第 1 课时 角平分线的性质及其逆定理
一、教学目标
1、探究并理解角平分线的性质及其逆定理。（重点）
2、会运用角平分线性质定理的逆定理判定角平分线。（重难点）
3、通过探究讨论，提高学习数学的兴趣，培养合作交流意识。
二、重点难点
1．探究并理解角平分线的性质及其逆定理。（重点）
2．会运用角平分线性质定理的逆定理判定角平分线。（重难点）
三、方法手段
（一）教法
1、信息技术手段。（没有“班班通”的免）
2、演示法，讲授法，图示法，例题法，练习法，随堂检测法。
（二）学法
阅读法，观察法，理解记忆法，习题法。
（三）教学准备
1、制作 PPT，微课和几何画板。
2、用硬纸做一个角，用于对折演示角平分线。
3、配套导学案
四、教学过程
（一）挑战第一关，温故知新
1、如图 1，已知 OC 平分∠AOB，
则 = =
2
1
=2 =2
2、如图 2, AOB 内有一点 P，
①过点 P 作 OA、OB 的垂线段 PD、PE
② 的长度叫做点 P 到 OA 的距离.
③ 的长度叫做点 P 到 OB 的距离.
3. 如图 3, OC 是∠AOB 的平分线，
点 P 是射线 OC 上的任意一点,
PD⊥OA，PE ⊥OB,
点 D、E 为垂足.
PD 和 PE 有什么样的关系呢？
（操作过程：点名个别学生回答）
(二)挑战第二关 探索新知
探究一：探究角平分线的性质
1.认真观察自己手中的角的平分线上的点，你有什么发现？
2.大胆猜测角平分线的性质。
3.如何验证你的猜测，可以采取什么样的方法？
图 1
图 2
图 3
4．验证。
方法一：根据角的对称性和折叠得出猜想
方法二：（见学案第 4 页报告单）
方法三：证明
证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：
第一步：根据题意，画出图形；
第二步：根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知，求证。
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E.
求证：PD=PE.
第三步：通过分析找出证明的途径，写出证明过程。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO 和△PEO 中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠AOC= ∠BOC （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
（操作过程：先独立思考，再对子合作交流，再对子分工进行展示，
重点说明分析思路，并注意几何语言的书写 ）
（三）挑战第三关 快乐砸蛋
1.我来答：（加 2 分）
第一个敢回答问题的你，非常棒！恭喜你已经迈出了成功的第一步。
2.我来判
（1）∵ 如下左图 6，AD 平分∠BAC（已知），
∴BD=CD（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
图 4
图 5
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴BD=CD（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
3.我来填
如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD=4cm，
则 PE=______cm
4．我来写
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
这个定理的条件是什么？结论呢？
（操作过程：学生抢答，对所学知识进行巩固）
(四)挑战第四关 探索新知 2
探究二：角平分线的性质定理的逆定理
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题
正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD=PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：作射线 OP，
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
（操作过程：先独立思考，再对子合作交流，再对子分工进行展示，
重点说明分析思路，并注意几何语言的书写）
（五）挑战第五关 典例精析
1．已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，
且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为 E,F.
求证：EB=FC.
图 8
图 8
图 11
图 9
图 10
2 已知：如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，
且 BE＝CF
求证：AD 是△ABC 的角平分线。
（操作过程：先独立思考，再小组合作交流，再小组分工进行展示，
一、三、五组展示第 1 题，二、四、六组展示第 2 题，重点写出分析过程。）
（六）挑战第六关 我的收获
1.请把你的收获分享给大家
2.请把你的提醒告诉给同伴
3.请把你的困惑反馈给老师
（操作过程：学生自由发言，讲出他的收获或困惑，其他同学进行补充）
图 12
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