下列各题： （1） 8 3x x （2） 8 5( ) ( )a a   （3） 8 5( ) ( )a a   （4） 7 6( ) ( )x y y x   第八讲 整式的除法 知识要点 例 2 计算下列各题： （1） 3 3 2 3 2( ) [( )( ) ]a a a    （2） 3 3 4 3 2 3 3 2[( ) ( ) ] ( ) ( )a a a a    （3） 4 0 2[ 2 (4 2 2 ) ( 2 ) 32] 4        （4） 9 2 219 27 ( 3)   例 3 若 0( 2) 1x   ，则 x 的取值范围是 . 例 4 某农科院要在一块长 51.2 10 cm ，宽 42.4 10 cm 的实验基地上培育新品种粮食，现 培育每种新品种要边长为 41.2 10 cm 的正方形实验田，问这块实验基地最多能培育 几种新品种粮食？ 例 5 已知3 6m  ，9 2n  ，求 2 4 13 m n  的值. 知识点 2 单项式除以单项式 1. 单项式除以单项式的运算法则 单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商式的因式，对于只在被除式里 含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 2. 两个单项式相除可分为三个步骤 （1）把系数相除，所得的结果作为商的系数； （2）把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式； （3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式. 这里显然指的是被除式能被除式整除的情况,所以两个单项式相除,在现阶段仍是一个单 项式. 3. 单项式除以单项式实质上是单项式乘法的逆运算，即已知两个单项式的积和其中一个单 项式，求另一个单项式的问题，所以，可以用单项式乘法法则检验单项式除以单项式的结果 是否正确. 例 1 计算： （1） 2 3 3 22( 0.5 ) ( )5a b x ax   （2） 2 2 2(5 ) [( ) ]m n nx y xy   （3） 2 4 3 3 5 23 1(2 ) ( ) ( )4 2ax a x y a xy   （4） 6 39( ) 3( )m n m n   例 2 计算 （1） 13 10 1112 (3 4 )  （2） 12 8 9 6a b a b （3） 2 5 3 3[( 2 ) ] [ ( ) ]a a     例 3 设 1 2a  ， 4 3b  ， 1n  .求 2 1 3 1 1 2 3n n n na b a b    的值. 例 4 已知底面一边长为 1 2 a ，另一边长为 1 3 a 的长方体的体积是棱长为 a 的正方体体积的 1 24 ，求长方体的高. 知识点 3 多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，用式子 表示就是： ( )am bm cm n am n bm n cm n         . 2. 多项式除以单项式是多项式乘以单项式的逆运算 多项式除以单项式，其基本方法与步骤是划归为单项式除以单项式，结果仍是多项式， 其项数与原多项式的项数相同.因此多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法 的运算，在准确应用相关的运算法则.根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的 运算法则的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算.由于 1( ) ( )am bm cm m am bm cm m        ，故多项式除以单项式的法则也可以看做是乘法 对加法的分配律的应用. 3. 运用多项式除以单项式的法则时要注意的几点 （1）商的项数与被除式的项数相同； （2）每一项的符号视单项式的符号确定，当单项式的符号为负时，商的各项符号与多项 式的各项符号相反；当单项式的符号为正时，商的各项符号与多项式的各项符号相同. （3）当被除式中有一项与除式相同时，这一项被出以后得到的商为 1 而不是 0，这个 1 是商里的一项，与商式里的其他各项式相加的关系； （4）商的次数不高于多项式的次数，商的次数=多项式的次数-单项式的次数，如果多项 式是五次多项式，单项式是二次单项式，当这个多项式除以这个单项式时，商的次数是三次 多项式； （5）某些多项式除以多项式也可以应用多项式除以单项式的法则，如 2[( ) ( )] ( ) ( ) 1 1a b a b a b a b a b           （6）被除式=商式除式+余式. 