2021届浙江省高考数学模拟试卷（4月份） （解析版）

2021 年浙江省高考数学模拟试卷（4 月份） 一、选择题（共 10 小题）. 1．已知集合 A＝{x|y＝ }，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则（ ∁ RA）∪B＝（ ） A．（1，2） B．（0，1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，2） 2．设复数 z 的共轭复数为 ．若 z＝1﹣i（i 为虚数单位），则 的值为（ ） A．i B．﹣i C．0 D．3i 3．已知 a，b ∈ R，则“|a|+|b|＜2”是“|ab|＜1”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 4．设平面 α ⊥平面 β ， α ∩ β ＝l，点 P ∈α ，且 P ∉ l，则下列命题中真命题的是（ ） A．过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 l B．过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 βC．过点 P 且垂直于 α 的平面平行于 l D．过点 P 且垂直于 α 的平面平行于 β5．函数 y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当 a 变动时，函数 b＝g（a）的图象可以 是（ ） A． B． C． D． 6．已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn，且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 7．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于 2022 年在北京召开，这是我国在 2008 年成功举办 夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放 5 个广 告，其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运 宣传广告，且 2 个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（ ） A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种 8．已知实数 x，y 满足不等式组 ．设 z＝2|x|﹣y，则 z 的取值范围为（ ） A．[﹣1，10] B．[﹣1，1] C．[﹣10，1] D．[﹣1，5] 9．如图，F1，F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1 与 C2 在第二、四象限 的公共点，若 AF1⊥BF1，设 C1 与 C2 的离心率分别为 e1，e2，则 8e1+e2 的最小值为（ ） A．6+ B． C． D． 10．三棱锥 D﹣ABC 中，∠ACD＝2∠ACB＝120°，CD＝2BC，则异面直线 AC 与 BD 所成 的角可能是（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11．我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为： “今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱，人出七（钱），不足四（钱）， 问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 ，物价是 （钱）． 12．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的表面积为 cm2，其体积 为 cm3． 13．已知 bxn+1＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n 对任意 x ∈ R 恒成立，且 a1＝9， a2＝36，则 b＝ ；a1+2a2+…+nan＝ ． 14．由 1，2，3，4，5 组成的可重复数字的三位数构成的集合记为 M，现从 M 中任取一个 数．设组成此三位数的数字中不同的偶数字的个数为 ξ ，例如：若取出的数为 212，即 ξ＝1；若取出的数为 214，即 ξ ＝2．则概率 P（ ξ ＝0）＝ ，数学期望 E（ ξ ）＝ ． 15．已知实数 x，y 满足 x2+xy＝1，则 y2﹣2xy 的最小值为 ． 