沪科版七年级上册数学3.4：二元一次方程应用题型

1 7 年级数学一对一讲义-二元一次方程组应用题型 姓名____________ 上课时间____________ 课堂落实____________ 模块一 用二元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程组，解应用题的一般步骤:审题、设元、列方程、检验、作答.列一元一次方程解应用题的时候,我们需要考 虑设哪个未知量为 x , 运用哪个相等关系来列方程, 解答此类问题的关键是找到问题中的数量关系,并根据数量关系列方程来解决问题.寻找问题中的相等关系的方 法有:抓住关键词,根据路程、工程、利率、面积等基本数量关系以及用不同的式子表示同一个量. 模块二 常见列方程解应用题的几种类型 类型一、比赛得分问题 1.一次足球赛共 15 轮( 即每队均赛 15 场 ),胜一场记 2 分,平一场记 1 分,负一场记 0 分.某中学足球队胜的场数是负 的场数的 2 倍,结果共得 17 分,这个足球队平的场数是( ) A.2 B.4 C.7 D.9 2.篮球比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得 2 分,负一场得 1 分.艾美所在的球队在 8 场比赛中得 14 分.若设艾 美所在的球队胜 x 场,负 y 场,则可列出方程组为 . 3.有 48 支队 520 名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队 10 人,每支排球队 12 人,每名运动员只能参加一项比 赛,篮球、排球各有多少支队参赛? 4. 在一场篮球比赛中,某队员得 23 分( 不含罚球得分 ),已知他投进的 3 分球比 2 分球少 4 个,则他一共投进了 个 3 分球和 个 2 分球. 5. 某班进行个人投篮比赛,受污损的下表记录了在规定时间内投进 n 个球的人数分布情况: 进球数 n 0 1 2 3 4 5 投进 n 个球的人数 1 2 7 2 已知进 3 个球及以上的人平均每人投进 3.5 个球;进 4 个球及以下的人平均每人投进 2.5 个球.问:投进 3 个球和 4 个球 的各有多少人? 类型二 . 行程问题 2 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： ○1 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； ○2 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系： 顺流速度=静水速度+水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度； 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 1. A,B 两地相距 20 km,甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发.若同向而行,甲 5 h 追上乙;若相向而行,两人 2 h 后相遇, 则甲、乙两人的速度分别是( ) A.5 km/h,2 km/h B.10 km/h,4 km/h C.3 km/h,7km/h D.7 km/h,3 km/h 2. 从 A 城到 B 城的航线长 1200 km,一架飞机从 A 城飞往 B 城,需要 2 h,从 B 城飞往 A 城,需要 2.5 h,假设飞机保持匀 速,风速的大小和方向不变.若设飞机的速度为 x km/h,风速为 y km/h,则可列方程组为 . 3. A,B 两地相距 36 km,两人步行,甲从 A 地到 B 地,乙从 B 地到 A 地.若两人同时出发,相向而行,4 h 后相遇;若步行 6 h, 则甲剩下的路程是乙剩下的路程的 2 倍,求两人的速度. 4.一艘船顺水航行 45 km 需要 3 h,逆水航行 65 km 需要 5 h.若设该船在静水中的速度为 x km/h,水流速度为 y km/h, 则 x,y 的值分别为( ) A.13,2 B.14,1 C.15,1 D.14,2 3 5.小颖家离学校 1200 m,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.她去学校共用了 16 min.假设小颖上坡路的平均速度是 3 km/h,下坡路的平均速度是 5 km/h.若设小颖上坡用了 x min,下坡用了 y min,则根据题意可列方程组为( ) A. 3 + 5 = 1200 + = 16 B. 3 60 + 5 60 = 1.2 + = 16C. 3 + 5 = 1.2 + = 16 D. 3 60 + 5 60 = 1200 + = 16 【变式拓展】王老师布置了一道思考题:小明家离学校 1000 米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.他跑步去学校共 用时 18 分钟,已知小明上坡的平均速度为 30 米/分钟,下坡的平均速度为 80 米/分钟,小明上坡和下坡各用了多长时间? 小亮同学设出未知数 x,y 后列出了方程组 ；小颖也设出未知数,却列了和小亮不同的方程 组: x + y = 1000, . 则横线上应填的方程是 .( 写一个即可 ) 6. 甲、乙两人开车,同时从相距 105 km 的两个城市相向而行,2 h 后相遇.已知甲每小时比乙多行驶 2.5 km,则甲的速度 是 km/h,乙的速度是 km/h. 7. 甲、乙两辆车从相距 360 千米的 A,B 两地匀速相向而行,甲车从 A 地出发,乙车从 B 地出发.