苏科版数学八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》易错题专练（五）

八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》 易错题专练（五） 1．已知 O 为直线 AB 上的一点，∠COE 是直角，OF 平分∠AOE． （1）如图 1，若∠COF＝34°，则∠BOE＝ ；若∠COF＝n°，则∠BOE ＝ ；∠BOE 与∠COF 的数量关系为 ． （2）当射线 OE 绕点 O 逆时针旋转到如图 2 的位置时，（1）中∠BOE 与∠COF 的数 量关系是否仍然成立？如成立请写出关系式；如不成立请说明理由． （3）在图 3 中，若∠COF＝65°，在∠BOE 的内部是否存在一条射线 OD，使得 2∠ BOD 与∠AOF 的和等于∠BOE 与∠BOD 的差的一半？若存在，请求出∠BOD 的度数； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由． 2．如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形 ADEF 是正方 形，点 B、C 分别在边 AD、AF 上． （1）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，如图 2，求证：BD＝CF； （2）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 DB 交 CF 于点 H．连接 BF、 DF，延长 AB 交 DF 与 M，连接 HM．找出所有与∠MHB 和为 45 度的角． 3．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）OE AE（填＜、＝、＞）； （2）求证：四边形 OEFG 是矩形； （3）若 AD＝10，EF＝4，求 OE 和 BG 的长． 4．如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD 交 BE 于 点 O． （1）求证：AD 与 BE 互相平分； （2）若 AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求 AB 的长． 5．如图，矩形 ABCD，过点 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E．过点 D 作 DH⊥BE 于 H，G 为 AC 中点，连接 GH． （1）求证：BE＝AC． （2）判断 GH 与 BE 的数量关系并证明． 6．如图，在△ABC 中，D 是边 BC 的中点，点 E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC，CE⊥ AE，点 F 在边 AB 上，EF∥BC．求证： （1）四边形 BDEF 是平行四边形； （2）BF＝ （AB﹣AC）． 7．如图，已知四边形 ABCD 为正方形，AB＝4 ，点 E 为对角线 AC 上一动点，连接 DE、过点 E 作 EF⊥DE．交 BC 点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． （1）求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）探究：CE+CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 8．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平 面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上． （1）将△ABC 向右平移 6 个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1 关于点 O 的中心对称图形△A2B2C2； （3）若将△ABC 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 9．如图，在正方形 ABCD 中，点 F 是 BC 延长线上一点，BE⊥DF，垂足为 E，BE 交 CD 于点 G． （1）求证：BG＝DF； （2）求证：EF+EG＝ CE． 10．如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 E、F 分别在 AD、DC 上，BE 与 AF 相交于 点 G，且 BE＝AF． （1）求证：△ABE≌△DAF； （2）求证：BE⊥AF； （3）如果正方形 ABCD 的边长为 5，AE＝2，点 H 为 BF 的中点，连接 GH．求 GH 的长． 参考答案 1．解：（1）∵∠COE 是直角，∠COF＝34°， ∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°， 由∵OF 平分∠AOE． ∴∠AOE＝2∠EOF＝112°， ∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°； 当∠COF＝n°， ∴∠EOF＝90°﹣n°， ∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2n°， ∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2n°）＝2n°， 所以有∠BOE＝2∠COF． 故答案为：68°，2n°，∠BOE＝2∠COF； （2）∠BOE 与∠COF 的数量关系仍然成立．理由如下： 设∠COF＝n°，如图 2， ∵∠COE 是直角， ∴∠EOF＝90°﹣n°， 又∵OF 平分∠AOE． ∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2n°， ∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2n°）＝2n°， 即∠BOE＝2∠COF； （3）存在．理由如下： 如图 3，∵∠COF＝65°， ∴∠BOE＝2×65°＝130°， ∠EOF＝∠AOF＝90°﹣65°＝25°， 而 2∠BOD 与∠AOF 的和等于∠BOE 与∠BOD 的差的一半， ∴2∠BOD+25°＝ （130°﹣∠BOD）， ∴∠BOD＝16°． 2．