2020-2021 学年九年级数学下册第五章《二次函数》
实际应用易错题专练（五）
1．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，
经过测算，工厂每千度电产生利润 y（元/千度））与电价 x（元/千度）的函数图象如图：
（1）当电价为 600 元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？
（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价 x（元/千度）与每天用电量 m（千
度）的函数关系为 x＝10m+500，且该工厂每天用电量不超过 60 千度，为了获得最大利润，
工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
2．一家计算机专买店 A 型计算器每只进价 12 元，售价 20 元，多买优惠：凡是一次买 10
只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计
算器，于是每只降价 0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，所买的全部 20 只计算器都按
每只 19 元的价格购买．但是最低价为每只 16 元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出专买店当一次销售 x（x＞10）只时，所获利润 y 元）与 x（只）之间的函数关
系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）一天，甲买了 46 只，乙买了 50 只，店主却发现卖 46 只赚的钱反而比卖 50 只赚的
钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的
情况下，店家应把最低价每只 16 元至少提高到多少？
3．某农场要建一个长方形 ABCD 的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长 25m）另外三边用木栏
围成，木栏长 40m．
（1）若养鸡场面积为 168m2，求鸡场垂直于墙的一边 AB 的长．
（2）请问应怎样围才能使养鸡场面积最大？最大的面积是多少？
（3）养鸡场面积能达到 205m2 吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
4．某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 120 元．为了扩大销售，增加
利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价 1 元，每天可多售出 2 箱．
（1）如果要使每天销售饮料获利 14000 元，问每箱应降价多少元？
（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？
5．某市政府大力扶持大学生创业．张涛在政府的扶持下销售一种进价为每件 20 元的新型节
能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格 y（元/件）与月销售量 x（件）的函数关系如图所示．无论
销售多少，每月还需支出广告费 62500 元，设月利润为 w 内（元）（利润＝销售额﹣成本
﹣广告费）．
若只在国外销售，销售价格为 150 元/件，受各种不确定因素影响，成本（含进价）为 a
元/件（a 为常数，10≤a≤40），当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳 元的附
加费，设月利润为 w 外（元）（利润＝销售额﹣成本﹣附加费）．
（1）求 y 与 x 的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；
（2）分别求出 w 内，w 外与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；
（3）在国内销售时，每月的销售量在什么范围内，张涛才不会亏本？
（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还
是在国外销售才能使所获月利润较大？
6．我市“建设社会主义新农村”工作组到某乡大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬
菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元；购置滴灌
设备，其费用 p（万元）与大棚面积 x（公顷）的函数关系式为 p＝0.9x2；另外每公顷种
植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3 万元．每公顷蔬菜年均可卖 7.5 万元．
（1）基地的菜农共修建大棚 x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为 y（万
元），写出 y 关于 x 的函数关系式．
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公
顷大棚．（用分数表示即可）
（3）种子、化肥、农药每年都需要投资，其它设施 3 年内不需再投资．如果按 3 年计算，
是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为