16．已知点 O 是△ABC 的外心，∠BAC＝60°，设 ，且实数 m，n 满足 m+4n ＝2，则 mn 的值是 ． 17．设圆 O：x2+y2＝1 上两点 A（x1，y1），B（x2，y2）满足 ，则|x1﹣2y1|+|x2 ﹣2y2|的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 btanA＝（2c﹣b）tanB． （Ⅰ）求角 A； （Ⅱ）若向量 m  ＝（cosB，2cosA）， n  ＝（0，cos2 ），求| m  ﹣2 n  |的取值范围． 19．如图，三棱锥 P﹣ABC 中，底面 ABC 为正三角形，PA⊥平面 ABC，AG⊥平面 PBC， 垂足为 G． （Ⅰ）问 G 是否可能是△PBC 的垂心？说明你的理由； （Ⅱ）若 G 恰是△PBC 的重心，求直线 BC 与平面 ABG 所成的角． 20．已知数列{an}前 n 项和为 Sn 满足 S1＝2，Sn+1＝3Sn+2（n ∈ N*）． （Ⅰ）求通项公式 an； （Ⅱ）设 bn＝ （n ∈ N*），求证： ≤b1+b2+…+bn﹣ n≤ ． 21．已知点 P（2，1）到抛物线 C：y2＝ax（a＞0）的准线的距离为 ，设过点 P 的直线与 C 相交于两点 A，B（异于坐标原点 O）． （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）求 cos∠AOB 的取值范围． 22．设函数 f（x）＝alnx﹣ x2+x+b（a，b ∈ R）． （Ⅰ）求 f（x）的极值； （Ⅱ）已知 a＞0．若存在实数 b，使得 e≤af（x）≤e2+1 对 x ∈ [1，e]恒成立，求 a 的取 值范围．（其中 e 是自然对数的底数） 参考答案 一、选择题（共 10 小题）. 1．已知集合 A＝{x|y＝ }，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则（ ∁ RA）∪B＝（ ） A．（1，2） B．（0，1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，2） 解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}， ∴ ∁ RA＝{x|x＞1}，∴（ ∁ RA）∪B＝（0，+∞）． 故选：C． 2．设复数 z 的共轭复数为 ．若 z＝1﹣i（i 为虚数单位），则 的值为（ ） A．i B．﹣i C．0 D．3i 解：因为 z＝1﹣i（i 为虚数单位）， 所以 ＝ +（1﹣i）2＝ ﹣2i＝ ＝i﹣2i＝﹣i， 故选：B． 3．已知 a，b ∈ R，则“|a|+|b|＜2”是“|ab|＜1”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 解：由“|a|+|b|＜2”，得 ≤ ＜1，所以|ab|＜1，充分性成立； 由|ab|＜1，不能得出|a|+|b|＜2 成立， 例如： 时，满足|ab|＜1，但|a|+|b|＝5 ＞2，所以必要性不成立； 是充分不必要条件． 故选：B． 4．设平面 α ⊥平面 β ， α ∩ β ＝l，点 P ∈α ，且 P ∉ l，则下列命题中真命题的是（ ） A．过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 l B．过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 βC．过点 P 且垂直于 α 的平面平行于 l D．过点 P 且垂直于 α 的平面平行于 β解：对于 A：过点 P 且垂直于 α 的直线垂直于 α 内的所有直线，则垂直于 l，故 A 错； 对于 B：在 β 内作一直线 l1 垂直于 l，由平面 α ⊥平面 β ， α ∩ β ＝l，可得 l1⊥ α ， 从而有过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 l1，进而平行于 β ，故 B 正确； 对于 C，D，过点 P 且垂直于 α 的平面可以围绕过点 P 且垂直于 α 的直线旋转， 则过点 P 且垂直于 α 的平面与 l 不一定平行，与 β 也不一定平行，故 C，D 均错误． 故选：B． 5．函数 y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当 a 变动时，函数 b＝g（a）的图象可以 是（ ） A． B． C． D． 解：根据选项可知 a≤0 a 变动时，函数 y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]， ∴2|b|＝16，b＝4 故选：B． 