若甲车比乙车先出发 1 小时,则两辆车在乙车出发后经 2 小时相遇;若乙车比甲车先出发 2.5 小时,则两辆车在甲车出发后经 1.5 小时相遇.问甲、 乙两辆车每小时各行驶多少千米? 8. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路,假设他始终保持平路每分钟走 60 m,下坡路每分钟走 80 m,上坡 路每分钟走 40 m,则他从家里到学校需 10 min,从学校到家里需 15 min.问:从小华家到学校的平路和下坡路各有多远? 4 9. 随着“互联网+”时代的到来,一种新型的打车方式受到大众欢迎,该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成,其 中里程费按 p 元/公里计算,耗时费按 q 元/分钟计算( 总费用不足 9 元按 9 元计价 ).小敏、小刚两人用该打车方式 出行,按上述计价规则,其行驶里程数、耗时以及打车总费用如下表: 里程数 s/公里 耗时 t/分钟 车费/元 小敏 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求 p,q 的值; (2)若小华也用该打车方式打车,平均车速为 55 公里/小时,行驶了 11 公里,那么小华的打车总费用为多少? 类型三 . 销售问题 1、商品销售利润问题中的关系式: ①利润=售价一成本价(商品进价); ②利润率=商品利润 商品成本 100％; ③销售额=商品销售价 商品销售量; ④销售利润额=(销售价一成本)×销售量. 2、折扣问题:商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原价的 80％出售. 3.利息问题中的关系： ①利息=本金×利率×期数; ②本息和=本金+利息 1.打折前购买 A 商品 40 件与购买 B 商品 30 件所花的钱一样多,商家打折促销,A 商品打八折,B 商品打九折,此时购买 A 商品 40 件比购买 B 商品 30 件少花 600 元,则打折前 A 商品和 B 商品每件的价格分别为( ) A.75 元,100 元 B.120 元,160 元 C.150 元,200 元 D.180 元,240 元 2.( 张家界中考 )某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,购买了黑白两种颜色的文化衫共 140 件,进行手绘设计 后出售,所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表: 批发价/元 零售价/元 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 假设文化衫全部售出,共获利 1860 元,求黑白两种文化衫各多少件? 3. 甲、乙两件服装的成本共 500 元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按 50%的利润定价,乙服装按 40%的利润定价. 在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按 9 折出售,这样商店共获利 157 元.求甲、乙两件服装的成本各是多少元? 5 类型四 . 分段计费问题 1 分段计费问题中的主要关系式： 总费用=基础部分费用+超过部分费用 2.解决方案决策问题的基本步骤： ①用含未知数的式子表示几种方案; ②建立方程求出相等情况下未知数的值; ③根据未知数的值进行方案决策 1.据电力部门统计,每天 8:00 至 21:00 是用电高峰期,简称“峰时”,21:00 至次日 8:00 是用电低谷期,简称“谷时”.为 了缓解供电需求紧张的矛盾,我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表,对用电实行“峰谷分时电价”新政策. 具体见表: 时间 换表前 换表后 峰时( 8:00~ 21:00 ) 谷时( 21:00~ 次日 8:00 ) 电价 0.52 元/千瓦·时 x 元/千瓦·时 y 元/千瓦·时 已知每千瓦·时峰时价比谷时价高 0.25 元.小卫家对换表后最初使用的 100 千瓦·时用电情况进行统计分析知:峰时用电 量占 80%,谷时用电量占 20%,与换表前相比,电费共下降 2 元.请你求出表格中 x 和 y 的值. 类型五 . 百分率问题 1.某县为了响应国家“退耕还林”的号召,将该县一部分耕地改还为林地.改还后,林地面积和耕地面积共有 180 km2, 耕地面积是林地面积的 25%.设改还后耕地面积为 x km2,林地面积为 y km2,则下列方程组中,正确的是( ) A. + = 180 = 25% B. + = 180 = 25%C. + = 180 − = 25% D. + = 180 − = 25% 2. 5 月份,甲、乙两个工厂用水量共为 200 吨.进入夏季用水高峰期后,两工厂积极响应国家号召,采取节水措施.6 月份, 甲工厂用水量比 5 月份减少了 15%,乙工厂用水量比 5 月份减少了 10%,两个工厂 6 月份用水量共为 174 吨,求两个工厂 5 月份的用水量各是多少.设甲工厂 5 月份用水量为 x 吨,乙工厂 5 月份用水量为 y 吨,根据题意列关于 x,y 的方程组 为 . 3. 某农场去年计划生产玉米和小麦共 200 吨.采用新技术后,实际产量为 225 吨,其中玉米超产 5%,小麦超产 15%,求该农 场去年实际生产玉米、小麦各多少吨? 6 类型六、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 1、某地为了打造风光带，将一段长为 360m 的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时 20 天，已 知甲工程队每天整治 24m，乙工程队每天整治 16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道． 