基地修建大棚提一项合理化建议．
7．在国家央行加息的压力下，某公司决定研制一种新型节能产品并加以销售，现准备在一
线城市和二线城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．
若只在一线城市销售，销售价格 y（元/件）与月销量 x（件）的函数关系式为 y＝
x+150，成本为 20 元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费 62500 元，设月利
润为 W 一线（元）（利润＝销售额﹣成本﹣广告费）．
若只在二线城市销售，销售价格为 150 元/件，受各种不确定因素影响，成本为 a 元/件
（a 为常数，10≤a≤40），当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，
设月利润为 W 二线（元）（利润＝销售额﹣成本﹣附加费）．
（1）当 x＝1000 时，y＝ 元/件，w 一线；＝ 元；
（2）分别求出 W 一线，W 二线与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；
（3）当 x 为何值时，在一线城市销售的月利润最大？若在二线城市销售月利润的最大值
与在一线城市销售月利润的最大值相同，求 a 的值；
（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在二线城
市还是在一线城市销售才能使所获月利润较大？
8．有一座抛物线形拱桥，在正常水位 AB 时，水面 AB 宽 24m，拱顶距离水面 4m．以抛物线
的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若水位上升 3m 就达到警戒线 CD 的位置，求这时水面 CD 的宽度．
9．某电器商场将进价为 2000 元的彩电以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国
家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售
价每降低 50 元，平均每天可多售出 4 台
（1）假设每台彩电降价 x 元，商场每天销售这种彩电的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间
的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？
10．某瓜果基地市场部为指导该基地种植某蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情
况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行预测，提供了
两个方面的信息，如图所示，请你根据图象提供的信息说明：
（1）在 3 月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？
（ 2 ） 哪 个 月 出 售 这 种 蔬 菜 ， 每 千 克 的 收 益 最 大 ？ 说 明 理
由．
参考答案
1．解：（1）工厂每千度电产生利润 y（元/千度）与电价 x（元/千度）的函数解析式为：
y＝kx+b（k、b 是常数，且 k≠0）．
该函数图象过点（0，300），（500，200），
∴ ，
解得 ．
∴y＝﹣ x+300（x≥0）．
当电价 x＝600 元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润 y＝﹣ ×600+300＝180（元/
千度）．
答：工厂消耗每千度电产生利润是 180 元．
（2）设工厂每天消耗电产生利润为 w 元，由题意得：
W＝my＝m（﹣ x+300）＝m[﹣ （10m+500）+300]．
化简配方，得：w＝﹣2（m﹣50）2+5000．
由题意得：a＝﹣2＜0，m≤60，
∴当 m＝50 时，w 最大＝5000，
即当工厂每天消耗 50 千度电时，工厂每天消耗电产生利润为 5000 元．
2．解：（1）设一次购买 x 只，
则 20﹣0.1（x﹣10）＝16，
解得 x＝50．
∴一次至少买 50 只，才能以最低价购买；
（2）当 10＜x≤50 时，
y＝[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x＝﹣0.1x2+9x，
当 x＞50 时，y＝（16﹣12）x＝4x；
（3）y＝﹣0.1x2+9x＝﹣0.1（x﹣45）2+202.5，
①当 10＜x≤45 时，y 随 x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
②当 45＜x≤50 时，y 随 x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当 x＝46 时，y1＝202.4，
当 x＝50 时，y2＝200．
y1＞y2．
即出现了卖 46 只赚的钱比卖 50 只赚的钱多的现象．
当 x＝45 时，最低售价为 20﹣0.1（45﹣10）＝16.5（元）．
∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只 16 元至少
提高到 16.5 元．
3．解：（1）设鸡场垂直于墙的一边 AB 的长为 x 米，
则 x（40﹣2x）＝168，
整理得：x2﹣20x+84＝0，
解得：x1＝14，x2＝6，
∵墙长 25m，
∴0≤BC≤25，即 0≤40﹣2x≤25，