6．已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn，且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 解：等差数列{an}前 n 项和为 Sn，且 ＝ ，∴a1＝ d， 则 ＝ ＝ ＝ ， 故选：D． 7．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于 2022 年在北京召开，这是我国在 2008 年成功举办 夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放 5 个广 告，其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运 宣传广告，且 2 个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（ ） A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种 解：根据题意，分 3 步进行分析： ① 先将一条奥运宣传广告放在最后，有 2 种情况， ② 将 3 个商业广告全排列，安排在奥运宣传广告之前，有 种情况， ③ 另一奥运广告插入 3 个商业广告之间，有 3 种情况， 则有 2×3×6＝36 种播放方式， 故选：C． 8．已知实数 x，y 满足不等式组 ．设 z＝2|x|﹣y，则 z 的取值范围为（ ） A．[﹣1，10] B．[﹣1，1] C．[﹣10，1] D．[﹣1，5] 解：由 z＝2|x|﹣y 得 y＝2|x|﹣z，画出 y＝2|x|的折线图象， 当该折线图像沿 y 轴向上平移经过点 B（0，1）时，﹣z 取最大值为 1； 当该折线图像沿 y 轴向下平移经过点 时，﹣z 取最小值为﹣10， 即﹣10≤﹣z≤1，即﹣1≤z≤10， 故选：A． 9．如图，F1，F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1 与 C2 在第二、四象限 的公共点，若 AF1⊥BF1，设 C1 与 C2 的离心率分别为 e1，e2，则 8e1+e2 的最小值为（ ） A．6+ B． C． D． 解：连接 AF2，BF2，则由对称性及 AF1⊥BF1，得矩形 AF1BF1， 故 ． 由 ，得 ． 令 ，则 ， ． 设 ， 由 ，得 t＝2， 当 1＜t＜2 时，f′（t）＜0，函数是减函数，t＞2 时，f′（t）＞0，函数是增函数， t＝2 时，函数取得最小值， 故 ， 故选：C． 10．三棱锥 D﹣ABC 中，∠ACD＝2∠ACB＝120°，CD＝2BC，则异面直线 AC 与 BD 所成 的角可能是（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 解 ： 设 CD ＝ 2BC ＝ 2m． ． 由于∠ACB+∠ACD＝180°，将侧面 ACD 沿 AC 展开到平面 ABC， 则三点 B、C、D 共线， 又此三棱锥可看成将△ACD 沿直线 AC 翻折而成的，故不难得 ． 设异面直线 AC 与 BD 所成的角为 θ ，则 ， 即 θ∈ （30°，60°）， 故选：B． 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11．我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为： “今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱，人出七（钱），不足四（钱）， 问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 7 ，物价是 53 （钱）． 解：人数是 x，物价是 y（钱）， 则由题意，得 ，解得 ， 所以人数是 7，物价是 53 钱． 故答案为：7，53． 12．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的表面积为 12 cm2，其 体积为 2 cm3． 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为 2 的为等边三角形， 高为 2 的三棱柱体； 如图所示： 所以该几何体的体积为：V＝ ， 该几何体的表面积为： ＝12+2 ． 故答案为： ． 此几何体为侧面水平放置的棱长均为 2 的正三棱柱． 13．