2、一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元，若先请甲组 单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可以完成，需付两组费用共 3480 元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？ （2）单独请哪组，商店所付费用较少？ （3）若装修完后，商店每天可赢利 200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 类型七 . 人员调配问题 寻找相等关系的方法：抓住甲处的数量与乙处的数量间的配套关系去考虑． 1.( 深圳中考 )某旅店一共 70 个房间,大房间每间住 8 个人,小房间每间住 6 个人,一共 480 个学生刚好住满.设大房 间有 x 个,小房间有 y 个.下列方程组正确的是( ) A. + = 70 8 + 6 = 480 B. + = 70 6 + 8 = 480C. + = 480 6 + 8 = 70 D. + = 480 8 + 6 = 70 2.抗洪救灾小组在 A 地段现有 28 人,B 地段现有 15 人,又调来 29 人分配在 A,B 地段,要求调配后 A 地段人数是 B 地段 人数的 2 倍,求调往 A 地段的人数和 B 地段的人数. 3.某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是每天可以精加工 6 吨或粗加工 16 吨.现 计划用 15 天完成加工任务,该公司应安排几天精加工?几天粗加工?设安排 x 天精加工,y 天粗加工.为解决这个问题,所 列方程组正确的是( ) A. + = 140 16 + 6 = 15 B. + = 140 6 + 16 = 15C. + = 15 16 + 6 = 140 D. + = 15 6 + 16 = 140 7 4. 在某市“棚户区改造”建设工程中,有甲、乙两种车辆参加运土.已知 5 辆甲种车和 2 辆乙种车一次共可运土 64 立 方米;3 辆甲种车和 1 辆乙种车一次共可运土 36 立方米.求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米? 5. 某中学组织一批学生开展社会实践活动,原计划租用 45 座客车若干辆,但有 15 人没有座位;若租用同样数量的 60 座 客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知 45 座客车租金为每辆 220 元,60 座客车租金为每辆 300 元. (1)这批学生的人数是多少?原计划租用 45 座客车多少辆? (2)若租用同一种客车,且要使每位学生都有座位,应该怎样租用才合算? 6.某公司需要粉刷一些相同的房间,经调查 3 名师傅一天粉刷 8 个房间,还剩 40 m2 刷不完;5 名徒弟一天可以粉刷 9 个 房间;每名师傅比徒弟一天多刷 30 m2 的墙面. (1)求每个房间需要粉刷的面积. (2)该公司现有 36 个这样的房间需要粉刷,若只聘请 1 名师傅和 2 名徒弟一起粉刷,需要几天完成? (3)若来该公司应聘的有 3 名师傅和 10 名徒弟,每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是 240 元和 200 元,该公司要求这 36 个房间要在 2 天内粉刷完成,问人工费最低是多少? 类型八 . 方案设计问题 方案设计问题：各种方案的考虑 方案选择问题：各种方案的比较 1. 某校 5 名老师带领若干名学生旅游( 旅游费统一支付 ).他们联系了标价相同( 都为 a 元/人 )的两家旅行社,经 洽谈,A 旅行社优惠条件是教师全额付费,学生按七折付费;B 旅行社优惠条件是全体师生按八折付费. (1)学生有多少人时,两家旅行社收费相同? (2)现有学生 20 人,那么他们选哪一家旅行社旅游费用少些呢? 8 2.为迎接元旦的到来,电商平台 A 对本年度最受消费者喜爱的某品牌辣椒酱进行促销,促销方式为:每人每次凡购买不 超过 15 瓶的,每瓶 4 元,外加运费 a 元;超过 15 瓶的,超过的部分每瓶减少 b 元,并付运费 a 元.若设购买的瓶数为 x 瓶. (1)当 x≤15 时,请用含 x 和 a 的代数式表示购买所需费用为 元; 当当 x>15 时,请用含 x 和 a,b 的代数式表示购买所需费用为 元. (2)王老师和李老师看到促销信息后打算在该平台分别购买 20 瓶和 26 瓶该品牌辣椒酱. ①经过预算,两位老师在该平台购买分别花费 82 元和 100 元,请通过计算求出 a,b 的值. ②你能帮两位老师设计一种更省钱的购买方案吗? 3. 某电器商场销售进价分别为 120 元、190 元的 A,B 两种型号的电风扇,如下表所示是近两周的销售情况( 进价、售 价均保持不变,利润=销售收入-进货成本 ): 销售时段 销售数量 销售收入A 种型号 B 种型号 第一周 5 台 6 台 2310 元 第二周 8 台 9 台 3540 元 (1)求 A,B 两种型号的电风扇的销售单价. (2)若商场再购进这两种型号的电风扇共 120 台,并且全部销售完,该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为 8040 元 的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.