湘教版八年级上册复习数学 等腰三角形的性质与判定 全等三角形中的创新题 (1)

等腰三角形的性质与判定 第 1 题 如图 2-8-1,△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,∠BDC=72°.求∠A 的度数,并指出图 中所有的等腰三角形. 图 2-8-1 第 2 题 如图 2-8-2,在△ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,AD=AE,∠BAD=30°. (1)求∠EDC 的度数; (2)若∠B=30°,请判断△ADE 的形状,并写出证明过程; (3)若∠B=45°,请判断△ADE 的形状,直接写出结论,不必写出证明过程. 图 2-8-2 第 3 题 如图 2-8-3,△ABC 为等边三角形,∠1=∠2=∠3. (1)求∠BEC 的度数; (2)△DEF 是等边三角形吗?为什么? 图 2-8-3 第 4 题 如图 2-8-4 所示,已知△ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发,分别沿 AB、BC 方向匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1 cm/s,点 Q 运 动的速度是 2 cm/s,当点 Q 到达点 C 时,P、Q 两点都停止运动,设运动时间为 t s, 解答下列问题. (1)当点 Q 到达点 C 时,PQ 与 AB 的位置关系如何?请说明理由; (2)在点 P 与点 Q 运动的过程中,△BPQ 能否成为等边三角形?若能,请求出 t;若不 能,请说明理由. 图 2-8-4 第 5 题 如图 2-8-5,在等腰△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高,点 E、F 分别是边 AB、AC 上的点,且 EF∥BC. (1)试说明△AEF 是等腰三角形; (2)试比较 DE 与 DF 的大小关系,并说明理由. 图 2-8-5 第 6 题 如图 2-8-6,△ABC 中,AB=AC,BD,CE 为△ABC 的高,且 BD,CE 交于点 O. (1)图中共有几个等腰三角形?分别是哪些三角形? (2)△ODE 是等腰三角形吗?若是,请说明理由; (3)若∠A=45°,还有哪些三角形也是等腰三角形?OE 与 DC 的长度相等吗?请说明 理由. 图 2-8-6 第 7 题 (1)如图2-8-7,在△ABC中,AB=AC,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作MN∥BC, 分别交 AB,AC 于 M,N,问 M 与 N 两点是什么关系?连接 AO 得到的是什么线?图中有 几个等腰三角形? (2)在△ABC 中,AB=AC,MN∥BC,O 为 MN 的中点,则 BO,CO 分别是∠B 与∠C 的平分 线,这个结论对吗?为什么? 图 2-8-7 第 8 题 在等腰三角形中,过其中的一个顶点的直线如果能把这个等腰三角形分成两个小 的等腰三角形,我们称这种等腰三角形为“少见的三角形”,这条直线称为分割线, 下面我们来研究这类三角形. (1)等腰直角三角形是不是“少见的三角形”? (2)已知如图 2-8-8 所示的钝角三角形是一个“少见的三角形”,请你画出分割线 的大致位置,并求出顶角的度数; (3)锐角三角形中有没有“少见的三角形”?如果没有,请说明理由;如果有,请画 出图形并求出顶角的度数. 图 2-8-8 第 9 题 已知△ABC 是等边三角形,△AEF 是等腰三角形,点 B,C 在 EF 上,且∠E=40°. (1)如图 2-8-9①,如果△ABC 和△AEF 有公共的对称轴 AH,求∠EAB 的度数; (2)如图 2-8-9②,绕 A 点逆时针转动△AEF,使 AE 与 AB 在一条直线上,EF 与 BC 交于 M 点,EF 与 AC 交于 N 点,求∠EMB 的度数,并说明△ANF 的形状; (3)如图 2-8-9③,继续转动△AEF,使 AE 与 AH 在一条直线上,EF 与 AC 交于 D,请 判断△ADF 的形状,并说明理由. 