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一.二次函数概念:
二次函数的概念:一般地,形如 2y ax bx c ( a b c, , 是常数, 0a )的函数,叫做
二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 0a ,而 b c, 可
以为零.二次函数的定义域是全体实数.
二.二次函数的基本形式
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
2axy
当 0a 时
开口向上
当 0a 时
开口向下
0x ( y 轴) (0,0)
kaxy 2 0x ( y 轴) (0, k )
2hxay hx ( h ,0)
khxay 2 hx ( h , k )
cbxaxy 2
a
bx 2
(
a
bac
a
b
4
4
2
2 , )
三.二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 2y a x h k ,确定其顶点坐标 h k, ;
2. 平移规律
在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴ cbxaxy 2 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, cbxaxy 2 变成
mcbxaxy 2 (或 mcbxaxy 2 )
⑵ cbxaxy 2 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, cbxaxy 2 变成
cmxbmxay )()( 2 (或 cmxbmxay )()( 2 )
2
四.二次函数 2y ax bx c 图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数 2y ax bx c 化为顶点式 2( )y a x h k ,确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们
选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 0 c, 、以及 0 c, 关于对称轴对称的点 2h c, 、
与 x 轴的交点 1 0x , , 2 0x , (若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点.
五.二次函数 2y ax bx c 的性质
1. 当 0a 时,抛物线开口向上,对称轴为
2
bx a
,顶点坐标为
24
2 4
b ac b
a a
, .
当
2
bx a
时, y 随 x 的增大而减小;当
2
bx a
时, y 随 x 的增大而增大;
2. 当 0a 时,抛物线开口向下,对称轴为
2
bx a
,顶点坐标为
24
2 4
b ac b
a a
, .
当
2
bx a
时, y 随 x 的增大而增大;当
2
bx a
时, y 随 x 的增大而减小;
六.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式: 2y ax bx c ( a ,b , c 为常数, 0a );
2. 顶点式: 2( )y a x h k ( a , h , k 为常数, 0a );
3. 两根式: 1 2( )( )y a x x x x ( 0a , 1x , 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写
成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 2 4 0b ac 时,抛物线的解析式才可以用交
点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数 b
ab 的符号的判定:对称轴
a
bx 2
在 y 轴左边则 0ab ,在 y 轴的右侧则 0ab ,概
括的说就是“左同右异”
3. 常数项 c c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.
3
题型Ⅰ特殊的二次函数的图像和性质
关于抛物线 22y x 与抛物线 22 3y x ,下列说法正确的是( C ) .
① 它们的对称轴都是 y 轴 ② 它们的顶点坐标相同
③ 它们的形状相同,开口方向不同 ④ 它们可通过平移得到函数解析式
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
已知二次函数 2y ax c ,下列结论中正确的个数有( A ) .
① 图象的顶点在原点 ② 图象的对称轴是 y 轴
③ 图象与 x 轴必有交点 ④ y=-c 一定是它的最小值
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
要将二次函数 21 ( 2)3y x 的图像平移成 21
3y x 的图像,只需将图像( D ).
A. 向上平移 2 个单位 B. 向下平移 2 个单位
C. 向右平移 2 个单位 D. 向左平移 2 个单位
如图所示,若 0a ,则函数 2
1 ( 1)y a x 与 2
2 1y ax 在同一坐标平面中的大致图像是
( D )
A B C D
4
反比例函数 ky x
和二次函数 2( )y k x k 在同一坐标系中的大致图像是( B )
已知二次函数 26 8y x .
求(1)这个二次函数的图像与 x 轴的两个交点 A、B 之间的距离; 4 3
3
(2)若图像上另有一点 21( , )3M m ,求△ABM 的面积. .
m=6 4 3S
抛物线 21 ( 1)2y x 经过点 A(-3,a).
(1)求 A 点关于抛物线对称轴的对称点 B 的坐标; B(1,-2)
(2)若此抛物线的顶点为 C.,求ΔABC 的面积.
C(-1,0) S=4
5
题型Ⅱ二次函数 2( ) ( 0)y a x m k a 的图像和性质
若二次函数 2( ) ( 0)y a x m k a 中, 0, 0m k .则它的图像顶点落在( D )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
在 同 一 直 角 坐 标 平 面 内 , 二 次 函 数 21 ( 3) 12y x , 21 ( 3) 12y x ,
22( 3) 1y x 图像的共同特点是( B )
A. 抛物线的形状相同 B. 抛物线的对称轴相同
C. 抛物线的顶点坐标相同 D. 抛物线的开口方向相同
将二次函数 23y x 的图像先向下平移 1 个单位,再向右平移 2 个单位后,得到的图像解
析式是( B )
A. 23( 1) 2y x B. 23( 2) 1y x
C. 23( 1) 2y x D. 23( 2) 1y x
已知抛物线的顶点为(-3,1),它是由函数 21 3 13y x x 的图像平移所得,那么此
抛物线的解析式为( A ) .
A. 21 ( 3) 13y x B. 21 ( 3) 13y x C. 21 ( 3) 13y x D. 21 ( 3) 13y x
用配方法将 22 2 3y x x 化为 2( ) ( 0)y a x m k a 的形式,并求出它们图像的
顶点坐标和对称轴.
21 72 2 2y x
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二次函数的图像与 x 轴相交于(2,0)、(-3,0)两点,与 y 轴交于点(0,-3). 那么这个二次
函数的解析式为( C ) .
A. 2 2 3y x x B. 2 6y x x
C. 21 1 32 2y x x D. 21 1 32 2y x x
如果抛物线 2y ax bx c 的图像经过(0,3)、(-1,5)两点,那么代数式 a b c 的值___-1
若 0a ,则抛物线 23 7y x ax 的顶点在( D )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知二次函数 2 2 3y x mx m 图像的顶点在第三象限,那么 m 的取值范围__. 3m
已知抛物线 2 2y x bx 的顶点恰好在 x 轴上,那么 b 的取值可以是( C ) .
A. 0 B. ±2 C. 2 2 D. ±4
抛物线 2 2 2y x x m 的顶点恰好在直线 2y x 上,那么顶点坐标是__(-1,-2)______,
m 的值为__________. 1 .
若 a>0,b