苏科版数学八年级下册第9章《中心对称图形—平行四边形》常考题专练（五）

八年级下册第 9 章《中心对称图形—平行四边形》 常考题专练（五） 1．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三 角板的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 在直线 AB 的下方． （1）将图 1 中的三角板绕点 O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得 OM 落在射线 OA 上， 此时 ON 旋转的角度为 °； （2）继续将图 2 中的三角板绕点 O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得 OM 在∠BOC 的内部，则∠BON﹣∠COM＝ °； （3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点 O 按每秒钟 15° 的速度旋转，当 OM 恰为∠BOC 的平分线时，此时，三角板绕点 O 的运动时间为 秒， 简要说明理由． 2．如图，点 M，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠MAN＝45°．把△ADN 绕点 A 顺 时针旋转 90°得到△ABE． （1）求证：△AEM≌△ANM． （2）若 BM＝3，DN＝2，求正方形 ABCD 的边长． 3．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，EF⊥ AB，OG∥EF． （1）求证：四边形 OEFG 是矩形； （2）若 AD＝10，EF＝4，求 OE 和 BG 的长． 4．如图，在四边形 ABCD 中，点 E 和点 F 是对角线 AC 上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且 DF∥ BE． （1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形； （2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求 AC 的长． 5．如图，矩形 ABCD 中，CE⊥BD 于 E，CF 平分∠DCE 与 DB 交于点 F． （1）求证：BF＝BC； （2）若 AB＝4cm，AD＝3cm，求 CF 的长． 6．如图，在△ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点 F 在 AB 上，且 BF＝DE． （1）求证：四边形 BDEF 是平行四边形； （2）线段 AB，BF，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论． 7．如图，正方形 ABCD 中，AB＝4，点 E 是对角线 AC 上的一点，连接 DE．过点 E 作 EF⊥ED， 交 AB 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 AG． （1）求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）求 AG+AE 的值； （3）若 F 恰为 AB 中点，连接 DF 交 AC 于点 M，请直接写出 ME 的长． 8．如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为 1 个单位）．△ABC 的三个顶点均在小 方格的顶点上． （1）画出△ABC 关于 O 点的中心对称图形△A1B1C1； （2）画出将△A1B1C1 沿直线 l 向上平移 5 个单位得到的△A2B2C2； （3）要使△A2B2C2 与△CC1C2 重合，则△A2B2C2 绕点 C2 顺时针方向至少旋转的度数 为 ． 9．正方形 ABCD 中，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 EF⊥AE 交射线 CB 于点 F，连结 CE． （1）已知点 F 在线段 BC 上 ①若 AB＝BE，求∠DAE 度数； ②求证：CE＝EF （2）已知正方形边长为 2，且 BC＝2BF，请直接写出线段 DE 的长． 10．正方形 ABCD 中，点 P 是边 CD 上的任意一点，连接 BP，O 为 BP 的中点，作 PE⊥BD 于 E， 连接 EO，AE． （1）若∠PBC＝α，求∠POE 的大小（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段 AE 与 BP 之间的数量关系，并证明． 参考答案 1．解：（1）如图 2，依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°． 故填：90； （2）如图 3，∠AOC：∠BOC＝2：1， ∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°， ∵∠BON＝90°﹣∠BOM，∠COM＝60°﹣∠BOM， ∴∠BON﹣∠COM＝90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM＝30°， 故填：30； （3）（24n+16）（n 是整数）秒．理由如下： 如图 4．∵点 O 为直线 AB 上一点，∠AOC：∠BOC＝2：1， ∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°． ∵OM 恰为∠BOC 的平分线， ∴∠COM′＝30°． ∴∠AOM+∠AOC+∠COM′＝240°． ∵三角板绕点 O 按每秒钟 15°的速度旋转， ∴三角板绕点 O 的运动最短时间为 ＝16（秒）． ∴三角板绕点 O 的运动时间为（24n+16）（n 是整数）秒． 故填：（24n+16）． 2．（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°， ∴∠ABC+∠ABE＝90°， ∴点 E，点 B，点 C 三点共线， ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°， ∴∠MAE＝∠MAN， ∵MA＝MA， ∴△AEM≌△ANM（SAS）． （2）解：设 CD＝BC＝x，则 CM＝x﹣3，CN＝x﹣2， ∵△AEM≌△ANM， ∴EM＝MN， ∵BE＝DN， ∴MN＝BM+DN＝5， ∵∠C＝90°， ∴MN2＝CM2+CN2， ∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2， 解得，x＝6 或﹣1（舍弃）， ∴正方形 ABCD 的边长为 6． 3．