解得：7.5≤x≤20，
∴x＝14．
答：鸡场垂直于墙的一边 AB 的长为 14 米．
（2）围成养鸡场面积为 S，
则 S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x2﹣20x）＝﹣2（x2﹣20x+102）+2×102＝﹣2（x
﹣10）2+200，
∵﹣2（x﹣10）2≤0，
∴当 x＝10 时，S 有最大值 200．
即鸡场垂直于墙的一边 AB 的长为 10 米时，围成养鸡场面积最大，最大值 200 米 2．
（3）不能，由（2）可知养鸡场面积最大值 200 米 2，故养鸡场面积不能达到 205 米 2．
4．解：（1）要使每天销售饮料获利 14000 元，每箱应降价 x 元，依据题意列方程得，
（120﹣x）（100+2x）＝14000，
整理得 x2﹣70x+1000＝0，
解得 x1＝20（舍），x2＝50；
答：每箱应降价 50 元，可使每天销售饮料获利 14000 元．
（2）设每天获利 W 元，
则 W＝（120﹣x）（100+2x），
＝﹣2x2+140x+12000，
＝﹣2（x﹣35）2+14450，
∴每箱降价 35 元时获利最大，最大利润是 14450 元．
5．解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，由图象得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）w 内＝x（y﹣20）﹣62500＝ x2+130x﹣62500，
w 外＝ x2+（150﹣a）x；
（3）令 w 内＝0，则 ，
解得 x1＝12500，x2＝500．
故每月的销售量至少为 500 件、至多为 12500 时，张涛才不会亏本；
（4）当 x＝5000 时，w 内＝337500，（11 分）w 外＝﹣5000a+500000
若 w 内＜w 外，则 a＜32.5；
若 w 内＝w 外，则 a＝32.5；
若 w 内＞w 外，则 a＞32.5．
所以，当 10≤a＜32.5 时，选择在国外销售；
当 a＝32.5 时，在国外和国内销售都一样；
当 32.5＜a≤40 时，选择在国内销售．
6．解：（1）y＝7.5x﹣（2.7x+0.9x2+0.3x）＝﹣0.9x2+4.5x；
（2）当﹣0.9x2+4.5x＝5 时，
即 9x2﹣45x+50＝0， ， ，
从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建 公顷大棚；
（3）设 3 年内每年的平均收益为 Z（万元）
Z＝7.5x﹣（0.9x+0.3x2+0.3x）
＝﹣0.3x2+6.3x
＝﹣0.3（x﹣10.5）2+33.075，
不是面积越大收益越大．当大棚面积为 10.5 公顷时可以得到最大收益．
建议：①在大棚面积不超过 10.5 公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．
②大棚面积超过 10.5 公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．
③当﹣0.3x2+6.3x＝0 时，x1＝0，x2＝21．大棚面积超过 21 公顷时，不但不能收益，反
而会亏本．
7．解：（1）当 x＝1000 时，y＝ x+150＝﹣10+150＝140，
W 一线＝（ x+150）x﹣20x﹣62500＝140×1000﹣20000﹣62500＝57500；
故填：140，57500；
（2）依题意，得
w 一线＝x（y﹣20）﹣62500＝ x2+130x﹣62500，
W 二线＝（150﹣a）x x2；
（3）
由题意得， ＝ ，
解得 a1＝30，a2＝270（不合题意，舍去），所以 a＝30；
（4）当 x＝5000 时，w 一线＝337500，w 二线＝﹣5000a+500000．
若 w 一线＜w 二线，则 a＜32.5；
若 w 一线＝w 二线，则 a＝32.5；
若 w 一线＞w 二线，则 a＞32.5．
所以，当 10≤a＜32.5 时，选择在二线销售；
当 a＝32.5 时，在一线和二线销售都一样；
当 32.5＜a≤40 时，选择在一线销售．
8．解：（1）设这条抛物线的解析式为 y＝ax2，
由已知抛物线经过点 B（12，﹣4）
可得﹣4＝a×122，有 a＝ ，
∴抛物线的解析式为 y＝ x2
（2）由题意知，点 D 的纵坐标为﹣1，
设点 D 的坐标为（x，﹣1）（x＞0），
可得﹣1＝ x2，
解得 x＝6，
∴CD＝2x＝12（m）；
答：这时水面宽度为 12m．
9．解：（1）根据题意，得 ，
即 ；
（2）对于 ，
当 时，
y 最大值＝ ；
所以，每台彩电降价 150 元时，商场每天销售这种彩电的利润最大，最大利润是 5000 元．
10．解：（1）5﹣4＝1（元）．
故每千克收益为 1 元；
（2）5 月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大为 元．
设每千克的售价是 m 元，每千克的成本是 n 元，月份为 x，总收益是 W．
那么根据图形可设 m＝kx+b，n＝a（x﹣6）2+1．由图可得：
，
解得： ，
故 m＝﹣ x+7，
将（3，4）代入 a（3﹣6）2+1＝4，
解得 a＝
因此：m＝﹣ x+7，n＝ x2﹣4x+13
W＝m﹣n＝﹣ （x﹣5）2+
因此当 x＝5 时，Wmax＝
即：5 月份出售这种蔬菜，收益最大，最大值为每千克 元．
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