苏科版九年级下册数学第5章《二次函数》实际应用常考题强化练习（五）

苏科版九年级下册数学第 5 章 《二次函数》 实际应用常考题强化练习（五） 1．某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、 车辆管理人员工资等）为 800 元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车 停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过 5 元时， 每天来此处停放的小车可达 1440 辆次；若停车费超过 5 元，则每超过 1 元，每天来此 处停放的小车就减少 120 辆次．为便于结算，规定每辆次小车的停车费 x（元）只取整 数，用 y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于 2512 元．（日净收入 ＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出） （1）当 x≤5 时，写出 y 与 x 之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少 元； （2）当 x＞5 时，写出 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）； （3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日 净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？ 2．“友谊商场”某种商品平均每天可销售 100 件，每件盈利 20 元．“五一”期间，商场 决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价 1 元，商场平均每天可多售 出 10 件．设每件商品降价 x 元，请回答： （1）降价后每件商品盈利 元，商场日销售量 件（用含 x 的代数式表示）； （2）求每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大日盈利是多少元？ 3．网络销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在某网络平台上进行直播销售防疫包， 已知防疫包的成本价格为 6 元/个，每日销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元/ 个）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价 且不高于 30 元，设公司销售防疫包的日获利为 w（元）．（日获利＝日销售额﹣成本） x（元/个） 7 8 9 y（个） 4300 4200 4100 （1）请求出日销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，销售这种防疫包的日获利 w 最大？最大利润为多少元？ 4．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如 图所示的三处各留 1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m， 则能建成的饲养室面积最大为多少？ 5．春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是 150 元．调查发现： 销售单价是 200 元时，月销售量是 100 件，而销售单价每降低 1 元，月销售量就增加 10 件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在 200 元的基础上降低 x 元时 （x 为正整数），月销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？ 6．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m．按照图中所 示的直角坐标系，抛物线可以用 y＝﹣ x2+bx+c 表示，且抛物线的点 C 到墙面 OB 的 水平距离为 3m 时，到地面 OA 的距离为 m． （1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向行车道， 那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高 度不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 7．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健 康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 300 元/台．经过市场销售后发现：在 一个月内，当售价是 500 元/台时，可售出 300 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 400 元/台，代理销售商每月要完成不低 于 550 台的销售任务． （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的 取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元） 最大？最大利润是多少？ 8．某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本 为 20 元/件的新型商品在第 x 天销售的相关信息如下表所示： 销售量 p（件） p＝50﹣x 销售单价 q（元/件） 当 1≤x≤20 时，q＝30+ x 当 21≤x≤40 时，q＝20+ （1）请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件 （2）这 40 天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前 20 天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售 一件商品就发给该加盟店 m（m≥2）元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前 10 天 中，每天获得奖励后的利润随时间 x（天）的增大而增大，求 m 的取值范围． 9．在精准对口扶贫活动中，甲单位将经营状况良好的某种专卖店以 5.8 万元的优惠价转让 给了尚有 5 万元无息贷款还没有偿还的乙户，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙 户的一家人每月最低生活费的开支 3600 元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从甲单位 提供的相关资料中可知这种消费品的进价是每件 14 元；月销售量 Q（百件）与销售单价 P（元）的关系如图所示；维持的正常运转每月需工资外的各种开支 2000 元． （1）写出月销售量 Q（百件）与销售单价 P（元）的函数关系式． （2）当商品的销售单价为多少元时，扣除一家人最低生活费后的月利润余额最大？ （3）乙户依靠该店，最早可望在多少个月内脱贫？ 10．无锡市灵山胜境公司厂生产一种新的大佛纪念品，每件纪念品制造成本为 18 元，试销 过程发现，每月销量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 y＝﹣2x+100． （1）写出公司每月的利润 w（万元）与销售单价 x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，公司每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据工商部门规定，这种纪念品的销售单价不得高于 32 元．