华大新高考联盟2021届4月教学质量测评数学试题.docx

华大新高考联盟2021届高三4月教学质量测评 数学试题 第1页 共6页 华大新高考联盟2021届高三4月教学质量测评 数 学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 ．已知集合   , 1A x y y  ，   2 2, 2B x y x y  ≤ ，则集合 A B 中含有的元素有（ ） A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个 2 ．已知复数 1 3 i2 2   z ，则表示复数 1 z z 的点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3 ．拉面是很多食客喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折（对折后 面条根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捨在一只手里的面 团．如果拉面师傅将300g面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捨在手里的面团都是18g，第一次拉的 长度是1m，共拉了7次，则最后每根1m长的细丝面条的质量（假定所有细丝面条粗线均匀，质量相 等）是（ ） A． 87 g64 B．3g C．1.5g D．3.5g 4 ．若角 顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 2 0x y  上，则 sin cos4 4               （ ） A． 3 5  B． 4 5  C． 3 10  D． 3 10 5 ．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投人 a 亿元进行基础建设，t 年后产生   ef t a  亿 元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过t 年，该项 投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则 t  （ ） A．4 B．8 C．12 D．16 6 ．图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点 A ， B ， C 在同一水平面 内．塔身 PO  平面 ABC ，直线 AO 与 BC 的交点 E 是 BC 的中点，起重小车挂在线段 AO 上的 D 点， AB AC ， 6DO  m．若 2PO  m， 3PB  m， ABC△ 的面积为 210m ，根据图中标注的数据， 忽略 ABC△ 自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下可得点 A ， P 之间的距离为  0.5 1.5OD OE （ ） A． 2 17 m B． 6 2 m C．8m D．9m 华大新高考联盟2021届高三4月教学质量测评 数学试题 第2页 共6页 7 ．  ,0F c 是双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b   ＞ ＞ 的右焦点，直线 x c 交该双曲线于点 M ， N （ M 在第一象 限），点 B ， A 分别是该双曲线的左、右顶点， C 是 AB 延长线上的点， .AN CM 该双曲线离心率 的取值范围是（ ） A．  2, B． 1, 2 C． 1, 3 D． 2, 8 ．如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID－19的概率统计表： 单独防疫措施 戴口罩 勤洗手 接种COVID－19疫苗 感染COVID－19的概率 p  1 145 p 100 p 一次核酸检测的准确率为1 10 p .某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种 COVID－19疫苗，感染COVID－19的概率都为0.01．这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一 个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的． 他们 3 人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做 了10次核酸检测．以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID－19的概率为依据，这 10 次 核酸检测中，有 X 次结果为确诊， X 的数学期望为 A． 61.98 10 B． 71.98 10 C． 71.8 10 D． 72.2 10 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9 ．下面结论成立的是（ ） A．戏曲书放在中间的不同放法有7!种 B．诗集相邻的不同放法有 2 6! 种 C．四大古典名著互不相邻的不同放法有 4! 3! 种 D．四大古典名著不放在两端的不同放法有 4 5A 3! 种 10．下列函数中，是奇函数或者增函数的是（ ） A．   1sin 0sin 2f x x xx       ＜ ＜ B．   2 4 0 2f x x x x        ＜ ＜ C．   e ex xf x   D．   1lg 1 xf x x   11．已知对 x  R ，    1f x f x   ，当 1 1x ≤ ≤ 时，   3f x x x  下列说法正确的是（ ） A．  f x 是以 2 为周期的函数 B．直线 3 3x  是  f x 图象的一条对称轴 C． n  N ，   1 0 n i f i   D．  f x 的减区间是  3 32 ,23 3k k k        Z 12．直线  : 02 pl y k x p     ＞ 与拖物线 2: 2C y px 有公共点 M ， N （ M ， N 可以重合）， F 是抛物线 C 的焦点，直线 l 与 x 轴交于点 .P 下列结论成立的是（ ） A． 2 1MN k FM FN   B．若 4FM  ， 2FN  ，则抛物线 C 的方程是 2 16 3y x C．当 M ， N 重合时， PMF△ 内切圆的面积为 2p 华大新高考联盟2021届高三4月教学质量测评 数学试题 第3页 共6页 D．