例 1 计算下列各式 （1） 3 2(24 16 8 ) 8a a a a   （2） 4 3 3 2 3 2(6 2 ) ( 2 )a b a b a b   （3） 5 4 4 3 3 3 3 39 3 3(6 )10 5 5m n m n m n m n   （4） 3 2[2( ) 4( ) ] ( )x y x y x y x y       （5） 3 2 3 2 2 3 21 3[( 3 ) (3 ) 5 ]5 5a x x a ax a ax      （6） 2 1 2( ) ( )n n n nax bx cx x      （7） 3 2[3( ) 2( ) ] ( )a b a b a b a b       例 2 多项式 5 4 3 26 15 3 3 1x x x x x     除以 23x 余式为 1x  ，求商式. 例 3 利用乘法公式进行计算： （1） 2 2( ) ( )a b a b   （2） 2 2[( ) 4 ] ( )a b ab a b    （3） 4 4 2 2( ) ( ) ( )a b a b a b     一．判断题 1. 3 2( 2) ( 2) 2     ( ) 2. 5 5x x x  ( ) 3. 3 3 0x x  ( ) 4. 1m mx x x  ( ) 5. 2 1( ) ( 2 ) 2xy xy y    ( ) 6. 2 3 2 2 2( 5 ) (5 ) 5x y x y x y   ( ) 二．填空题 1.如果 0a  ， 0a  . 2. 2 1na   na . 3. 7 4( ) ( )a a    . 4. 0 02 5( 2 ) ( 3 )5 7     . 课堂练习 5. 2 5( 2 ) (2 )x y y x    . 6. 2 3 3 2 23 2 3a b a b a b    . 7. 2(3 2 6 ) 2x x xy x    . 8. 2 3 3 43 3( )2 4x y z x y   . 三．选择题 1.下面各题中计算错误的有（ ） A. 5 3 2 2(2 ) (2 ) 4 4a b a b a ab b      B. 7 3 5a a a a   C. 9 4 3( )x x x x   D. 2 4 3 4 5 2 10[( ) ( ) ] ( )a a a a   2.如果 2a my y y  ，那么 a 的值是（ ） A. 3 m B. 3m C. 3m D.-2 3.如果 4 1( ) mx y  能被 2 5( ) mx y  整除，则 m 可取（ ） A.1,2,3， B.任何整数 C.不小于 3 的整数 D.大于 3 的整数 4. 23( ) ( 3 )4 a bc ab   等于（ ） A. 9 4 ac B. 1 4 ac C. 29 4 a c D. 21 4 a c 5.计算 2 2 24 ( 3 ) ( 4 )a b ma b ab    的结果是（ ） A. 3 23ma b B. 33ma b C. 23 4 ma b D. 23 4 ma b 6. 3 2 3 2 2( 4 12 7 ) ( 4 )x x y x y x     等于（ ） A. 24 7x y x B. 273 4x y xy  C. 2 273 4x y xy  D. 43 7x y x  7. 2 1 2 3 2 5(81 27 54 ) 3n n n nx x x x     等于（ ） A. 8 7 1027 9 18x x x  B. 4 5 2 327 9 18n n nx x x    C. 6 5 2 727 9 18n n nx x x    D. 6 5 2 778 24 51n n nx x x    8.若 3 24 2 2x x x k   能被 2x 整除，那么 k 的值为（ ） A.1 B.2 C.-2 D.0 四．计算题 1.计算下列各式 （1） 7 3( )y y  （2） 4 3( ) ( )a b a b   （3） 2 1m ma a  （4） 12 5 3( ) ( ) ( ) ( )a b b a a b b a       （5）( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m n k ka b ab a b        2.计算下列各式 （1） 3 4 41 2( ) ( )2 3x y z xy   （2） 4 2 2 5 518 {[2 ( )] [ ( 3 )]}3a bc ab a c bc d cd      （3） 2 3 3 2 21[( ) ] ( 3 ) 2a b ab a b    （4） 5 4 43( ) [ 2( ) ]a b c a b c      （5） 1 2 2 2 1(4 ) ( )n n n nx y x y     （6） 2 2 3 2 31( 3 ) ( ) 22 n m ma b ab a b    3.