已知 bxn+1＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n 对任意 x ∈ R 恒成立，且 a1＝9， a2＝36，则 b＝ 1 ；a1+2a2+…+nan＝ 2304 ． 解：设 x﹣1＝t，则 ， 由此得 ，解得 另一方面，等式两边对 t 求导，得 ，再令 t＝1， 得 ． 故答案为：1；2304． 14．由 1，2，3，4，5 组成的可重复数字的三位数构成的集合记为 M，现从 M 中任取一个 数．设组成此三位数的数字中不同的偶数字的个数为 ξ ，例如：若取出的数为 212，即 ξ＝1；若取出的数为 214，即 ξ ＝2．则概率 P（ ξ ＝0）＝ ，数学期望 E（ ξ ）＝ ． 解：M 中元素有 53＝125 个，这 125 个三位数（可重复数字）可分以下三类： ①ξ ＝0，即全有奇数字组成的三位数（可重复数字）有 33＝27 个；P（ ξ ＝0）＝ ， ②ξ ＝1 即只有一个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有 3×3×2×3+3×3×2+2＝74 个，P（ ξ ＝1）＝ ， （注意不要遗漏形如 252，344，222 等三位数）； ③ξ ＝2 即只有两个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有 个，P（ ξ＝2）＝ ， （注意不要遗漏形如 242，244 等三位数）． 所以 ξ 的分布列如下： ξ 0 1 2 P 所以 ． 故答案为： ， ． 15．已知实数 x，y 满足 x2+xy＝1，则 y2﹣2xy 的最小值为 2 ． 解：由 x2+xy＝1，得 ， 所以， ，这里等号能成立． 故答案为：2 ﹣4． 16．已知点 O 是△ABC 的外心，∠BAC＝60°，设 ，且实数 m，n 满足 m+4n ＝2，则 mn 的值是 0 ． 解：由 ，得 又∠BAC＝60°，即有 解得 ， 由取等号条件知 b＝2c，从而 ．mn＝0． 故答案为：0． 17．设圆 O：x2+y2＝1 上两点 A（x1，y1），B（x2，y2）满足 ，则|x1﹣2y1|+|x2 ﹣2y2|的取值范围是 ． 解：由 ，得∠AOB＝120°． 设 表示两点 A，B 分别到直线 x﹣2y＝0 的距离之和． 取直线 x﹣2y＝0 为 x 轴重新建立直角坐标系后，则 h 表示两点 A，B 分别到 x 轴的距离 之和． 在新的直角坐标系下，设 A（cos θ ，sin θ ），B（cos（ θ +120°），sin（ θ +120°））， 则有 h＝|sin θ |+|sin（ θ +120°）|，由对称性，不妨设点 B 在 x 轴上或上方，即﹣120°≤ θ≤60°． 所以 ① 当 00≤ θ ≤60°时，h＝sin θ +sin（ θ +120°）＝sin（ θ +60°）， ∵00≤ θ ≤60°，∴60°≤ θ +60°≤120°，∴sin（ θ +60°） ∈ [ ，1]，∴h ∈ [ ，1]， ② 当﹣120°≤ θ ＜0°时，h＝﹣sin θ +sin（ θ +120°）＝ cos（ θ +60°）， ∵﹣120°≤ θ ＜0°，∴﹣60°≤ θ +60°＜60°，∴cos（ θ +60°） ∈ [ ，1]， ∴h ∈ [ ， ]， 综上得 ，从而得 ． 故答案为：[ ， ]． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 btanA＝（2c﹣b）tanB． （Ⅰ）求角 A； （Ⅱ）若向量 m  ＝（cosB，2cosA）， n  ＝（0，cos2 ），求| m  ﹣2 n  |的取值范围． 解：（I）由 btanA＝（2c﹣b）tanB，及正弦定理，得 ， 即 sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，即 sin（A+B）＝2sinCcosA， 所以 ，A＝60°． （II） ， 可得| m  ﹣2 n  |＝ 所 以 ， ． 由于 0°＜B＜120°，得 ， 所以 ．……… 19．如图，三棱锥 P﹣ABC 中，底面 ABC 为正三角形，PA⊥平面 ABC，AG⊥平面 PBC， 垂足为 G． （Ⅰ）问 G 是否可能是△PBC 的垂心？说明你的理由； （Ⅱ）若 G 恰是△PBC 的重心，求直线 BC 与平面 ABG 所成的角． 解：（I）设 G 是△PBC 的垂心，则 BG⊥PC， 由 AG⊥平面 PBC，得 AG⊥PC，所以 PC⊥平面 ABG， 即 PC⊥AB，又由 PA⊥平面 ABC，得 PA⊥AB， 所以，AB⊥平面 PAC，从而 AB⊥AC，这与正三角形 ABC 矛盾． 所以，G 不可能是△PBC 的垂心．………… （II）延长 BG 交 PC 于 E，连 AE，则 E 是 PC 中点．