点 F 到直线 l 的最大距离为 2 2 p 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．一长方体的八个顶点都在半径为1的球面上，平面 把该长方体分成了体积相等的两部分，则平面 被这个球截得的截面面积为_______. 14．如果函数  f x 在区间 1D 上和区间 2D 上都是减函数，且  f x 在 1 2D D 上也是减函数，则称  f x 是 1 2D D 上的间减函数，如   2 , 1 , 0 x xf x x x   ≥ ＜ 是    ,0 1,  上的间减函数．   1, 0 , 0 x xg x x x    ≥ ＜ 是    ,0 0,  即 R 上的间减函数，   0.3logh x x 是  0, 上的间减函数， y cos x 不是    0, 2 ,3   上的间减函数， 1y x  不是    ,0 0,  上的间减函数．以下四个函数中：①  f x x  ，②   0.5 1 , 02 log , 0 x xg x x x       ≤ ＞ ，③ 2 , 1 cos 1,0 x xy x x      ≤ ＜ ≤ ，④  h x x ．其中是间减函数的是 _______.（写出所有正确答案的序号） 15．商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法 律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表． 项目落地国 中国 南亚某国 投资额 x （亿元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 利润 y （亿元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15 请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为_______；并根据回归直线方程预 计在该国投资15亿元所获得的利润是_______亿元.参考数据和公式：  5 2 1 10i i x x    ，中国   5 1 20i i i x x y y     ，南亚某国   5 1 7i i i x x y y     ，      5 1 5 2 1 ˆ i i i i i x x y y b x x         ， ˆˆa y bx  . 16．已知平面向量 a ， b ， c 满足： 2a = b ， 2  a b ， 1  c a b ，则 a c 的取值范围是_______. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分10分） 已知 nS 是正项等差数列 na 前 n 项和， 24 2n n nS a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2 na nb n  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 18．（本题满分12分） 华大新高考联盟2021届高三4月教学质量测评 数学试题 第4页 共6页 已知函数    2cos sin 3 cos 3 02 2 2 x x xf x          ＞ 的最小正周期为  . （1）当 4 5x  ≤ ≤ 时，求函数  f x 的值域； （2）在锐角 ABC△ 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别是 a ， b ， c ，   0f A  ， 3sin 4sinB C ， ABC△ 的面积为 3 3 ，求 a . 19．（本题满分12分） 某市志愿者的身影活跃在各个角落，他们或积极抗疫，或抗灾救险……为社会发展做出了突出贡 献．现随机抽取了男女志愿者共200名，他们年龄（单位：岁）都在区间 20,60 上，并绘制了女志愿者年 龄分布直方图，如图．在这200名志愿者中，年龄在 20,30 上的女志愿者是15名，年龄在 20,40 上的女 志愿者人数是男志愿人数的 11 8 . （1）用分层抽样的方法从年龄在区间 30,40 ， 40,50 上的女志愿者中抽取7人，再从这7人中随机抽 取3人，抽取的3人中，有 X 人年龄在区间 40,50 上，求 X 的分布列和数学期望； （2）完成下面 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关? 附：参考公式和 2K 检验临界值表：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    .  2 0P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 20．（本题满分12分） 年龄小于40岁 年龄不小于40岁 合计 男 女 合计 华大新高考联盟2021届高三4月教学质量测评 数学试题 第5页 共6页 已知 D ， E 都是 ABC△ 的边 AC 的三等分点， F 是 AB 的中点， BE AC ， 2 5AB  ， 6AC  ， 如图①．同时将 ADF△ 和 CEB△ 分别沿 DF ， EB 折起，折起后 //AD CE ，如图②． （1）在图②中，求证： AB DC ； （2）在图②中，若 2DC  ，求二面角 A BD C  的余弦． 21．（本题满分12分） 已知  ,0F c 是椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b   ＞ ＞ 的右焦点，直线 y x c  交椭圆 C 于 M ， N 两点，交 y 轴 于点 A ， 1AM MF  ， 1AN NF  ， 1 1 6    . （1）求椭圆 C 的离心率 e ； （2） B 是椭圆 C 上的点， O 是坐标原点， 2 2OB OM ON     ，求 2 2 2 2  的值． 22．（本题满分12分） 华大新高考联盟2021届高三4月教学质量测评 数学试题 第6页 共6页 已知函数   2e exf x m x  有两个不相等的极值点． （1）求实数 m 的取值范围； （2）设函数  f x 两个不相等的极值点分别为 1x ， 2x ，求证： （i） 1 2 1 2 1 2 1 2ln ln 2 x x x xx x x x    ＜ ＜ ；（ii） 1 2 1 22x x x x ＞ ．