图 2-8-9 全等三角形中的创新题 一、判断选择题 第 1 题 在讲完全等三角形后,李老师布置了一道数学题,如图 2-9-1,已知△ABC≌△ADE, 那么图中有几对相等的角(不添加其他字母)?你同意谁的说法?请说明理由. 图 2-9-1 二、判断纠错题 第 2 题 如图 2-9-2,已知 AC,BD 相交于点 O,∠A=∠B,∠1=∠2,试说明△AOD≌△BOC. 小明同学的证明过程如下:在△ADC 和△BCD 中,∵∠A=∠B,∠2=∠1,DC=CD,∴△ ADC≌△BCD. ∴△ADC-△DOC=△BCD-△DOC.∴△AOD≌△BOC. 老师说小明的解答有错误,你认为小明的解答错在哪里?请写出你的解答. 图 2-9-2 三、结论开放型试题 第 3 题 如图 2-9-3,OP 平分∠AOB,且 OA=OB. (1)写出图中三对你认为全等的三角形(注:不添加任何辅助线); (2)从(1)中任选一个结论进行证明. 图 2-9-3 第 4 题 如图 2-9-4,AB∥ED,BC∥EF,点 C、F 在 AD 上,AF=DC. (1)图中共有几对全等三角形?请分别写出来; (2)选择其中一对全等的三角形加以证明. 图 2-9-4 第 5 题 如图 2-9-5,已知点 E,C 在线段 BF 上,给出下列条件:①BE=CF,②AB∥DE,③AC=DF, ④AB=DE,任选三个作为已知条件,余下一个作为结论,有很多正确的命题,如①③ ④⇒②等. (1)仿照上面的写法写出所有正确的命题; (2)选择其中一个加以证明. 图 2-9-5 四、结论探究型试题 第 6 题 小明说:“如图 2-9-6①,将一大一小两个等边三角形放在一起,使它们有一个公 共顶点,记作△ABC 和△ADE,当△ADE 绕点 A 逆时针旋转时,能与△ABC 构成不同 的图形(如图 2-9-6②、③、④).在各组图形中分别连接 BD 和 CE,都能找到全等 三角形.” (1)请你在图 2-9-6①、②、③、④中分别找出全等三角形,并说明三角形全等的 理由; (2)小明又说:“根据图 2-9-6①、②、③、④,我们可以说,无论△ADE 绕点 A 逆 时针旋转到任何位置,连接 BD 和 CE 后一定能找到全等三角形.”你认为小明这个 结论对吗?如果不对,请你画出相应图形,并说明这时△ADE 绕点 A 逆时针旋转了 多少度. 图 2-9-6 第 7 题 (1)如图 2-9-7①,已知AE=CF,∠DAF=∠BCE,AD=CB,问△ADF与△CBE 全等吗?请说 明理由; (2)如果将△BEC 沿CA 方向平移,可得图 2-9-7②③④,如果上述条件不变,结论仍 成立吗?请说明理由. 图 2-9-7 五、条件开放型试题 第 8 题 如图 2-9-8,AD 是△ABC 的角平分线,点 P 在 AD 上,过点 P 作 PE∥AB,PF∥AC,分别 交 BC 于点 E、F. (1)在图中画出线段 PE 和 PF; (2)当△ABC 满足什么条件时,△PED≌△PFD? 图 2-9-8 第 9 题 如图 2-9-9,已知点 E,C 在线段 BF 上,BE=CF,请在下列四个等式中选出两个作为 条件,推出△ABC≌△DEF,并予以证明:(写出一种即可) ①AB=DE,②∠ABC=∠DEF,③∠A=∠D,④AC=DF. 已知:________,________求证:△ABC≌△DEF. 图 2-9-9 第 10 题 如图 2-9-10,△ABC 中,点 D 在 BC 上,点 E 在 AB 上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,还 需添加一个条件,给出下列四个条件:①AD=CE;②AE=CD;③∠BAC=∠BCA;④∠ ADB=∠CEB. 请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB 的条件,并给出证明. 图 2-9-10 六、动态型试题 第 11 题 如图 2-9-11,△ABC 中,AB=AC,动点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上移动,移动过程 中始终保持 BD=CE,∠DEF=∠B,请你分析是否存在始终与△BDE 全等的三角形,并 说明理由. 图 2-9-11