高一数学2.2.2对数函数及其性质重难点题型（举一反三）（解析版）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2.2.2 对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】 【知识点 1 对数函数的定义】 1.对数函数的概念 一般地，把函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以 10 为底的对数函数 xy lg . （2）自然对数函数：以无理数 e 为底的对数函数 xy ln . 【知识点 2 对数函数的图象与性质】 对数函数的图象与性质列表如下： a＞1 0＜a＜1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即 x＝1 时，y＝0 函数值的变化 当 0＜x＜1 时，y＜0； 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x＜1 时，y＞0； 当 x＞1 时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点 3 反函数】 在指数函数 )10(  aaay x ， 中，x 是自变量，y 是 x 的函数，其定义域是 R，值域是（0，+  ）； 在对数函数 )1,0(log  aayx a 中，y 是自变量，x 是 y 的函数，其定义域是 R，值域是（0，+  ）， 像这样的两个函数叫作互为反函数. 【考点 1 对数函数的概念】 【例 1】（2019 秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ） A．y＝log3（x+1） B．y＝loga（2x）（a＞0，且 a≠1） C．y＝lnx D． 【变式 1-1】给出下列函数： ① y＝ x2； ② y＝log3（x﹣1）； ③ y＝logx+1x； ④ y＝log π x． 其中是对数函数的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式 1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ① y＝logx2； ② y＝logax（a ∈ R） ③ y＝log8x； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ④ y＝lnx ⑤ y＝logx（x+2）； ⑥ y＝2log4x ⑦ y＝log2（x+1） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式 1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（ ） ① y＝logax2（a＞0，且 a≠1）； ② y＝log2x﹣1； ③ y＝2log8x； ④ y＝logxa（x＞0，且 x≠1）； ⑤ y＝log5x； ⑥ y＝logax（a＞0，a≠1） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点 2 利用对数函数的性质比较大小】 【例 2】（2019 秋•福田区校级月考）设 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【变式 2-1】（2019 秋•天山区校级月考）已知正实数 a，b，c 满足 loga2＝2，log3b＝ ，c6＝7，则 a，b， c 的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【变式 2-2】（2019 秋•沙坪坝区校级月考）已知 a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 【变式 2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ） A． B． C． D． 【考点 3 与对数函数有关的函数图象识别】 【例 3】（2018 秋•合阳县期末）已知 a＞0，b＞0，且 ab＝1，a≠1，则函数 f（x）＝ax 与函数 g（x）＝﹣ logbx 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 C． D． 【变式 3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当 x ∈ R 时，函数 f（x）＝a|x|始终满足 0＜|f（x）|≤1，则函数 y＝ loga| |的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】（2018 秋•船营区校级月考）函数 f（x）＝ 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】（2019 秋•洛南县期末）函数 y＝|lg（x+1）|的图象是（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【考点 4 对数函数图象过定点问题】 【例 4】（2018 秋•赣州期中）函数 y＝loga（x﹣1）+loga（x+1）（a＞0 且 a≠1）的图象必过定点（ ） A．（ ） B．（0，﹣ ） C．（ ） D．（ ） 【变式 4-1】（2019 秋•水富县校级月考）已知函数 y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P， 则 P 点坐标是（ ） A．（1，3） B．（﹣ ，4） C．（﹣1，3） D．（﹣1，4） 【变式 4-2】（2018 秋•烟台期中）函数 y＝loga（x+2）+ax+1+2（a＞0，且 a≠1）的图象必经过的点是（ ） A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3） 【变式 4-3】（2019 秋•赣州期末）已知 a＞0，a≠1，则 f（x）＝loga 的图象恒过点（ ） A．（1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣1，0） D．（1，4） 【考点 5 有关对数函数奇偶性问题】 【例 5】（2018•肇庆二模）已知 f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则 f（x）是（ ） A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数 B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数 C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数 D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数 【变式 5-1】（2019 秋•南充期末）已知函数 f（x）＝loga（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则 f （x）在定义域上是（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【变式 5-2】（2019 秋•新宁县校级期中）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数 C．f（x）是非奇非偶函数 D．f（x）既是奇函数又是偶函数 【变式 5-3】（2016 春•石家庄校级月考）函数 f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则 f（x）+g（x） 为（ ） A．奇函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 B．偶函数 C．既不是奇函数又不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【考点 6 与对数函数有关的定义域问题】 【例 6】（2018 秋•肇庆期末）函数 y＝ 的定义域为（ ） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，2）∪（2，+∞） D．（1，2）∪[3，+∞） 【变式 6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式 6-2】（2018 秋•宜宾期末）函数 y＝ 的定义域是（ ） A．（ ，+∞） B．（ ，1] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 【变式 6-3】（2018 春•连城县校级月考）函数 y＝ 的定义域是（ ） A．[1，+∞） B．（ ，+∞） C．（1，+∞） D．（ ，1] 【考点 7 与对数函数有关的值域问题】 【例 7】（2019 秋•南昌校级期中）函数 y＝log4（2x+3﹣x2）值域为 ． 【变式 7-1】（2019 春•赣榆区校级月考）函数 的值域为 ． 【变式 7-2】（2019 秋•九原区校级期末）函数 y＝（ x）2﹣ x2+5 在 2≤x≤4 时的值域为 ． 【变式 7-3】（2019 秋•松江区期末）函数 的值域为 ． 【考点 8 与对数函数有关的最值问题】 【例 8】（2019 秋•离石区校级月考）设 x≥0，y≥0 且 x+2y＝ ，则函数 u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值 为 ． 【变式 8-1】（2019 秋•田阳县校级月考）函数 f（x）＝loga（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为 2， 则 a 的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【变式 8-2】（2019 春•天津期末）若函数 y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则 a 的取值范围是 ． 【变式 8-3】（2019 秋•会宁县校级期中）已知函数 f（x）＝2+log3x，x ∈ [1，9]，函数 y＝[f（x）]2+f（x2） 的最大值为 ． 【考点 9 与对数函数的单调性有关的问题】 【例 9】（2019 春•吉林期末）已知函数 f（x）＝loga（x+3）﹣loga（3﹣x），a＞0 且 a≠1． （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断并证明函数 f（x）的奇偶性； （3）若 a＞1，指出函数的单调性，并求函数 f（x）在区间[0，1]上的最大值． 【变式 9-1】（2018 秋•南岗区校级期中）已知 f（x）＝loga （a＞0，且 a≠1，m≠﹣1）是定义在区 间（﹣1，1）上的奇函数， （1）求 f（0）的值和实数 m 的值； （2）判断函数 f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由； （3）若 f（ ）＞0 且 f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0 成立，求实数 b 的取值范围． 【变式 9-2】（2019 秋•番禺区校级期中）已知函数 ． （1）求函数的定义域． （2）讨论函数 f（x）的奇偶性． （3）判断函数 f（x）的单调性，并用定义证明． 【变式 9-3】（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）． （1）求函数 f（x）定义域，并判断 f（x）的奇偶性． （2）判断函数 f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）解关于 x 的不等式 f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．