延长 PG 交 BC 于 F， 连 AF，则 F 是 BC 中点，由 G 恰是△PBC 的重心，得 PG＝2GF．不妨设 AB＝2． 正三角形 ABC 中， ，BC⊥AF． 由 AG⊥平面 PBC，可得 AG⊥PF，AG⊥BE． 由 PA⊥平面 ABC，得 PA⊥AF．在 RT△PAF 中，由 AF2＝FG⋅ FP＝3FG2，得 FG＝1， 进而 ．从而 ， 在△PBC 中，由 2（BE2+CE2）＝PB2+BC2，得 ． 设 BC 与平面 ABG 所成的角为 θ ，点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则 ． 由 E 是 PC 中点，可得 ，即有 ， 所以 ，从而 ， 即 BC 与平面 ABG 所成的角为 45°．………… 20．已知数列{an}前 n 项和为 Sn 满足 S1＝2，Sn+1＝3Sn+2（n ∈ N*）． （Ⅰ）求通项公式 an； （Ⅱ）设 bn＝ （n ∈ N*），求证： ≤b1+b2+…+bn﹣ n≤ ． 【解答】（I）解：由 Sn+1＝3Sn+2（n ∈ N*），得 Sn＝3Sn﹣1+2（n≥2），两式相减，得 an+1 ＝3an（n≥2）． 由 S2＝3S1+2＝a1+a2，S1＝a1＝2，得 a2＝6＝3a1， 所以， ，即数列{an}是以 2 为首项，公比为 3 的等比数列， 从而有 ．………… （II）证明：由（I）知 ，从而 ， 所以，当 n≥2 时， ， 从而有 ； 当 n＝1 时，不等式显然成立． 综上，有 成立．………… 21．已知点 P（2，1）到抛物线 C：y2＝ax（a＞0）的准线的距离为 ，设过点 P 的直线与 C 相交于两点 A，B（异于坐标原点 O）． （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）求 cos∠AOB 的取值范围． 解：（I）抛物线 C：y2＝ax（a＞0）的准线方程为 ， 所以点 P 到准线的距离为 ，得 a＝2．………… （II）设 ，并设 AB 方程为 t（y﹣1）＝x﹣2， 将 x＝ty+2﹣t 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y2﹣2ty+2t﹣4＝0，进而有 y1+y2＝2t，y1y2＝2t ﹣4． 由于 A，B 异于坐标原点 O，所以 y1y2＝2t﹣4≠0，即 t≠2． 所以， ＝ ， ① 当 t（t﹣2）＞0，即 t＞2 或 t＜0 时， ， 由 t ＞ 2 或 t ＜ 0 ， 得 ， 所 以 ； ② 当 t（t﹣2）＝0（t≠2），即 t＝0 时，cos∠AOB＝0； ③ 当 t（t﹣2）＜0，即 0＜t＜2 时 ，由 0＜t＜2，得 ，所以 ； 综上，cos∠AOB 的取值范围 ．………… 22．设函数 f（x）＝alnx﹣ x2+x+b（a，b ∈ R）． （Ⅰ）求 f（x）的极值； （Ⅱ）已知 a＞0．若存在实数 b，使得 e≤af（x）≤e2+1 对 x ∈ [1，e]恒成立，求 a 的取 值范围．（其中 e 是自然对数的底数） 解：（I）a≠0，x＞0， ， ① 当 a＞0 时， 当 0＜x＜a 时，f'（x）＞0；当 x＞a 时，f'（x）＜0． 所以 f（x）的增区间为（0，a]，减区间为[a，+∞）， 所以 f（x）有极大值为 f（a）＝alna+b，无极小值； ② 当 a＜0 时， 当 时，f'（x）＞0；当 x＞﹣ 时，f'（x）＜0． 所以 f（x）的增区间为 ，减区间为 ， 所以 f（x）有极大值为 ，无极小值． 综上可知，当 a＞0 时，f（x）的极大值为 f（a）＝alna+b，无极小值； 当 a＜0 时，f（x）的极大值为 ，无极小值． （II）若 0＜a≤1，则由（I）知 f（x）在[1，e]上单调递减， 故要使得 e≤af（x）≤e2+1 对[1，e]恒成立， 只要存在实数 b，使得 成立， 即要 ，从而只要 ， 又 0＜a≤1，解得 ． 若 1＜a＜e，则由小题（I）知 f（x）在[1，a]上单调递增，在[a，e]上单调递减， 故要使得 e≤af（x）≤e2+1 对[1，e]恒成立， 只要存在实数 b，使得 成立， 即要 ，从而只要 ， 即 由于 1＜a＜e，可知 e2﹣e+a﹣a2lna≥e2﹣e+a﹣a2＝（e﹣a）（e+a﹣1）≥0 成立，从而 （*）式成立； 由于 1＜a＜e，可知（**）式显然成立． 所以，当 1＜a＜e 时，符合题意． 若 a≥e，则由（I）知 f（x）在[1，e]上递增，故要使得 e≤af（x）≤e2+1 对[1，e]恒成立， 只要存在实数 b，使得 成立， 即要 ，从而只要 ， 解得 1﹣2e≤a≤e，又 a≥e，所以 a＝e； 综上所述，a 的取值范围是 ．