（l）证明：如图 2 中， 由旋转得：AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝α；AF＝AD， 在△ABD 和△ACF 中， ， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴BD＝CF． （2）解：如图 3 中，设 AF 交 DH 于 J． ∵△ABD≌△ACF， ∴∠AFC＝∠ADB， ∵∠FJH＝∠AJD， ∴∠FHJ＝∠DAJ＝90°， ∵∠BAD＝∠BAF＝45°，AF＝AD， ∴AM⊥DF，NF＝MD， ∴BF＝BD， ∴∠BFM＝∠BDM， ∴∠BMF＝∠BHF＝90°， ∴B，M，F，H 四点共圆， ∴∠MHB＝∠BFM， ∵∠AFB+∠DFB＝45°，∠ADB+∠BDF＝45°， ∴与∠MHB 和为 45 度的角有∠AFB，∠ADB，∠AFC． 3．（1）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝ AD＝AE， 故答案为：＝； （2）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OB＝OD， ∵E 是 AD 的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形 OEFG 是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形 OEFG 是矩形； （3）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC，AB＝AD＝10， ∴∠AOD＝90°， ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝AE＝ AD＝5； 由（1）知，四边形 OEFG 是矩形， ∴FG＝OE＝5， ∵AE＝5，EF＝4， ∴AF＝ ＝ ＝3， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2． 4．（1）证明：如图，连接 BD、AE， ∵FB＝CE， ∴BC＝EF， 又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∴AD 与 BE 互相平分； （2）解：∵FB＝CE， ∴BE＝2BF+FC， ∴BF＝ ＝ ＝3， ∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5， ∵AB⊥AC， ∴由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝4． 5．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD， ∵AC∥BE， ∴四边形 ABEC 是平行四边形， ∴BE＝AC； （2）GH＝ BE， 证明：连接 BD， ∵四边形 ABCD 是矩形，G 为 AC 的中点， ∴G 为 BD 的中点，AC＝BD， ∵DH⊥BE，即∠DHB＝90°， ∴GH＝ BD， ∵AC＝BD，AC═BE， ∴GH＝ BE． 6．证明：（1）延长 CE 交 AB 于点 G，如图所示： ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， 在△AEG 和△AEC 中， ， ∴△AGE≌△ACE（ASA）， ∴GE＝EC， ∵D 是边 BC 的中点， ∴DE 为△CGB 的中位线， ∴DE∥AB． ∵EF∥BC， ∴四边形 BDEF 是平行四边形． （2）由（1）可知，四边形 BDEF 是平行四边形， ∴BF＝DE． ∵D、E 分别是 BC、GC 的中点， ∴BF＝DE＝ BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG＝AC， ∴BF＝ （AB﹣AG）＝ （AB﹣AC）． 7．解：（1）如图所示，过 E 作 EM⊥BC 于 M 点，过 E 作 EN⊥CD 于 N 点， ∵正方形 ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且 NE＝NC， ∴四边形 EMCN 为正方形， ∵四边形 DEFG 是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN 和△FEM 中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形 DEFG 为正方形， （2）CE+CG 的值为定值，理由如下： ∵矩形 DEFG 为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE 和△CDG 中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴AC＝AE+CE＝ AB＝ ×4 ＝8， ∴CE+CG＝8 是定值． 8．解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求； （2）如图，△A2B2C2 即为所求； （3）根据图形可知： 旋转中心的坐标为：（﹣3，0）． 9．解：（1）证明： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC， ∵BE⊥DF， ∴∠CBG+∠F＝∠CDF+∠F， ∴∠CBG＝∠CDF， 在△CBG 和△CDF 中， ， ∴△CBG≌△CDF（ASA）， ∴BG＝DF； （2）如图，过点 C 作 CM⊥CE 交 BE 于点 M， ∵△CBG≌△CDF， ∴CG＝CF，∠F＝∠CGB， ∵∠MCG+∠DCE＝∠ECF+∠DCE＝90°， ∴∠MCG＝∠ECF， 在△MCG 和△ECF 中， ， ∴△MCG≌△ECF（ASA）， ∴MG＝EF，CM＝CE， ∴△CME 是等腰直角三角形， ∴ME＝ CE， 又∵ME＝MG+EG＝EF+EG， ∴EF+EG＝ CE． 10．解：（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD， 在 Rt△ABE 和 Rt△DAF 中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）； （2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝∠BGF＝90°， ∴BE⊥AF； （3）∵BE⊥AF， ∵点 H 为 BF 的中点， ∴GH＝ BF， ∵在 Rt△BCF 中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得 ∴BF＝ ＝ ， ∴GH＝ ．