解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OB＝OD， ∵E 是 AD 的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形 OEFG 是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形 OEFG 是矩形； （2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BD⊥AC，AB＝AD＝10， ∴∠AOD＝90°， ∵E 是 AD 的中点， ∴OE＝AE＝ AD＝5； 由（1）知，四边形 OEFG 是矩形， ∴FG＝OE＝5， ∵AE＝5，EF＝4， ∴AF＝ ＝3， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2． 4．（1）证明：∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， 即 AF＝CE， ∵DF∥BE， ∴∠DFA＝∠BEC， 在△ADF 和△CBE 中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形； （2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE＝3， ∴CF＝AE＝3， ∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8． 5．证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BCD＝90°， ∴∠CDB+∠DBC＝90° ． ∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°． ∴∠ECB＝∠CDB． ∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF， ∴∠CFB＝∠BCF ∴BF＝BC （2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）． 在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 BD＝ ＝5． 又∵BD•CE＝BC•DC， ∴CE＝ ． ∴BE＝ ． ∴EF＝BF﹣BE＝3﹣ ． ∴CF＝ cm． 6．（1）证明：延长 CE 交 AB 于点 G， ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， 在△AEG 和△AEC 中， ， ∴△AGE≌△ACE（ASA）． ∴GE＝EC． ∵BD＝CD， ∴DE 为△CGB 的中位线， ∴DE∥AB． ∵DE＝BF， ∴四边形 BDEF 是平行四边形． （2）解：BF＝ （AB﹣AC）． 理由如下： ∵四边形 BDEF 是平行四边形， ∴BF＝DE． ∵D、E 分别是 BC、GC 的中点， ∴BF＝DE＝ BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG＝AC， ∴BF＝ （AB﹣AG）＝ （AB﹣AC）． 7．解：（1）如图，作 EM⊥AD 于 M，EN⊥AB 于 N． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD 于 M，EN⊥AB 于 N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形 ANEM 是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四边形 DEFG 是矩形， ∴四边形 DEFG 是正方形． （2）∵四边形 DEFG 是正方形，四边形 ABCD 是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝ AD＝4 ． （3）如图，作 EH⊥DF 于 H． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD＝4，AB∥CD， ∵F 是 AB 中点， ∴AF＝FB ∴DF＝ ＝2 ， ∵△DEF 是等腰直角三角形，EH⊥AD， ∴DH＝HF， ∴EH＝ DF＝ ， ∵AF∥CD， ∴AF：CD＝FM：MD＝1：2， ∴FM＝ ， ∴HM＝HF﹣FM＝ ， 在 Rt△EHM 中，EM＝ ＝ ． 8．解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求； （2）如图，A2B2C2 即为所求； （3）由题可得，要使△A2B2C2 与△CC1C2 重合，则△A2B2C2 绕点 C2 顺时针方向至少旋转的 度数为 90°． 故答案为：90°． 9．解：（1）①∵ABCD 为正方形， ∴∠ABE＝45°． 又∵AB＝BE， ∴∠BAE＝ ×（180°﹣45°）＝67.5°． ∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5° ②证明：∵正方形 ABCD 关于 BD 对称， ∴△ABE≌△CBE， ∴∠BAE＝∠BCE． 又∵∠ABC＝∠AEF＝90°， ∴∠BAE＝∠EFC， ∴∠BCE＝∠EFC， ∴CE＝EF． （2）如下图所示：过点 E 作 MN⊥BC，垂足为 N，交 AD 于 M． ∵CE＝EF， ∴N 是 CF 的中点． ∵BC＝2BF， ∴ ＝ ． 又∵四边形 CDMN 是矩形，△DME 为等腰直角三角形， ∴CN＝DM＝ME， ∴ED＝ DM＝ CN＝ ． 如下图所示：过点 E 作 MN⊥BC，垂足为 N，交 AD 于 M． ∵正方形 ABCD 关于 BD 对称， ∴△ABE≌△CBE， ∴∠BAE＝∠BCE． 又∵∠ABF＝∠AEF＝90°， ∴∠BAE＝∠EFC， ∴∠BCE＝∠EFC， ∴CE＝EF． ∴FN＝CN． 又∵BC＝2BF， ∴FC＝3， ∴CN＝ ， ∴EN＝BN＝ ， ∴DE＝ ． 综上所述，ED 的长为 或 10．解：（1）在正方形 ABCD 中，BC＝DC，∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠CDB＝45°， ∵∠PBC＝α， ∴∠DBP＝45°﹣α， ∵PE⊥BD，且 O 为 BP 的中点， ∴EO＝BO， ∴∠EBO＝∠BEO， ∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α； （2）BP＝ ．证明如下： 连接 OC，EC， 在正方形 ABCD 中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE， 设∠PBC＝α， 在 Rt△BPC 中，O 为 BP 的中点， ∴CO＝BO＝ ， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠COP＝2 α， 由（1）知∠EOP＝90°﹣2α， ∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°， 又由（1）知 BO＝EO， ∴EO＝CO． ∴△EOC 是等腰直角三角形， ∴EO2+OC2＝EC2， ∴EC＝ OC＝ ， 即 BP＝ ， ∴BP＝ ．