如果公司要获得每月 不低于 350 万元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要多少万元？ 参考答案 1．解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800 ∵1440x﹣800≥2512， ∴x≥2.3 ∵x 取整数， ∴x 最小取 3，即每辆次小车的停车费最少不低于 3 元． （2）由题意得： y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800 即 y＝﹣120x2+2040x﹣800 （3）当 x≤5 时，停车 1440 辆次，最大日净收入 y＝1440×5﹣800＝6400（元） 当 x＞5 时， y＝﹣120x2+2040x﹣800 ＝﹣120（x2﹣17x）﹣800 ＝﹣120（x﹣ ）2+7870 ∴当 x＝ 时，y 有最大值．但 x 只能取整数， ∴x 取 8 或 9． 显然，x 取 8 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为 y＝﹣120× +7870＝7840 （元） 由上得，每辆次小车的停车费应定为 8 元，此时的日净收入为 7840 元． 2．解： （1）∵未降价前每件盈利 20 元， ∴降价 x 元后每件商品盈利（20﹣x）元， ∵每件该商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 10 件， ∴降价 x 元后，商场日销售量为（100+10x）件， 故答案为：（20﹣x）；（100+10x）； （2）设每件商品降价 x 元时，商场日盈利为 y 元， 根据题意得：y＝（ 20﹣x ）（ 100+10x ） ＝﹣10x2+100x+2000 ＝﹣10（ x﹣5 ）2+2250 （0≤x≤20）， ∴当 x＝5 时，y 最大＝2250， 答：每件商品降价 5 元时，商场日盈利可达到最大，最大日盈利是 2250 元． 3．解：（1）设 y＝kx+b， 根据题意，得： ， 解得 ， ∴y＝﹣100x+5000（6≤x≤30）； （2）w＝（x﹣6）（﹣100x+5000） ＝﹣100x2+5600x﹣30000 ＝﹣100（x﹣28）2+48400， ∵﹣100＜0， ∴当 x＝28 时，w 取得最大值，最大值为 48400， 答：当销售单价定为 28 元时，销售这种防疫包的日获利 w 最大，最大利润为 48400 元． 4．解：设垂直于墙的材料长为 x 米， 则平行于墙的材料长为 27+3﹣3x＝30﹣3x， 则总面积 S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75， 故饲养室的最大面积为 75 平方米， 5．解：（1）根据题意，得 y＝（200﹣150﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+400x+5000； （2）y＝﹣10x2+400x+5000 ＝﹣10（x﹣20）2+9000， ∵﹣10＜0， ∴当 x＝20 时，y 有最大值 9000， 销售单价为 200﹣20＝180（元）， 答：该服装的销售单价为 180 元时，月销售利润最大，最大的月销售利润是 9000 元． 6．解：（1）根据题意得 B（0，4），C（3， ）， 把 B（0，4），C（3， ）代入 y＝﹣ x2+bx+c 得 ， 解得 ． 所以抛物线解析式为 y＝﹣ x2+2x+4， 则 y＝﹣ （x﹣6）2+10， 所以 D（6，10）， 所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10m； （2）由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为（2，0）或（10，0）， 当 x＝2 或 x＝10 时，y＝ ＞6， 所以这辆货车能安全通过； （3）令 y＝8，则﹣ （x﹣6）2+10＝8，解得 x1＝6+2 ，x2＝6﹣2 ， 则 x1﹣x2＝4 ， 所以两排灯的水平距离最小是 4 m． 7．解：（1）由题意可得， y＝300+ ×50＝﹣5x+2800， 供货商规定这种空气净化器售价不能低于 400 元/台，代理销售商每月要完成不低于 550 台的销售任务， ∴﹣5x+2800≥550，得 x≤450， ∴400≤x≤450， 即月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式是 y＝﹣5x+2800（400≤x≤ 450）； （2）由题意可得， w＝（x﹣300）（﹣5x+2800）＝﹣5x2+4300x﹣840000＝﹣5（x﹣430）2+84500， ∵400≤x≤450， ∴当 x＝430 时，w 取得最大值，此时 w＝84500， 答：当售价 x（元/台）定为 430 元时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元） 最大，最大利润是 84500 元． 8．解：（1）当 1≤x≤20 时，30+ x＝35，解得 x＝10 当 21≤x≤40 时，20+ ＝35，解得 x＝35 （2）当 1≤x≤20 时，w＝（30+ ﹣20）（50﹣x）＝﹣ （x﹣15）2+612.5， 当 x＝15 时，w 有最大值为 612.5 当 21≤x≤40 时，w＝（20+ ﹣20）（50﹣x）＝ ﹣525， 当 x＝21 时，w 有最大值为 725 ∵612.5＜725 ∴第 21 天时获得最大利润，最大利润为 725 （3）W＝ x2+15x+500+m（50﹣x）＝ x2+（15﹣m）x+500+50m， ∵前 10 天每天获得奖励后的利润随时间 x（天）的增大而增大， ∴对称轴为 x＝﹣ ＝15﹣m＞9.5，解得：m＜ ∴2≤m＜ ． 9．（1）由图象可知，月销售量 Q（百件）与销售单价 P（元）是一次函数关系，设 Q＝ Px+b， 则代入（20，10）（30，5），可得 ， 解得：P＝﹣ ，b＝20， ∴月销售量 Q（百件）与销售单价 P（元）的函数关系式为 Q＝﹣ P+20； （2）设月利润为 W，则有 W＝100 Q（P﹣14）﹣（2000+3600） ＝100（﹣ P+20）（x﹣14）﹣（2000+3600） ＝﹣50P2+2700P﹣33600， 当 P＝﹣ ＝27 时，W 有最大值； ∴当销售单价为 27 元时，月利润余额最大； （3）设 x 年内可脱贫，由（2）知当 P＝27 时，W 有最大值为 2850， 当月利润为 2850 元时，需要 2850×12x≥50000+58000， 解得：x≥3 ， 3 年＝37 月， ∴乙户依靠该店，最早可望在 38 月内脱贫． 10．解：（1）w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800； （2）将 w＝﹣2x2+136x﹣1800 配方，得 w＝﹣2（x﹣34）2+512（x＞18）， 答：当销售单价为 34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是 512 万元； （3）由 w＝350，得 350＝﹣2x2+136x﹣1800 解这个方程得 x1＝25，x2＝43，即销售单价定为 25 元或 43 元， 结合函数 w＝﹣2x2+136x﹣1800 的图象可知， 当 25≤x≤43 时 w≥350， 又由限价 32 元，得 25≤x≤32， 根据一次函数的性质，得 y＝﹣2x+100 中 y 随 x 的增大而减小， ∵x 最大取 32， ∴当 x＝32 时，每月制造成本最低．最低成本是 18×（﹣2×32+100）＝648（万元） 答：每月最低制造成本为 648 万元．