上海市宝山区行知二中沪教版九年级数学上册第26章:二次函数学案
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上海市宝山区行知二中沪教版九年级数学上册第26章:二次函数学案

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资料简介
1 一.二次函数概念: 二次函数的概念:一般地,形如 2y ax bx c   ( a b c, , 是常数, 0a  )的函数,叫做 二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 0a  ,而 b c, 可 以为零.二次函数的定义域是全体实数. 二.二次函数的基本形式 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy  当 0a 时 开口向上 当 0a 时 开口向下 0x ( y 轴) (0,0) kaxy  2 0x ( y 轴) (0, k )  2hxay  hx  ( h ,0)   khxay  2 hx  ( h , k ) cbxaxy  2 a bx 2  ( a bac a b 4 4 2 2 , ) 三.二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式  2y a x h k   ,确定其顶点坐标  h k, ; 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴ cbxaxy  2 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, cbxaxy  2 变成 mcbxaxy  2 (或 mcbxaxy  2 ) ⑵ cbxaxy  2 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, cbxaxy  2 变成 cmxbmxay  )()( 2 (或 cmxbmxay  )()( 2 ) 2 四.二次函数 2y ax bx c   图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 2y ax bx c   化为顶点式 2( )y a x h k   ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点  0 c, 、以及 0 c, 关于对称轴对称的点  2h c, 、 与 x 轴的交点  1 0x , , 2 0x , (若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 五.二次函数 2y ax bx c   的性质 1. 当 0a  时,抛物线开口向上,对称轴为 2 bx a   ,顶点坐标为 24 2 4 b ac b a a     , . 当 2 bx a   时, y 随 x 的增大而减小;当 2 bx a   时, y 随 x 的增大而增大; 2. 当 0a  时,抛物线开口向下,对称轴为 2 bx a   ,顶点坐标为 24 2 4 b ac b a a     , . 当 2 bx a   时, y 随 x 的增大而增大;当 2 bx a   时, y 随 x 的增大而减小; 六.二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: 2y ax bx c   ( a ,b , c 为常数, 0a  ); 2. 顶点式: 2( )y a x h k   ( a , h , k 为常数, 0a  ); 3. 两根式: 1 2( )( )y a x x x x   ( 0a  , 1x , 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写 成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 2 4 0b ac  时,抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八.二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 b ab 的符号的判定:对称轴 a bx 2  在 y 轴左边则 0ab ,在 y 轴的右侧则 0ab ,概 括的说就是“左同右异” 3. 常数项 c c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. 3 题型Ⅰ特殊的二次函数的图像和性质 关于抛物线 22y x 与抛物线 22 3y x   ,下列说法正确的是( C ) . ① 它们的对称轴都是 y 轴 ② 它们的顶点坐标相同 ③ 它们的形状相同,开口方向不同 ④ 它们可通过平移得到函数解析式 A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 已知二次函数 2y ax c  ,下列结论中正确的个数有( A ) . ① 图象的顶点在原点 ② 图象的对称轴是 y 轴 ③ 图象与 x 轴必有交点 ④ y=-c 一定是它的最小值 A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 要将二次函数 21 ( 2)3y x  的图像平移成 21 3y x 的图像,只需将图像( D ). A. 向上平移 2 个单位 B. 向下平移 2 个单位 C. 向右平移 2 个单位 D. 向左平移 2 个单位 如图所示,若 0a  ,则函数 2 1 ( 1)y a x  与 2 2 1y ax   在同一坐标平面中的大致图像是 ( D ) A B C D 4 反比例函数 ky x  和二次函数 2( )y k x k  在同一坐标系中的大致图像是( B ) 已知二次函数 26 8y x  . 求(1)这个二次函数的图像与 x 轴的两个交点 A、B 之间的距离; 4 3 3 (2)若图像上另有一点 21( , )3M m ,求△ABM 的面积. . m=6 4 3S  抛物线 21 ( 1)2y x   经过点 A(-3,a). (1)求 A 点关于抛物线对称轴的对称点 B 的坐标; B(1,-2) (2)若此抛物线的顶点为 C.,求ΔABC 的面积. C(-1,0) S=4 5 题型Ⅱ二次函数 2( ) ( 0)y a x m k a    的图像和性质 若二次函数 2( ) ( 0)y a x m k a    中, 0, 0m k  .则它的图像顶点落在( D ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 在 同 一 直 角 坐 标 平 面 内 , 二 次 函 数 21 ( 3) 12y x   , 21 ( 3) 12y x    , 22( 3) 1y x   图像的共同特点是( B ) A. 抛物线的形状相同 B. 抛物线的对称轴相同 C. 抛物线的顶点坐标相同 D. 抛物线的开口方向相同 将二次函数 23y x  的图像先向下平移 1 个单位,再向右平移 2 个单位后,得到的图像解 析式是( B ) A. 23( 1) 2y x    B. 23( 2) 1y x    C. 23( 1) 2y x    D. 23( 2) 1y x    已知抛物线的顶点为(-3,1),它是由函数 21 3 13y x x    的图像平移所得,那么此 抛物线的解析式为( A ) . A. 21 ( 3) 13y x    B. 21 ( 3) 13y x   C. 21 ( 3) 13y x    D. 21 ( 3) 13y x   用配方法将 22 2 3y x x    化为 2( ) ( 0)y a x m k a    的形式,并求出它们图像的 顶点坐标和对称轴. 21 72 2 2y x       6 二次函数的图像与 x 轴相交于(2,0)、(-3,0)两点,与 y 轴交于点(0,-3). 那么这个二次 函数的解析式为( C ) . A. 2 2 3y x x   B. 2 6y x x   C. 21 1 32 2y x x   D. 21 1 32 2y x x   如果抛物线 2y ax bx c   的图像经过(0,3)、(-1,5)两点,那么代数式 a b c  的值___-1 若 0a  ,则抛物线 23 7y x ax   的顶点在( D ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 已知二次函数 2 2 3y x mx m   图像的顶点在第三象限,那么 m 的取值范围__. 3m   已知抛物线 2 2y x bx   的顶点恰好在 x 轴上,那么 b 的取值可以是( C ) . A. 0 B. ±2 C. 2 2 D. ±4 抛物线 2 2 2y x x m    的顶点恰好在直线 2y x 上,那么顶点坐标是__(-1,-2)______, m 的值为__________. 1 . 若 a>0,b

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