计算下列各式 （1） 5 4( 3 2 ) 4x x x x   （2） 1 2 1(3 6 9 ) 3n n n nx x x x     （3） 2 2 2[ ( ) ( )] ( 3 )ab a ab a b a b ab     （4） 3[3( ) ] ( )a b a b a b     （5） 1 2 1 2 2( 3 ) ( 2 )m n m n m na b a b a b        （6） 5 4 3(5 4 3 ) [ (2 3 )]a a a a a a a      （6） 5 4 3 3 3 2(12 9 6 ) ( 2 ) (8 6 4 ) 2x x x x x x x x        五．解答题 1.已知 1 29 27 3m m m  的值为 27，求 m 的值. 2.先化简，再求值： 4 3 5 5 2 4 33 3 1( ) ( ) ( )2 4 2x y x y xy    ，其中 2x   ， 1y   . 3.化简： 2 2 2 2 3( 1) ( 1) ( 1)m m ma a a a a a        （ m 是正整数）. 4.先化简，再求值： 2 2 2 2(3 7 ) 6 (15 5 ) ( 10 ) (9 2 ) ( 3 )x y xy xy x x x y y y          . （其中 1 3x   ， 1y  ） 5.化简求值： 2[( 2 )( 2 ) 4( 2 ) ] 3a b b a b a a      ，其中 3 17a   ， 3 16b   . 6.化简求值： 2 3 2 2 3 4 21[( 3 ) 2 (3 ) ] 92xy x x xy y x y      ，其中 1x  ， 1y   . 一.填空题 1.计算： 4 2 4 3 21 1( )6 3x y z x yz    2.计算： 3 2 2 3 2 2(4 ) ( 0.5 )x y x y x y    3.计算： 5 2( )a a    4.计算： 5 2 2( ) ( ) ( 3 )( 2 )a a a a       5. 2 2( 4 ) (2 )m n n m    6. 2 2( 2 ) ( )m mn n n m     7. 2 2 2 2[( ) ( ) ] ( )m n m n m n      8.计算： 0( 1.132)  9. 0( 3) 1x   ，则 x 的取值范围是 10.若 213 3 t sa sa a  ，则 s= ，t= 11.计算： 2 2 4 4( )( )( ) ( )a b a b a b a b      12.计算： 2( 4 21) ( 3)x x x     二.选择题 1.下列运算正确的是（ ） A. 15 5 3a a a  B. 6 3 3( ) ( )a a a     C. 6 5( ) ( )a a a    D. 6 5( )a a a    2.下列运算正确的是（ ） A. 2 2 2(18 12 ) 3 6 4ab a b ab ab ab    B. 3 2 2( 2 1) ( ) 2 1a a a a a        C. 3 2 2 2 2 2 2 2(2 3 ) ( ) 2 3 1a b a b c a b a b ab bc        家庭作业 D. 3 2 22( ) 3 2 33 a b ab ab a b    3.如果 n 是正整数，且 3( ) 3 1nA x x   ，则 A 等于（ ） A. 3 1 33 n nx x  B. 3 1 33 n nx x  C. 3 33 n nx x  D. 3 1 33 n nx x  三.计算下列各题 1. 2 3 2 2 2 3( 5 ) ( )a b c ab c   2. 1 1 481 27 9 3n n n n     3. 3 4 2 3 2 2 3 2 7 81[( 3 ) 2 (3 ) ] 92x y x x x y y x y     4. 2( 2 15) ( 3)x x x     5. 2 2[( ) 4 ] ( )a b ab b a    6.若 n 为正整数，化简： 2 2 2[( ) ( ) ] ( )n n nx x x     四.解答题 1.若 8, 16,x ya a   求 2x ya  . 2.已知： 3 3 2 2 2 2 31[8 ( ) ] 8x y xy A x y xy      ，求 4A x .