人教版八年级下册数学17.2勾股定理的逆定理同步练习（含解析）

17.2 勾股定理的逆定理 同步练习 一．选择题 1．下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A． ， ， B．2，2，5 C．32，42，52 D．3，4，5 2．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对应边分别是 a、b、c，下列条件中不能说明△ABC 是 直角三角形的是（ ） A．b2＝a2﹣c2 B．∠C＝∠A+∠B C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13 3．三角形三边长分别为 ① 3，4，5 ② 5，12，13 ③ 17，8，15 ④ 1，3，2 ．其中直角三角 形有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．三内角之比为 1：2：3 B．三边长的平方之比为 1：2：3 C．三边长之比为 3：4：5 D．三内角之比为 3：4：5 5．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则这个三角形是（ ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．以上结论都不对 6．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形 B．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形 D．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形 7．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索 AB 的长度为 5 米，若将它往水平方向向前推 进 3 米（即 DE＝3 米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A．1 米 B． 米 C．2 米 D．4 米 8．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒下，树干顶部在离根部 12 米处， 则这棵大树的高度为（ ） A．13 B．17 C．18 D．25 9．如图，在灯塔 O 的东北方向 8 海里处有一轮船 A，在灯塔的东南方向 6 海里处有一渔船 B，则 AB 间的距离为（ ） A．9 海里 B．10 海里 C．11 海里 D．12 海里 10．在△ABC 中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，那么点 D 到 AB 的距离是（ ） A．4.8 B．4 C．3 D． 二．填空题 11．若一个三角形的三边长为 1、2、x，则使此三角形是直角三角形的 x 的值是 ． 12．在△ABC 中，三边长分别为 5、12、13，则它的面积为 ． 13．△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的 是 ．（填写序号） （1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠ A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n 为大于 1 的正整数） 14．木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点 A 处与斜边 BC 之间加一根小木 条 AD．已知∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，则小木条 AD 的最短长度为 dm． 15．若正整数 a，n 满足 a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数 a，n，n+1（如：3，4，5 或 5， 12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当 n＜150 时，共有 组这样的“完美 勾股数”． 三．解答题 16．在△ABC 中，D 是 BC 上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC 的面积． 17．如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC＝4，BC＝3，BD＝ ． （1）求 AD＝ ； （2）求证：△ABC 是直角三角形． 18．如图是一块四边形木板，其中 AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝ ∠C＝90°．李师傅找到 BC 边的中点 P，连接 AP，DP，发现△APD 是直角三角形，请 你通过计算说明理由． 参考答案 一．选择题 1．解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、22+22≠52，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意 C、因为 32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，故不能构成直角三角形，故此选项不符 合题意； D、32+42＝52，故能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．解：A、b2＝a2﹣c2，即 a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC 为直角三 角形，不符合题意； B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C 是直角，能够判定△ABC 是直角三角形，不符合题意； C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC 不是 直角三角形，符合题意； D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC 为直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3．解： ① 32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； ② 52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； ③ 82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； ④ 12+（2 ）2＝32，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形． 故选：D． 4．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 30°，60°，90°，所以此三角形是 直角三角形； B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形； C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 45°，60°，75°，所以此三角形不是直 角三角形； 故选：D． 5．解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab， ∴a2+b2+2ab﹣c2＝2ab， ∴a2+b2＝c2， ∴这个三角形为直角三角形． 故选：A． 6．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形，A 正确； 如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，B 错误； 如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2， 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， 则 x+3x+2x＝180°， 解得，x＝30°， 则 3x＝90°， 那么△ABC 是直角三角形，C 正确； 如果 a2：b2：c2＝9：16：25， 则如果 a2+b2＝c2， 那么△ABC 是直角三角形，D 正确； 故选：B． 7．解：过点 C 作 CF⊥AB 于点 F， 根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3， 由勾股定理可得 AF2+CF2＝AC2， ∴AF＝ ， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1， ∴此时木马上升的高度为 1 米， 故选：A． 8 ． 解 ： 由 勾 股 定 理 得 ， BC ＝ ＝ 13 （m）． 则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）． 故选：C． 9．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝8 海里，OB＝6 海里， ∴AB＝ ＝10（海里）． 故选：B． 10．解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E， 在△ABC 中，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴62+82＝102， ∴△ABC 是直角三角形，∠C＝90°， ∵AD 平分∠BAC， ∴CD＝ED， 在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 设 CD＝DE＝x，则 BD＝8﹣x， 在 Rt△BDE 中，DE2+BE2＝BD2， x2+42＝（8﹣x）2， 解得 x＝3． 故 DE 的长为 3． 故选：C． 二．填空题 11．解：设第三边为 x， （1）若 2 是直角边，则第三边 x 是斜边，由勾股定理，得： 12+22＝x2，所以 x＝ ； （2）若 2 是斜边，则第三边 x 为直角边，由勾股定理，得： 12+x2＝22，所以 x＝ ； 综上所述：x 的值为 或 ， 故答案为： 或 ． 12．解：在△ABC 中，三边长分别为 5、12、13， ∵52+122＝132， ∴三角形是直角三角形， ∴面积为 ×5×12＝30． 故答案为：30． 13．解：（1）（5x）2+（12x）2＝（13x）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC 是直 角三角形，符合题意； （2）（1.5）2+（2）2＝（2.5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC 是直角三角 形，符合题意； （3）由（a﹣b）2+2ab＝c2，可得：a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC 是直角三角形，符合题意； （4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，此时∠C＝100°，不能够判断△ABC 是直角三角形， 不符合题意； （5）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC 是直角 三角形，符合题意； 故答案为：（1）（2）（3）（5）． 14．解：∵∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm， ∴BC＝ ＝ ＝13（dm）， 当 AD⊥BC 时，AD 最短，则 AD×BC＝ AB×AC， 则 AD＝ ＝ ＝ （dm）． 故答案是： ． 15．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1， 又∵149+150＝299，大于等于 9 小于 297 的非偶数完全平方数有 9，25，49，81，121， 169，225，289，一共 8 个， ∴共有 8 组这样的“完美勾股数”． 故答案为：8． 三．解答题 16．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2， ∴△ABD 是直角三角形， ∴AD⊥BC， 在 Rt△ACD 中，CD＝ ＝15， ∴BC＝BD+CD＝6+15＝21， ∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×21×8＝84． 因此△ABC 的面积为 84． 故答案为 84． 17．（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， 在 Rt△BDC 中，由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝ ， 在 Rt△ADC 中，由勾股定理得：AD＝ ＝ ＝ ， 故答案为： ； （2）证明：由（1）知：AD＝ ， ∵BD＝ ， ∴AB＝BD+AD＝ + ＝5， ∵BC＝3，AC＝4， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 即△ABC 是直角三角形． 18．解：∵点 P 为 BC 中点， ∴BP＝CP＝ BC＝12（cm）， ∵∠B＝90°， 在 Rt△ABP 中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2， 162+122＝AP2， 解得：AP＝20（cm）， 同理可得：DP＝15（cm）， ∵152+202＝252， ∴AP2+DP2＝AD2， ∴△APD 是直角三角形，∠APD＝90°．